專欄“三種典型偏微方程的物理背景”一文中引入瞭振動方程，其具體形式為

u_{tt}=c^2u_{xx}

本篇將重點推導振動方程的通解形式，並進一步得到達朗貝爾公式（Dalembert`s formula），並且從物理的角度闡釋波動方程能量守恒的性質。

1. 振動方程通解

對於一切偏微分方程，都可以看作某個線性變換L作用在函數解上。對於振動方程，這個線性變換表示為

L=frac{partial^2}{partial t^2}-c^2frac{partial^2}{partial x^2}

通過簡化線性變換進一步簡化振動方程

left[frac{partial^2}{partial t^2}-c^2frac{partial^2}{partial x^2}right]U=left[frac{partial}{partial t}-cfrac{partial}{partial x}right]left[frac{partial}{partial t}+cfrac{partial}{partial x}right]U=0

變量代換

xi=x+ct, eta=x-ct

得到導數的代換關系

U_x=frac{partial U}{partialxi}frac{partialxi}{partial x}+frac{partial U}{partialeta}frac{partialeta}{partial x}=frac{partial U}{partialxi}+frac{partial U}{partialeta}

U_t=frac{partial U}{partialxi}frac{partialxi}{partial t}+frac{partial U}{partialeta}frac{partialeta}{partial t}=cfrac{partial U}{partialxi}-cfrac{partial U}{partialeta}

代入得到替代關系

frac{partial}{partial t}-cfrac{partial}{partial x}=cfrac{partial}{partialxi}-cfrac{partial}{partialeta}-cfrac{partial}{partialxi}-cfrac{partial}{partialeta}=-2cfrac{partial}{partialeta}

frac{partial}{partial t}+cfrac{partial}{partial x}=cfrac{partial}{partialxi}-cfrac{partial}{partialeta}+cfrac{partial}{partialxi}+cfrac{partial}{partialeta}=2cfrac{partial}{partialxi}

因此，代換後的波動方程變為

left[frac{partial}{partial t}-cfrac{partial}{partial x}right]left[frac{partial}{partial t}+cfrac{partial}{partial x}right]U=-2c^2frac{partial U}{partialxipartialeta}=0

這說明，方程的解對 xi 和 eta 的偏導為零，得到方程的解為

U=fleft(xiright)+gleft(etaright)

其中 f(xi) 和 g(eta) 是任意單變量函數，代回原有變量得到

U=fleft(x+ctright)+gleft(x-ctright)

由此得到瞭振動方程的通解。註意到隨著時間的增加，解的第一項在坐標軸上向左移動，而第二項在坐標軸上向右移動，在形式上解釋瞭波的傳播方式。

2. 達朗貝爾公式

註意到，波動方程是一個二階偏微分方程，因此在求解特解時通常需要兩個初始條件

Uleft(x,tright)=phileft(xright), U_tleft(x,tright)=psileft(xright)

根據上一個部分的討論，我們知道通解的表達形式為

Uleft(x,tright)=fleft(x+ctright)+gleft(x-ctright)

代入初始條件得到

phileft(xright)=fleft(xright)+gleft(xright)

psi(x)=cf^{prime}(x)-cg^{prime}(x)

對一式求導並整理得到方程組

f^{prime}left(xright)+g^{prime}left(xright)=phi^{prime}left(xright)

f^{prime}left(xright)-g^{prime}left(xright)=frac{1}{c}psileft(xright)

求解方程組得到

fleft(xright)=frac{1}{2}left[phileft(xright)+frac{1}{c}int_{0}^{x}psileft(sright)dsright]

gleft(xright)=frac{1}{2}left[phileft(xright)-frac{1}{c}int_{0}^{x}psileft(sright)dsright]

代入振動方程的通解形式，得到達朗貝爾公式

Uleft(x,tright)=frac{1}{2}[phileft(x+ctright)+phileft(x-ctright)]+frac{1}{2c}int_{x-ct}^{x+ct}ψ(s)ds

3. 振動方程能量守恒

回顧從物理系統推導振動方程時，系數有固定的物理含義，

c=sqrt{T/rho}

其中 T 表示振動弦的切向受力，而 rho 表示振動弦密度，類似牛頓力學中動能的定義，定義波動方程的“動能”表示為

kleft(tright)=frac{1}{2}rhoint_{-infty}^{+infty}{U_t^2left(x,tright)dx}

嚴格來說，上式積分不一定收斂，但我們假設這裡總是可以定義的。

顯然，我們希望定義的“動能”函數不隨時間變化，對時間求導得到

frac{d}{dt}kleft(tright)=frac{d}{dt}int_{-infty}^{+infty}{frac{1}{2}rho U_t^2left(x,tright)dx}=frac{1}{2}rhoint_{-infty}^{+infty}{frac{d}{dt}U_t^2left(x,tright)dx}=int_{-infty}^{+infty}{rho U_tU_{tt}dx}=Tint_{-infty}^{+infty}{U_tU_{xx}dx}

分部積分得到

frac{d}{dt}kleft(tright)=left[TU_tU_xright]_{-infty}^{+infty}-int_{-infty}^{+infty}{TU_{tx}U_xdx}

物理上振動方程的解需要在無窮遠處收斂，因此第一項為零

frac{d}{dt}kleft(tright)=-int_{-infty}^{+infty}{TU_{tx}U_xdx}=-frac{1}{2}Tint_{-infty}^{+infty}{frac{partial}{partial t}U_x^2left(x,tright)dx}=-frac{partial}{partial t}left[frac{1}{2}Tint_{-infty}^{+infty}{U_x^2left(x,tright)dx}right]

由此，我們可以定義勢能函數

Pleft(tright)=frac{1}{2}Tint_{-infty}^{+infty}{U_x^2left(x,tright)dx}

自此我們得到瞭振動方程的總能量

E(t)=kleft(tright)+Pleft(tright)=frac{1}{2}rhoint_{-infty}^{+infty}{U_t^2left(x,tright)dx}+frac{1}{2}Tint_{-infty}^{+infty}U_x^2(x,t)dx=int_{-infty}^{+infty}left[frac{1}{2}ρU_t^2+frac{1}{2}TU_x^2right]dx

根據上述推導，總能量函數不隨時間變化，能量函數守恒

frac{d}{dt}E(t)=frac{partial}{partial t}left[frac{1}{2}rhoint_{-infty}^{+infty}{U_t^2left(x,tright)dx}+frac{1}{2}Tint_{-infty}^{+infty}{U_x^2left(x,tright)dx}right]=0

總結一下，本篇推導瞭振動方程的通解形式和達朗貝爾公式，並分析瞭振動方程的能量守恒。實際上，對於非齊次振動方程，可以運用同樣的分析方法得到方程的一些數學性質。這些數學性質往往在具體無法求解方程的情況下有重要的研究意義。