记 triangle ABC 的面积为 Delta, 边长分别为 a,b,c,外接圆和内切 圆半径分别为 R,r.

1. Weitzenböck 不等式

4 sqrt{3} Delta leqslant sum a^{2} tag 1

当且仅当三角形为正三角形时取等号。

2. Polya-Szego 不等式

Delta leqslant frac{sqrt{3}}{4}left(prod aright)^{frac{2}{3}} tag 2

当且仅当三角形为正三角形时取等号。

3.

frac{16}{9} Delta^{2} sum a^{2} leqslant(a b c)^{2} tag 3

当且仅当三角形为正三角形时取等号。

4. Neuberg-Pedoe 不等式

设 triangle A_{1} A_{2} A_{3} 与 triangle B_{1} B_{2} B_{3} 的边长分别为 a_{1}, a_{2}, a_{3} 和 b_{1} b_{2}, b_{3}, 面积分别为 Delta_{1} 和 Delta_{2}, 则

sum a_{1}^{2}left(-b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}right) geqslant 16 Delta_{1} Delta_{2} tag 4

等号成立当且仅当 triangle A_{1} A_{2} A_{3} sim triangle B_{1} B_{2} B_{3}

5. 高灵不等式

设 triangle A_{1} A_{2} A_{3} 与 triangle B_{1} B_{2} B_{3} 的边长分别为 a_{1}, a_{2}, a_{3} 和 b_{1}, b_{2}, b_{3}, 面积分别为 Delta_{1} 和 Delta_{2}, 则

sum a_{1}left(-b_{1}+b_{2}+b_{3}right) geqslant sqrt{48 Delta_{1} Delta_{2}} tag 5

等号成立当且仅当 triangle A_{1} A_{2} A_{3}sim triangle B_{1} B_{2} B_{3}

6. Finsler-Hadwiger 不等式

4 sqrt{3} Delta+sum(a-b)^{2} leqslant sum a^{2} leqslant 4 sqrt{3} Delta+3 sum(a-b)^{2} tag 6

当且仅当三角形为正三角形时取等号。

7. Walker 不等式

sum frac{1}{a^{2}} leqslant frac{1}{4 r^{2}} tag 7

当且仅当三角形为正三角形时取等号。

8. Neuberg 不等式

sum a^{2} leqslant 9 R^{2} tag 8

当且仅当三角形为正三角形时取等号。

9. 欧拉(Euler) 不等式

2 r leqslant R tag 9

当且仅当三角形为正三角形时取等号。

参考：樊益武. 四面体-不等式[M]. 哈尔滨工业大学出版社, 2017.03