主元思想是数学中的一个重要思想。比如说，圆锥曲线问题有时可以以 x 为主元，有时可以以 k 为主元，甚至可以以 frac{y}{x} 为主元。

1、以定点为基准

这里是我的经验之谈，比如说如果是过 x轴 上一点的直线就设 x=my+n ，而不是设 y=k（x-x_{1}）+b ，这样可以简化计算。联立代入的时候也可以使用技巧看看自己有没有算错。

无论是表达斜率，面积，还是长度，矢量积，一般不会出现三次项和四次项，即m和n的次数和不为3，所有四次项都会相互抵消。所以，如果圆锥曲线中的任何式子出现三次项或无法消去的四次项，请认真检查！

2、以动点坐标为主元

过y^{2}=4x的焦点F作相互垂直的两直线l_{1}和l_{2}，l_{1}交抛物线于A，B（A在上方），l_{2}交准线于N。直线AN交x轴于Q，求S_{Delta AQB}最小值

设 l_{1}：x=my+1，代入得y^{2}-4my-4=0

设 A（x_{1}，y_{1}），B（x_{2}，y_{2}） 不难得到 N（-1，2m）

那么 S=FQcdot left| y_{1}-y_{2} right|

如果我们以m为主元的话，我们需要解出Q的坐标，但是直线AN和y1相关，要使用求根公式才能完成m表示y1，肉眼可见的计算量。

所以可以用到主元思想，将S用y1表示。这一定是可行的。因为由韦达定理 y_{1}+y_{2}=4m即 m=frac{y_{1}+y_{2}}{4} ,可以把m全部由y1和y2表示，而韦达定理 y_{1}y_{2}=-4 ，可以用y1表示y2，所以，最后的式子一定可以化为只关于y1的函数。

x_{1}有两种表示方法，一种是表示为frac{y^{2}}{4}，一种是表示为my_{1}+1

两种都可以继续化简下去。利用 m=frac{y_{1}+y_{2}}{4} 和 y_{2}=-frac{4}{y_{1}} 的关系式

最后化为 S=frac{1}{8}（y_{1}^{3}+8y_{1}+frac{16}{y_{1}}）

利用导数得到 S_{max}=frac{16}{9}sqrt{3}

这题还可以利用角度主元，也就是极坐标解法，因为题目中隐藏了一个 等腰Delta AFQ ，但是不建议，因为高考可能不认可这种解法，我把我的极坐标解法放在下面

我用了许多抛物线的二级结论和高阶的均值不等式（也可以求导）。二级结论是要记的！

3、蒙日圆—-以 k 为主元

先给出蒙日圆的结论，双曲线也可以记，因为最近特别喜欢考大题双曲线

过frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1上任意不同的两点A，B作切线，若两切线相互垂直且交于P，那么P的轨迹是x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}

过frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)上任意不同的两点A，B作切线，若两切线相互垂直且交于P，那么P的轨迹是x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}

下面给出母题

C：frac{x^{2}}{16}+frac{y^{2}}{4}=1外有点P，过P引C的切线PA，PB，且PAbot PB，求P的轨迹方程

首先设切线系：y=kx+b，代入得

（1+4k^{2}）x^{2}+8kbx+4b^{2}-16=0 ，设 P（x_{0}，y_{0}）

用上秒算判别式的技巧得 Delta=4cdot16cdot4cdot（16k^{2}+4-b^{2}） 秒算技巧放下面。

P点满足 y=kx_{0}+b也就是b=y-kx_{0}

所以说，完成了核心步骤消b，就可以使用 x_{0}和y_{0}去表示主元k了

代入整理得到 （16+x_{0}^{2}）k^{2}-2x_{0}y_{0}k+4+y_{0}^{2}=0

这里就可以使用主元法了，以k为主元 k_{1}k_{2}=frac{4+y_{0}^{2}}{16+x_{0}^{2}}=-1

所以是 x^{2}+y^{2}=20

之所以我们可以以k为主元，是因为我们设y=kx+b表示的是切线系，也就是同时表示两个切线

4、齐次化联立—-以 frac{y}{x} 为主元

这个方法并不推荐，因为难以书写坐标系平移的步骤，而且这种平移难以得到高考阅卷的标准。可以使用我的方法去完美代替这种方法——增根法。如下：

言归正传，这种主元本质上是和上面蒙日圆 的一致的，都是“k”为主元。下面给出大概的步骤，具体的平移坐标系的写法哪样标准，还得去问问给改卷标准的老师（千万别太相信普通机构或网上的回答）

这里的关键在于使得已知点为原点简化计算，同时利用 frac{y-kx}{b}=1 的归一条件进行升次齐次化。当然设 mx+ny=1 可以避免k不存在或为0的情况，还可以大幅度缩减计算，但是因为截距式的认可度不高，需要谨慎使用

如果是求定点，那么求出定点后还要平移回去。