背景：橢圓、雙曲線的第二定義(焦點準線)被淡化到閱讀材料中，第一定義(和差定值)在教材中依然堅挺.

本文的目標是在不使用第二定義的情況下，貫徹“見到焦點先嘗試平面幾何”這一原則.

感謝 重慶田世來老師 的啟發.

橢圓和雙曲線的極坐標方程

推導一(第二定義)：

以為左焦點F為極點，x軸正方向為極軸建立極坐標系.

由第二定義得：PF=ecdot PP' begin{equation*} PP'=PFcdot cos theta +left(frac{a^{2}}{c}-cright) end{equation*}\ 解得PF=frac{b^{2}}{a-ccdot cos theta }

還行，可惜極坐標也被刪瞭(我為什麼要說也).

推導二(第一定義)：

ca0dd5a89503f60c0730970c20587e74

設如圖，由餘弦定理得P{F_{1}}^{2}+F_{1}{F_{2}}^{2}-2cdot PF_{1}cdot F_{1}F_{2}cos theta =P{F_{2}}^{2}，

將PF_{2}=2a-PF_{1}帶入，解得PF_{1}=frac{b^{2}}{a-ccdot cos theta }.

一個框架下同一個問題的不同描述，當然會得到一樣的結果.

例1：已知雙曲線C：frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F_{1}，F_{2}，過F_{2}的直線l與交C於A，B兩點(其中A點在x軸上方)，且滿足overset{rightarrow }{AF_{2}}=lambda overset{rightarrow }{F_{2}B}，若C的離心率為frac{3}{2}，直線l的傾斜角為120^{circ}，則實數lambda 的值為

解：

21b38a87620285520de983fd5000d356

連AF_{1}，設AF_{2}=x，angle AF_{2}F_{1}=theta ，

餘弦定理得：A{F_{2}}^{2}+4c^{2}-4cdot ccdot cos theta cdot AF_{2}=(AF_{2}+2a)^{2}，解得AF_{2}=frac{b^{2}}{a+ccdot cos theta }，

同理BF_{2}=frac{b^{2}}{a+ccos (pi -theta )}=frac{b^{2}}{a-ccdot cos theta }

故lambda =frac{AF_{2}}{BF_{2}}=frac{a-ccdot cos theta }{a+ccdot cos theta }=frac{1-ecdot cos theta }{1+ecdot cos theta }=frac{1-frac{3}{2}cdot frac{1}{2}}{1+frac{3}{2}cdot frac{1}{2}}=frac{1}{7}

這個題挺網紅的，出現在各大秒殺秘籍中，其實還是解三角形嘛.

吐槽：公式這種東西還是推一推吧，不然人和硬盤有什麼區別.

例2：已知橢圓frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1的右焦點為F， 過點F的兩條相互垂直的直線交橢圓於A、B和C、D兩點，則frac{1}{left| ABright| }+frac{1}{left| CDright| }=

0642d47eeed8c7869bf58a59d280d185

解：

兩條弦的傾斜角相差frac{pi }{2}，搞清楚一條就行.

設AB傾斜角為theta ，則AF=frac{b^{2}}{a+ccos theta }，BF=frac{b^{2}}{a-ccos theta }，

則AB=AF+BF=frac{2ab^{2}}{a^{2}-c^{2}cos ^{2}theta }，

同理CD=frac{2ab^{2}}{a^{2}-c^{2}cos ^{2}(frac{pi }{2}+theta )}=frac{2ab^{2}}{a^{2}-c^{2}sin ^{2}theta }，

故frac{1}{left| ABright| }+frac{1}{left| CDright| }=frac{2a^{2}-c^{2}}{2ab^2}.

備註，兄弟命題為：

已知拋物線y^{2}=2px的焦點為F，過點F的直線交拋物線於P、Q兩點，則frac{1}{left| FPright| }+frac{1}{left| FQright| }=frac{2}{p}.

例3：【2016高考新課標1卷】設圓x^{2}+y^{2}+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A於C，D兩點，過B作AC的平行線交AD於點E.

(1)證明left| EAright| +left| EBright| 為定值，並寫出點E的軌跡方程；

(2)設點E的軌跡為曲線C_{1}，直線l交C_{1}於M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交於P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

(1).frac{x^{2}}{4}+frac{y^{2}}{3}=1(yneq 0)

(2).解：

設MN傾斜角為theta ，連PQ中點H和A.

上一題已經推導過：MN=frac{2ab^{2}}{a^{2}-c^{2}cos ^{2}theta }=frac{12}{4-cos ^{2}theta }，

AH=ABcos theta =2cos theta ，PQ=2sqrt{AQ^{2}-AH^{2}}=4sqrt{4-cos ^{2}theta }，

S=frac{1}{2}cdot MNcdot PQ=frac{24}{sqrt{4-cos ^{2}theta }}in [12,8sqrt{3}]，

直線l傾斜角不能為0，把8sqrt{3}挖掉即可.

吐槽：數字設計很客氣，高考題就是有手就能寫啊.

例4：【2012年江蘇卷19】如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F_{1}(-c,，,,0)，F_{2}(c,，,,0)．已知(1,，,,e)和left(e,，,,frac{sqrt{3}}{2}right)都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．

(1)求橢圓的方程；

(2)設A,B是橢圓上位於x軸上方的兩點，且直線AF_{1}與直線BF_{2}平行，AF_{2}與BF_{1}交於點P．

(i)若AF_{1}-BF_{2}=frac{sqrt{6}}{2}，求直線AF_{1}的斜率；

(ii)求證：PF_{1}+PF_{2}是定值．

(1).frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1

(2).略.

(3).設AF_{1}=x，BF_{2}=y

由相似得：frac{PA}{PF_{2}}=frac{PF_{1}}{PB}=frac{AF_{1}}{F_{2}B}，

由frac{2a-x-PF_{2}}{PF_{2}}=frac{x}{y}得PF_{2}=frac{2ay-xy}{x+y}，

由frac{PF_{1}}{2a-y-PF_{1}}=frac{x}{y}得PF_{1}=frac{2ax-xy}{x+y}，

故PF_{1}+PF_{2}=frac{2a(x+y)-2xy}{x+y}=2a-frac{2xy}{x+y}，

現在來處理frac{2xy}{x+y}=frac{2}{frac{1}{x}+frac{1}{y}}，

設angle AF_{1}F_{2}=theta ，angle BF_{2}F_{1}=pi -theta ，

則x=frac{b^{2}}{a-ccdot cos theta }，y=frac{b^{2}}{a-ccdot cos (pi -theta )}=frac{b^{2}}{a+ccdot cos theta }，frac{2xy}{x+y}=frac{2}{frac{1}{x}+frac{1}{y}}=frac{b^{2}}{a}，

故PF_{1}+PF_{2}=2a-frac{b^{2}}{a}=2sqrt{2}-frac{1}{sqrt{2}}=frac{3sqrt{2}}{2}

這算考古吧.

聯動一個優質公眾號：