排列问题：关心顺序，区别对待

三枚奖牌，金银铜颁发给8个人中的3个人，有多少种方法？ 换言之：8个人选出3个人进行排名，有多少种方法

第一步：第1名，可以在8个人中任选一个，有8种选择。A可以被替换为 B C D E F G H中的任何一个。第二步：第2名，可以在除去已经获得金牌的人之外的7个人中任选一个，有7种选择。第三步：第3名，在已经获得金牌、银牌的两个人之外的6个人中任选一个，有6种选择。那么很明显，总共的颁奖方式有8 * 7 * 6 种

对8个人都进行排名，有多少种方法？

很明显，从第一名一直到第八名，共有8*7*6*5*4*3*2*1种排法。发奖牌只发三个就不发了，后面的五个人第几名都不关心了，那么排列问题可以归纳为：

也就是

那么我现在有n个人，选出k个人进行排名，有多少种排列方式呢？

特别的：

组合问题：不关心顺序，一视同仁

仍然是8个人，现在不发奖牌，不排名，只是选出三个人，有多少种组合方式呢？因为不关心顺序，所以选出的三个人是”ABC”、”ACB”、BAC”、”BCA”、”CBA”还是”CAB”我都不关心，这6种排序方式都归为同一种组合。所以我只要排序问题后面，把三个人的排序方式除掉就行了。

根据排列与组合之间的关系，组合问题就是去除掉排列问题中组合数量的排列关系

根据这个公式，我们也可以得到：

特殊的：

分组问题：多重排列组合

分组问题可以看成是多个组合问题

• 平均分组6个人两两分组，有多少种组队方式呢？因为都是两人组，这里不再关心分组的排列顺序，三个分组都是等价的，所以可以除去所有队伍数量的排列数

• 不平均分组6个人分3组，各组人数分别为3人、2人、1人，共有多少分法？因为三组数量不一样，所以选出的三组是有区别的，不能“一视同仁”。但是先选1人还是先选3人，这个是无所谓的，这就跟排列问题类似，先给铜牌颁奖还是先给金牌颁奖是不会影响结果的。

• 部分平均分组6个人分成3组，各组人数分别为4人、1人、1人，共有多少种分法？先用上面的逻辑思考一下，按照不平均分组的逻辑，这个应该有：

但是当我从6个人选出4个人之后，接下来的1个人分组是等价的，其实分组方式就已经确定的，不关心后面两个人分组的顺序，所以实际的结果应该是：

延伸思考：8个人分成3组，各组人数分别为4人、2人、2人，共有多少分法？

• 不定量分组6个人分成3组，每组至少一个人，共有多少种分法？这个问题需要把几种分组情况列出来：4,1,1、3,2,1、2,2,2。其中等分2,2,2分组相同。这实际是前三个问题的汇总。

• 分配问题6个人分成3组，每组至少一个人，然后3组分别被分配到一班、二班、三班，共有多少种分法？此时这个问题就有排列问题了，也就是前面的结果再乘上一个3组的全排列：

相同元素分组分配问题

分组问题

将6本相同的书分三组，每组至少有一本，共有多少种分法？6本分成三组，每组至少一本，分组情况列出来：4,1,1、3,2,1、2,2,2。因为每本书相同，没有顺序关系，每种情况方式只有分法。所以总共也就3种分法。

分配问题

分配问题：将6本相同的书分给甲、乙、丙三个人，每个人至少一本，共有多少种分法？这个有两种解法：

• 常规解法：

第一种思路：6本分成三组，每组至少一本，分组情况列出来：4,1,1、3,2,1、2,2,2。分类讨论一下：

第二种思路：因为每个人至少一本书，而且每本书都是一样的。所以先给甲、乙、丙各分一本书，这样就满足了每个人至少一本书的条件。然后就是讨论剩下的三本书的分配问题了：

• 隔板法：6本书都是相同的，4,1,1、3,2,1、2,2,2三种分组都只有一种情况，但是分配给甲、乙、丙三个人就不一样了，比如下面的“4,1,1”这种分法：

经上图启发，6本相同的书排成一排，因为每个人至少一本，也就是从6本书形成的5个空档中插入两个隔板。

分配问题：将6本相同的书分给甲、乙、丙三个人，共有多少种分法？这个问题和上面的分配问题：将6本相同的书分给甲、乙、丙三个人，每个人至少一本，共有多少种分法？区别在于，有人可能分不到书。这个用常规方法解题就复杂多了，分情况讨论一下：

如果用隔板法就简单多了：结合一下上面分配问题：将6本相同的书分给甲、乙、丙三个人，每个人至少一本，共有多少种分法？问题的第二种常规解题思路和隔板法解题思路。假设我有9本书分给甲、乙、丙三个人，每人至少一本，共有多少种分法？是不是就是每个人至少分一本，然后考虑6本书怎么分配给甲、乙、丙三个人。所以这个将6本相同的书分给甲、乙、丙三个人，共有多少种分法？和9本书分给甲、乙、丙三个人，每人至少一本，共有多少种分法？这两个问题结果上是一样的。那9本书用隔板法进行分配就有