质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

质数存在规律。

大Q猜想：

令P为一个正整数，则它的表达式如下：

P=(2^n)*[∏(8ai+1)^mi]*[∏(8bi+3)^ki] *[∏(8ci+5)^gi] *[∏(8di+7)^qi] i=1,2,3……

其中8ai+1、8bi+3、8ci+5、8di+7均为质数。8ai+1称为8N+1因子，8bi+3称为8N+3因子，8ci+5称为8N+5因子、8di+7称为8N+7因子。

当n=0，且P=8N+3时，

1）当8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数；8N+3因子中，∑ki为奇数时，P能写出a^2+2*b^2的形式。反之则P不能写出a^2+2*b^2的形式。

2）当P只有一个8N+3因子，P能写出1个a^2+2*b^2形式，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。

3）当P中的8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数，P能写出的a^2+2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(ki+1)]/2。

当n=0，且P=8N+5时，

1）当8N+3、8N+7因子中，ki、qi均为偶数；8N+5因子中，∑gi为奇数时，P能写出a^2+b^2的形式。反之则P不能写出a^2+b^2的形式。

2）当P只有一个8N+5因子，P能写出1个a^2+b^2形式，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。

3）当P中的8N+3、8N+7因子中，ki、qi均为偶数，P能写出的a^2+b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(gi+1)]/2。

当n=0，且P=8N+7时，

1）当8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数；8N+7因子中，∑qi为奇数时，P能写出a^2-2*b^2的形式。反之则P不能写出a^2-2*b^2的形式。

2）a^2在2P的范围内，当P有一个8N+7因子，P只能写出1个a^2-2*b^2形式，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。

3）当P中的8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数，P（a^2在2P的范围内）能写出的a^2-2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(qi+1)]/2。

4) a^2如果超出2P范围外，那么满足3）的条件时，P能写出a^2-2*b^2形式的个数是无限个。

当n=0，且P=8N+1时，

1）当8N+3因子中，ki中有奇数；则P不能写出a^2+b^2、a^2-2*b^2的形式。

2）当8N+5因子中，gi中有奇数；则P不能写出a^2+2*b^2、a^2-2*b^2的形式。

3）当8N+7因子中，qi中有奇数；则P不能写出a^2+2*b^2、a^2+b^2的形式。

4）当P只有一个8N+1因子，8N+3、8N+5、8N+7每种形式都能写出1个组合，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。

5）P在各种形式中能写出的组合符合8N+3、8N+5、8N+7规则。

即当P中的8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数，P能写出的a^2+2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(ki+1)]/2。（8N+3）

当P中的4N+3（8N+3、8N+7）因子中，ki、qi均为偶数， P能写出的a^2+b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(gi+1)]/2。（8N+5）

当P中的8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数，P（a^2在2P的范围内）能写出的a^2-2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(qi+1)]/2。 （8N+7）

当n>0，P为偶数

一个偶数能否能写成a^2+b^2、a^2+2*b^2和a^2-2*b^2三种形式，首先判断降解掉2^n因子后的分类8N+1、8N+3、8N+5、8N+7。然后根据前述分类进行讨论，最终个数与去掉2^n因子后的8N+1、8N+3、8N+5、8N+7的个数一样。

上述为大Q猜想，也是质数的规律。

以下为解释部分：

一、费马平方和定理

费马平方和定理是由法国数学家费马在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明。1747年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出证明后成为定理。

我们知道，所有的奇质数都可以分两类，4N+1和4N+3。

费马平方和定理的表述是：4N+1的奇质数能表示为两个平方数之和，即P=a^2+b^2。a、b是正整数，互质，并且唯一解。

比如：

5=1*1+2*2;

13=2*2+3*3;

17=1*1+4*4;

29=2*2+5*5;

但是，4N+3类型的奇质数是不能表示为两个整数的平方和。比如3，7，11，19，23，31.等。

我们发现，费马平方和定理其实揭示的是8N+5和8N+1的质数的规律。

二、4N+1的数

首先我们还是根据费马平方和定理的思路研究一下4N+1数的规律。

我们选取了小于120的所有4N+1的数进行分析。

1=1*1+0*0； 5=1*1+2*2； 9=3*3+0*0；

13=2*2+3*3； 17=1*1+4*4； 21；

25=3*3+4*4=5*5+0*0； 29=2*2+5*5； 33；

37=1*1+6*6； 41=4*4+5*5； 45=3*3+6*6；

49=7*7+0*0； 53=2*2+7*7； 57；

61=6*6+5*5； 65=8*8+1*1=4*4+7*7； 69；

73=3*3+8*8； 77； 81=9*9+0*0；

85=2*2+9*9 =6*6+7*7； 89=5*5+8*8； 93；

97=4*4+9*9； 101=10*10+1*1； 105；

109=10*10+3*3； 113=8*8+7*7； 117=9*9+6*6；

从上面看，有的数能分解出1种组合，有的数分解大于1种组合，有的数不能分解。其中所有的质数都只能分解出1种组合。

根据上面的数，我们进行一个归类。

无法分解的作为一类，21、33、57、69、77、93、105；

能分解出一种组合的，并且是质数的，5、13、17、29、37、41、53、61、73、89、97、101、109、113；

能分解出一种组合，但不是质数的，45、117；

能分解出半组的数，即平方数，1、9、25、49、81；

能分解出大于一种组合的数，65、85。

第一种分类，那些数都是合数，根据质因数分解

21=3*7；33=3*11；57=3*19；69=3*23；77=7*11；93=3*31；105=3*5*7；

这类数的质因数都是4N+3的分子，且存在奇数次幂，因此它就不能写成组合。其中我们要提到105，它虽然有5的质因数，但是他的3、7 质因数都是奇次幂，因此105也是没有办法写出组合的。

第二种分类，是符合费马平方和定理的数

第三种分类，那些数只能写出一种组合，但是这类数的a、b不互质。换句话说，他们的a、b同除公约数后，会得到符合费马平方和定理的数

45=3*3+6*6=3*3*5； 117=9*9+6*6=3*3*13；

5=1*1+2*2； 13=2*2+3*3；

同时这里出现的公约数都是4N+3的数。他们在质因数分解的时候都是偶数次幂出现。

第四种分类，是完全平方数，我们讨论一个特殊的数字，那就是0。这些数字都能写成完全平方数+0，因此我们定义这个组合算半个组合。其中，我们发现25这个数字能写成1.5个组合。他既能写成5*5，又可以写成3*3+4*4。但是其他的完全平方数只能写成半个组合。

那是因为25=5*5，5是4N+1的质数，因此它能写出多一种。

我们再举个例子169=13*13，13是4N+1的质数，因此它也能写出1.5种。

第五种分类，它们能写出大于1种的组合。我们发现，65=5*13；85=5*17，这两个数字的质因数都是4N+1，并且我们已知5、13、17都能写出一种组合。

根据平方数定理：平方分解数的积是平方分解数。

即： （a^2+b^2）*（c^2+d^2）=（ac+bd）^2+（ad-bc）^2

=（ac-bd）^2+（ad+bc）^2

因此65、85都是有两种组合方式。

进而，我们得出一个推论猜想：

所有4N+1的正整数，他能写成两个平方数之和的个数与他的质因数有关。

令P为4N+1的正整数，则P的表达式：

P=[∏（4ai+1）^mi]*[∏（4bi+3）^ki] i=1,2,3……,n

其中4ai+1和4bi+3均为质数。4ai+1称为4N+1因子，4bi+3称为4N+3因子。

个数公式为：

1）当4N+3因子中，ki均为偶数时，P能写出a^2+b^2的形式。如果ki中任意一个为奇数，则P不能写出a^2+b^2的形式。

2）当P中无4N+1因子，4N+3因子中，ki均为偶数，P能写出a^2+b^2的形式的个数为半个，即P=a^2+0^2。

3）当P中的4N+3因子中，ki均为偶数，P中只有一个4N+1因子，且其幂为1时，P能写出的a^2+b^2形式的个数为1个。进而当ki=0时，P=4N+1，P能写出1个a^2+b^2形式，P为质数。反之亦然。

4）当P中的4N+3因子中，ki均为偶数，P中有多个4N+1因子，且其幂为mi时，P能写出的a^2+b^2形式的个数为[∏(mi+1)]/2。

三、8N+3的数

费马平方和定理表述中谈到，4N+3类型的奇质数是不能表示为两个整数的平方和。比如3，7，11，19，23，31.等。

那么4N+3这类数字有没有什么规律呢。

我们发现8N+3这类数字是规律，它能写成a^2+2*b^2的形式，其中a、b都是奇数。如3、11、19，能写成3=1+1+1；11=1+1+9；19=9+9+1；但7、23等8N+7的数字不能写出来。

那么现在我们来研究一下8N+3数的规律。

我们选取了小于120的所有8N+3的数进行分析。

3=1*1+2*1*1； 11=3*3+2*1*1； 19=1*1+2*3*3；

27=5*5+2*1*1=3*3+2*3*3； 35； 43=5*5+2*3*3；

51=1*1+2*5*5=7*7+2*1*1； 59=3*3+2*5*5； 67=7*7+2*3*3；

75=5*5+2*5*5； 83=9*9+2*1*1； 91；

99=9*9+2*3*3=7*7+2*5*5=1*1+2*7*7； 107=3*3+2*7*7； 115；

从上面看，有的数能分解出1种组合，有的数分解大于1种组合，有的数不能分解。其中所有的质数都只能分解出1种组合。

根据上面的数，我们进行一个归类。

无法分解的作为一类，35、91、115；

能分解出一种组合的，并且是质数的，3、11、19、43、59、67、83、107；

能分解出一种组合，但不是质数的，75；

能分解出大于一种组合的数，27、51、99。

第一种分类，那些数都是合数，根据质因数分解

35=5*7；91=7*13；115=5*23；

这类数的质因数都不是8N+3的分子，且存在奇数次幂，因此它就不能写成组合。

第二种分类，是非常类似费马平方和定理的数，即8N+3的质数能写出一种组合，而且只有一种。

第三种分类，那些数只能写出一种组合，但是这类数的a、b不互质。换句话说，他们的a、b同除公约数后，会得到符合第二种分类。

75=5*5+2*5*5=3*5*5；

3=1*1+2*1*1

同时这里出现的公约数都是8N+5、8N+7的数。他们在质因数分解的时候都是偶数次幂出现。

第四种分类，它们能写出大于1种的组合。我们发现，27=3*3*3；51=3*17；99=3*3*11，这三个数字中，27和99他们的质因数都是8N+3，51的质因数是8N+1和8N+3，并且我们已知3、11都能写出一种组合。在这里我想提前告诉读者，其实17也能写出一种组合。即17=3*3+2*2*2。为啥说费马平方和定理有局限性，这里先微微提示一下。

因此根据恒等式：

（a^2+2*b^2）*（c^2+2*d^2）=（ac+2bd）^2+2*（ad-bc）^2

=（ac-2bd）^2+2*（ad+bc）^2

进而，我们得出一个推论猜想：

所有8N+3的正整数，他能写成a^2+2*b^2的个数与他的质因数有关。

令P为8N+3的正整数，则P的表达式：

P=[∏（8ai+1）^mi]*[∏（8bi+3）^ki] *[∏（8ci+5）^gi] *[∏（8di+7）^qi] i=1,2,3……,n

其中8ai+1、8bi+3、8ci+5、8di+7均为质数。8ai+1称为8N+1因子，8bi+3称为8N+3因子，8ci+5称为8N+5因子、8di+7称为8N+7因子。

1）当8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数；8N+3因子中，∑ki为奇数时，P能写出a^2+2*b^2的形式。反之则P不能写出a^2+2*b^2的形式。

2）当P只有一个8N+3因子，P能写出1个a^2+2*b^2形式，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。

3）当P中的8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数，P能写出的a^2+2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(ki+1)]/2。

四、8N+7的数

我们发现，8N+7是能写成a^2-2*b^2这种形式的，当a^2给限定在2倍的8N+7范围内，那么8N+7数的规律就和前面的数字统一了。

举两个例子，7，我们限制a^2必须在（7，14）范围内，因此就只有一种组合。

23，我们限制a^2必须在（23，46）范围内，因此就只有一种组合。

接下来我们还是选取了小于120的所有8N+7的数进行分析。

7=3*3-2*1*1； 15； 23=5*5-2*1*1；

31=7*7-2*3*3； 39； 47=7*7-2*1*1；

55； 63=9*9-2*3*3； 71=11*11-2*5*5；

79=9*9-2*1*1； 87； 95；

103=11*11-2*3*3； 111； 119=11*11-2*1*1=13*13-2*5*5；

从上面看，有的数能分解出1种组合，有的数分解大于1种组合，有的数不能分解。其中所有的质数都只能分解出1种组合。

根据上面的数，我们进行一个归类。

无法分解的作为一类，15、39、55、87、95、111；

能分解出一种组合的，并且是质数的，7、23、31、47、71、79、103；

能分解出一种组合，但不是质数的，63；

能分解出大于一种组合的数，119。

第一种分类，那些数都是合数，根据质因数分解

15=3*5；39=3*13；55=5*11；87=3*29；95=5*19；111=3*37；

这类数的质因数都不是8N+7的分子，且存在奇数次幂，因此它就不能写成组合。

第二种分类，是非常类似费马平方和定理的数，即8N+7的质数能写出一种组合，而且只有一种。

第三种分类，那些数只能写出一种组合，但是这类数的a、b不互质。换句话说，他们的a、b同除公约数后，会得到符合第二种分类。

63=9*9-2*3*3=3*3*7；

7=3*3-2*1*1

同时这里出现的公约数都是8N+3、8N+5的数。他们在质因数分解的时候都是偶数次幂出现。

第四种分类，它们能写出大于1种的组合。我们发现，119=7*17；它的质因数是8N+1和8N+7，并且我们已知7能写出一种组合，同时17也能写出一种组合。即17=5*5-2*2*2。好了，大家发现结合前面所述，17这个8N+1的数居然能写出三种不同类型的组合。因此这里再透露一下，其实4N+1这类数还要分成8N+1和8N+5两类数来分析。这就是为啥说费马平方和定理有局限性的地方。在说4N+1的数时，其实我们讨论的是8N+5的形式，正好用到了8N+1，所以结合起来变成了4N+1了。

由于8N+7的数字乘积较大，因此在120范围内，只有119一个能写出2种组合的数字。那么我们按照这个规律再举一个例子：

1127=7*7*23=35*35-2*7*7=37*37-2*11*11=43*43-2*19*19

因此根据恒等式：

（a^2-2*b^2）*（c^2-2*d^2）=（ac-2bd）^2-2*（ad-bc）^2

=（ac+2bd）^2-2*（ad+bc）^2

进而，我们得出一个推论猜想：

所有能写成a^2-2*b^2形式的8N+7的正整数，它的写出形式的个数是无限个，但是我们给定一个范围，即a^2在2P的范围内，则P能写出a^2-2*b^2的个数与他的质因数有关。

令P为8N+7的正整数，则P的表达式：

P=[∏（8ai+1）^mi]*[∏（8bi+3）^ki] *[∏（8ci+5）^gi] *[∏（8di+7）^qi] i=1,2,3……,n

其中8ai+1、8bi+3、8ci+5、8di+7均为质数。8ai+1称为8N+1因子，8bi+3称为8N+3因子，8ci+5称为8N+5因子、8di+7称为8N+7因子。

1）当8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数；8N+7因子中，∑qi为奇数时，P能写出a^2-2*b^2的形式。反之则P不能写出a^2-2*b^2的形式。

2）a^2在2P的范围内，当P有一个8N+7因子时，P只能写出1个a^2-2*b^2形式，且a、b互质，则P为质数。反之亦然。

3）当P中的8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数，P在（a^2在2P的范围内）能写出的a^2-2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(qi+1)]/2。

4) a^2如果超出2P范围外，那么满足3）的条件时，P能写出a^2-2*b^2形式的个数是无限个。

五、8N+1的数

我们已经知道4N+1的数，其实是8N+1、8N+5混合的数。它们的规律是能写出a^2+b^2的组合；而8N+3的数能写出a^2+2*b^2的组合；8N+7的数能写出a^2-2*b^2的组合；然后8N+1的数也能写成a^2+2*b^2和a^2-2*b^2的组合。

这样，我们总结出来，8N+1的数它有三种表达组合。

比如：17=1*1+4*4=3*3+2*2*2=5*5-2*2*2

41=5*5+4*4=3*3+2*4*4=7*7-2*2*2

如果8N+1是质数，那么他的三种表达式在各组合中都是唯一解。

接下来我们还是选取了小于120的所有8N+1的数进行分析。

	a^2+b^2（8N+5）	a^2+2*b^2（8N+3）	a^2-2*b^2（8N+7）
9	3*3+0*0	3*3+2*0*0；1*1+2*2*2	3*3-2*0*0
17	1*1+4*4	3*3+2*2*2	5*5-2*2*2
25	5*5+0*0；3*3+4*4	5*5+2*0*0	5*5-2*0*0
33		5*5+2*2*2；1*1+2*4*4
41	5*5+4*4	3*3+2*4*4	7*7-2*2*2
49	7*7+0*0	7*7+2*0*0	7*7-2*0*0；9*9+2*4*4
57		7*7+2*2*2；5*5+2*4*4
65	8*8+1*1；7*7+4*4
73	8*8+3*3	1*1+2*6*6	9*9-2*2*2
81	9*9+0*0	9*9+2*0*0；3*3+2*6*6；7*7+2*4*4	9*9-2*0*0
89	5*5+8*8	9*9+2*2*2	11*11-2*4*4
97	9*9+4*4	5*5+2*6*6	13*13-2*6*6
105
113	8*8+7*7	9*9+2*4*4	11*11-2*2*2

从上面看，有的数能分解出1种组合，有的数分解大于1种组合，有的数不能分解。其中所有的质数都只能分解出1种组合。

根据上面的数，我们进行一个归类。

无法分解的作为一类，105；

三种组合都能分解出一种组合的，并且是质数的，17、41、73、89、97、113；

完全平方数的，9、25、49、81；

三种组合有一种组合能分解出大于一种组合的数，33、57、65。

第一种分类，那些数都是合数，根据质因数分解

105=3*5*7；

这类数的质因数都不是8N+1的分子，且存在奇数次幂，因此它就不能写成组合。

第二种分类，是非常类似费马平方和定理的数，即8N+1的质数三种形式都能写出一种组合，而且只有一种。这就是对费马平方和定理的一个拓展。

第三种分类，那些数是完全平方数，在三种形式里面都能半个组合。其中，我们发现9这个数字在8N+3的形式里能写成1.5个组合；25这个数字在8N+5的形式里能写成1.5个组合；49这个数字在8N+7的形式里能写成1.5个组合；81这个数字在8N+3的形式里能写成2.5个组合。

第四种分类，它们能在特定的形式中写出大于1种的组合。我们发现，33=3*11；57=3*19它的质因数都是8N+3形式，因此它们在这种形式里可以写出2种；65=5*13它的质因数都是8N+5形式，因此它们在这种形式里可以写出2种。

另外我们再举一个8N+7形式的数字。这里因为数字太小，没有它的举例。

161=7*23=13*13-2*2*2=17*17-2*8*8

进而，我们得出一个推论猜想：

所有8N+1的正整数，它符合8N+3、8N+5、8N+7三种形式的推论猜想。

令P为8N+1的正整数，则P的表达式：

P=[∏（8ai+1）^mi]*[∏（8bi+3）^ki] *[∏（8ci+5）^gi] *[∏（8di+7）^qi] i=1,2,3……,n

其中8ai+1、8bi+3、8ci+5、8di+7均为质数。8ai+1称为8N+1因子，8bi+3称为8N+3因子，8ci+5称为8N+5因子、8di+7称为8N+7因子。

href="">1） 当8N+3因子中，ki中有奇数；则P不能写出a^2+b^2、a^2-2*b^2的形式。

2） 当8N+5因子中，gi中有奇数；则P不能写出a^2+2*b^2、a^2-2*b^2的形式。

3） 当8N+7因子中，qi中有奇数；则P不能写出a^2+2*b^2、a^2+b^2的形式。

4） 当P只有一个8N+1因子时，P每种形式都能写出1个组合，且a、b互质，则P为质数。反之亦然。

5） P在各种形式中能写出的组合符合8N+3、8N+5、8N+7规则。

即当P中的8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数，P能写出的a^2+2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(ki+1)]/2。（8N+3）

当P中的4N+3（8N+3、8N+7）因子中，ki、qi均为偶数， P能写出的a^2+b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(gi+1)]/2。（8N+5）

当P中的8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数，P在（a^2在2P的范围内）能写出的a^2-2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(qi+1)]/2。 （8N+7）

六、偶数的讨论

将上述四种奇数的情况推广到偶数，即添加2^n，

令P为一个偶数，则它的表达式如下：

P=(2^n)*[∏（8ai+1）^mi]*[∏（8bi+3）^ki] *[∏（8ci+5）^gi] *[∏（8di+7）^qi] i=1,2,3……

2*（a^2+b^2）=（a+b）^2+（a-b）^2

2*（a^2+2*b^2）=（2b）^2+2*a^2

2*（a^2-2*b^2）=（2a-2b）^2-2*（a-2b）^2

因此，一个偶数能否能写成a^2+b^2、a^2+2*b^2和a^2-2*b^2三种形式，首先判断降解掉2^n因子后的分类8N+1、8N+3、8N+5、8N+7。然后根据前述分类进行讨论，最终个数与去掉2^n因子后的8N+1、8N+3、8N+5、8N+7的个数一样。

七、质数的判断

根据上述猜想，我们介绍一种新型检验质数的方法：平方法测试。

如：正奇数P

1、判断P属于8N+1、8N+3、8N+5、8N+7中哪个类型。

2、根据类型匹配a^2+k*b^2。（其中k=1、2、-2），原则上8N+1我们按8N+5匹配。

3、如果只能得到1种组合，且（a、b）互质，那么P就是质数。如果没有组合或者多于一种，则P不是质数。

八、质数分布的规律性

质数混在一起，看起来杂乱无章，但是分成4个部分后，我们会发现一定的规律性。

我们通过EXCEL来构造图阵。

8N+3

在纵向，我们设定如下的数据：

A列为N，B列为8N+3

在横向上，第一行为P，第二行为2*P*P。，形式如下：

以上图阵设立好，接下来，我们将纵轴B的数字减去横轴2的数字，填列至相应的格子中，即8N+3-2*P*P，如果结果是完全平方数，则用蓝色标记。

从上图中，我们发现，纵列C首个标记点在C3，蓝色标记的两两间隔都会增加1。纵列D也是这样的分布，只是首个标记点在D5，依次类推。

同时，每行出现的蓝色标记为1时，同时蓝色标记点与B列对应点互质，那么B点的数字就是质数。

8N+5

在纵向，我们设定如下的数据：

A列为N，B列为8N+5

在横向上，第一行为P，第二行为P*P。，形式如下：

以上图阵设立好，接下来，我们将纵轴B的数字减去横轴2的数字，填列至相应的格子中，即8N+5-P*P，如果结果是完全平方数，则用蓝色标记。

从上图中，我们发现，纵列C首个标记点在C3，蓝色标记的两两间隔都会增加1。纵列D也是这样的分布，只是首个标记点在D7，依次类推。

同时，每行出现的蓝色标记为1时，同时蓝色标记点与B列对应点互质，那么B点的数字就是质数。

8N+7

在纵向，我们设定如下的数据：

A列为N，B列为8N+7

在横向上，第一行为P，第二行为P*P。，形式如下：

以上图阵设立好，接下来，我们将纵轴B的数字加上横轴2的数字，填列至相应的格子中，即8N+7+2*P*P，如果结果是完全平方数，则用蓝色标记。

从上图中，我们发现，纵列C首个标记点在C3，蓝色标记的两两间隔都会增加1。纵列D是从第三个蓝色标记开始，与C列排列一致，首个标记点在D6；纵列E是从第五个蓝色标记开始，与C列排列一致，首个标记点在E11，依次类推。

同时，每行出现的蓝色标记为1时，同时蓝色标记点与B列对应点互质，那么B点的数字就是质数。

8N+1

可以做出三种图阵，这里从略。

同样，每行出现的蓝色标记为1时，同时蓝色标记点与B列对应点互质，那么B点的数字就是质数。

九、总结

综上所述，质数是有规律的。上述猜想除了费马平方和定理外，其他没有证明。我将上述所有猜想称为“大Q猜想”，因为它们是一个整体，我相信这一定能够能为定理，我也相信，我找到了质数的部分规律。

通过这个猜想，我们有了质数的弱表达式，经过深入的研究，可能会揭示质数的其他奥秘。

2021年2月2日

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