有三种看待向量的观点，看似不同，却有所关联

1. 物理专业：向量是空间中的箭头，决定向量的是它的长度和它所指的方向，以上两个特征相同的话你就可以自由移动一个向量而保持它不变。处在平面中的向量是二维的，处在生活中的向量是三维的。

2. 计算机专业：向量是有序的数字列表

3. 数学家：向量可以是任何东西，保证向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。比较抽象

向量到底是什么？我们先来确定一种思考“向量”的特定方式！因为我们关注的是它的几何方面，所以每当我引入一个向量的新主题时，我需要你首先考虑一个箭头，更具体地说，考虑这个箭头落在某个坐标系中，比如x-y平面，并且箭头起点位于原点，这与物理专业学生的看法略有不同，因为在他们眼中，向量可以在空间中自由落脚，但在线性代数中，向量经常以原点作为起点，一旦你理解了“向量是空间中的箭头”这种观点，我们就来看看“向量是有序的数字列表”这种观点，我们可以通过向量坐标来理解它。因为这两种观点之间的碰撞，恰恰形成了线性代数中的重要概念。

现在我们先把眼光局限在二维空间中，画一条水平的线，我们叫它x轴，再画一条竖直的线，我们叫它y轴，两轴交点我们称之为原点，你应该把它看作整个空间的中心和所有向量的根源。

接下来用它来表达整个二维空间。一个向量的坐标由一对数构成，这对数指导你如何从原点（向量起点）出发到达它的尖端(向量终点)。第一个数告诉你沿着x轴走多远，正数代表向右移动，负数代表向左移动。第二个数告诉你在此之后沿着平行y轴的方向走多远，正数代表向上移动，负数代表向下移动。每一队数给出唯一一个向量，而每一个向量恰好对应唯一一对数。三维空间的向量又如何呢？我们就再添加垂直于x轴和y轴的第三根轴，叫它z轴。

这种情况下，每个向量就与一个有序三元数组对应，第一个数告诉你沿着x轴走多远，第二个数告诉你沿着平行y轴的方向走多远，第三数告诉你沿着平行z轴的方向走多远。每一个三元数组给出唯一一个向量，而每一个向量恰好对应唯一一个三元数组。

现在来看向量的加法和向量数乘：

为了把他们相加，我们平移第二个向量，使它的起点与第一个向量终点重合，然后画一个向量，它从第一个向量的起点出发，指向第二个向量的终点，这个向量就是他们的合。

为什么这样定义是合理的，为什么不用其他的方法去定义呢？这里，我比较喜欢把每个向量看作一种特定的运动，即在空间中朝着某个方向迈出一定距离，如果你沿着第一个向量移动，然后再按照第二个向量所描述的运动方式运动，总体效果与你沿着这两个向量的和运动无异。

现在我们从数字的角度看看向量的加法，第一个向量的坐标是(1,2),第二个向量的坐标是(3,-1),如图， 新向量坐标就是(1+3,2+(-1)),总的来说，在”向量是有序的数字列表”观点里，向量加法就是把对应项相加。数字2，把它与一个给定向量相乘，意味着你把这个向量拉长为原来向量的2倍。再比如将向量乘以1/3，就意味着这个向量长度缩短为原来的1/3,这种被称为”缩放”。我们选择的2，1/3，或者其他任何数，他们用于缩放向量，被称为”标量”，实际上自始至终，数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量。所以“标量”和“数字”两个词通常在这里可以相互替换。从数字角度来看，将一个向量伸长为原来的2倍，对应将每一个分量分别乘以2，所以将向量看作一个数字列表时，向量与标量相乘就是将向量中的每个分量与标量相乘，线性代数围绕两种基本运算“向量加法与向量数乘。为什么数学家只考虑这两种运算，并且将他们抽象独立出来，不管你选什么代表向量都与之无关。实际上无论你怎么看待向量都无所谓，或把向量看作空间中箭头，就像我建议你做的，这种观点恰好有漂亮的数值表示与之对应，或把向量看作数字列表，这种观点又恰好有漂亮的几何意义与之对应，线性代数更多地体现在它能够在这些观点中相互转化。线性代数为数据分析提供了一条将大量数据列表概念化，可视化的渠道，它让数据样式变得非常清晰，并让你大致了解特定运算的意义。另一方面，线性代数给物理学家和计算机图形程序员提供了一种语言，让他们通过计算机能处理的数字来描述并操纵空间。举个例子：当我们制作一些动画时，我们首先考虑空间中究竟发生了什么，然后在计算机上用数字代表这些变化，从而计算出在屏幕上的哪些地方放置像素。完成这些工作通常需要依靠对线性代数的深厚理解才能完成！

原版音频可以看这个：