关于牛顿三定律的提出和彼此关系，在我所认识的社交软件和生活谈话中有很多疑惑之处，最近我也花时间认真辨析了几个问题，然后提出我的观点。在这些困惑中，有以下几个问题是核心。

牛顿第二定律是怎么证明的？牛顿如何得到的力与加速度的关系？

牛顿第二定律和惯性定律（牛顿第一定律）有什么关系？

牛顿第二定律和惯性定律能够合并成一个定律么？

牛顿定律究竟是公理还是定理？

接下来，我希望大家抛弃掉对牛顿定律的所有主观理解，就当作自己是一个刚出生的孩子，什么都不懂。现在就让我们穿越到伽利略与牛顿的时代，看看牛顿三定律是如何诞生的！

（一）牛顿第一定律（惯性定律）

牛顿三大定律，第一定律是惯性定律，也就是物体在不受合外力的作用下会保持匀速直线或静止状态。目前我们一致认为，这个定律事实上是由伽利略的思想实验总结得到的，但其实这里面存在着一个问题：什么是力？

很显然，伽利略并没有定量地给我们“力”的概念。然而，尽管力这个概念本身是抽象的，但是人们通过观察就能感受到有一种称之为“力”的特殊作用存在。比如，一个苹果会下落。那么它一定受到了地球给它的作用，也就是“重力”。“重力”这个概念在牛顿三大定律提出之前无法定量地描述，但是物体会受到重力这个“感觉”是显然能够总结出的。虽然伽利略的实验中没有应用到牛顿第二定律，此时根本就没有对力是什么，力的大小如何度量有明确的定义，但是根据生活观察经验就能得到第一定律。

现在重新观察伽利略的实验，你会发现，伽利略意识到了物体之所以从A只能运动到C，是因为受到了“重力”，但是他也没有对重力是什么？重力怎么来的？重力大小是多少有一个定义，伽利略仅仅认为“重力就是地球对物体的一种特殊作用”。但是这并不妨碍出伽利略得到惯性定律，因为惯性定律的描述的是不受合外力下的运动情况，我们不需要对重力的数值进行定性，只要我们认为小球没有受到合外力就可以了（换句话说，人们发现了地球让物体下落的这种“作用”（即重力）方向就是竖直向下的，那么根据思想实验，当平面没有倾角时，也就不受到合外力了）

换言之，惯性定律就是对生活现象的一般性总结和极限思想下的升华，理论服务于实际现象，这符合自然科学的一般逻辑。这也是为什么在牛顿建立力概念之前伽利略就总结出了惯性定律的原因。

与此同时，惯性定律还定义了“惯性系”（准确地说，不应该叫『还定义了』，而应该说惯性定律就是对惯性系的定义）。用通俗的语言去讲，所谓惯性系就是一种参考系，而这个参考系的特点就是：在该参考系下，惯性定律所描述的现象成立，那么我们就称这个参考系叫惯性系。反之，不是惯性系的参考系就是非惯性系，也就是惯性定律所描述的现象不成立的参考系都叫惯性系。

假如当年伽利略是在一辆加速行驶的车中完成的实验，那么他就会得到与现在表述的惯性定律截然不同的现象论述，如果这样的话，他也许就会定义那个参考系叫“惯性系”，而我们平时所称的惯性系反而成为“非惯性系”了。

（二）牛顿第二定律

牛顿第二定律，现在我们写作F=m dv/dt

关于牛顿第二定律的提出，也是众说纷纭，我先来给出我的看法：牛顿第二定律实际上是牛顿对“力”这个抽象概念的定性定义，因此严格的说，牛顿第二定律确实是定义式。

伽利略的惯性定律中给出了物体不受“力”的情况下会发生什么，但是并没有具体阐述究竟什么是“力”？这只是一种凭感觉得到的经验定律。

现在请你抛开所有已经学过的物理学知识，假想你只是一个刚出生的孩子，下面我们将重新建立起力学的基础。

倘若你问一个没学过物理的小孩：什么是力？

小孩可能会回答：我对一个物体一下，或者拉一下，这种作用就是“力”。

听起来很有道理，但是如何量化这个“力”呢？如何严格的去定义力呢？这是一个很关键的问题。

先说说在生活中，我们具体看到的是什么现象：

我们对一个物体进行“作用”—用大白话说，就是我们推了物体一下之后，这个物体运动状态会发生了一个变化。翻译成物理语言，就是当我们对物体进行了一个作用后，该物体产生了速度。

从运动学的角度我们就知道，当物体产生了速度，就势必是因为产生了一个加速度，从而让物体具有速度。

因此，从我们的“感受”层面来说，就是我们对一个物体作用了，这个物体由此产生了一个加速度，使其产生了速度

那么我们就把这个作用叫做力。也就是说，能让一个物体产生加速度的作用就定义叫做力。

设想你是牛顿，伽利略告诉你了一个惯性定律，你对伽哥说：“老哥，你说得很好！但是你的这个”力“概念实在是太模糊了，我给你定个性吧！能让一个物体产生加速度的作用就叫力！“伽利略也很开心，挺好啊，这样大家问我到底啥叫力的时候，我就能给人解释一下了！

好的，力的定义我们给了，那么力该如何量化呢？如何比较两个力的大小呢？

我们可以这么量化它：对于同一个物体，如果一个作用（力）能让它产生更大的加速度，那么这个力就比其他力要大。

从大小层面我们可以比较了，而且也符合常理：“我们所感觉到的“使劲推”和“轻轻推”确实会给物体不同的加速度，而且“使劲推”的加速度更大一些。”

但是我们还需要近一步量化。那么不如就定义让1kg物体产生1m/s的加速度的这个作用大小是力的1单位。那么比如我们就定义F=ma吧！

你可能会产生疑问了，既然如此，为什么不定义F=m/a呢？此时m=1kg，a=1m/s²的时候，F数量级上也为1。其实这种定义也未尝不可，但是需要注意两个问题：第一点就是与日常习惯相符，比如在此之前人类尽管没有对”力“的大小定性，但是力这个词已经很常用了（虽然没有成为一个物理学词汇），想象一下，尽管我们没学过物理，但是也有”省力，费力“的说法。假如定义F=m/a，那么对于相同的物体，越使劲推，产生的加速度越大，但由定义式来说力应该越小。这会让人听起来很别扭，我越费劲，反而你说”力“越小，这与日常说法相反，很不舒服。第二点就是方便计算，你让F=m/a，那么在已知a的情况下计算F数值时就很麻烦，同时在得到实验现象动量守恒时关系不太简洁（下文会说到这个问题），而F=2ma和F=ma相比肯定还是稍微麻烦了点，我们想让F在m=1，a=1的情况下，m与a拼凑出的F也为1，那么F=ma是最方便的等式了。第三点是符合矢量概念，比如F就不能等于ma²，因为a是一个矢量，矢量a的平方就不再是矢量了，如果我们想定义力的方向，就势必不能如此定义。

综上所述，F=ma是兼顾了以上几点后牛顿所选择的力的最简单方便/最符合日常习惯的定义形式。

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以上主要针对的是初高中刚刚接触牛顿力学的同学们的讲解，如果你学过动量守恒，接下来的内容会加深对上述的理解。

尽管刚才的定义力的思路没什么问题，但你总会觉得有些"刻意"，所以我们不妨追根溯源一下，看看历史上的牛二律是在什么背景下提出的。

如果你深究牛顿力学的发展历程，那么在牛顿定律提出的前夕，有一个很重要的概念和现象是不得不说的——动量守恒。要注意的是在高中课本中，常常是先讲牛顿定律，再讲动量定理与守恒，实际上历史的历程刚好相反，人们先发现了动量守恒现象，才定义了力F。

在与牛顿差不多时期的惠更斯等人，在研究小球的弹性碰撞问题时，发现了一个有趣的守恒量 mv ，在碰撞前后，两个小球总系统的该物理量总大小是不变的。现在我们管这个物理量称作“动量”，而这个守恒的现象就称之为“动量守恒”，如果用严格的数学语言去描述，亦即在整个过程任意时刻， dP_{a}/dt= dP_{b }/dt=C(t) ，其中C可能随着时间而变化著，但是这个动量变化率的等式关系是永远成立的。

于是我们根据这个关系，进行简单的数学推导 C=dP/dt=d(mv)/dt=m(dv/dt)=ma ，然后我们定义这个物理量C称为"力F“，于是可以直接导出牛顿第二定律。因而，在很多教科书中，对于牛顿第二定律的表达形式是 F=dP/dt （其实这就是我们学过的动量定理，因此你也可以看出，动量定理实际上也是一个定义式）。但是无论使用何种表达形式，都应该注意到，它们都是对于力的定义式而非关系式。

因而，从最原始的科学史观点来看，对于力F这个抽象的物理量，就是建立在动量守恒这个实际现象上的。我们发现(dP/dt)具有满足现象的特殊含义，然后定义这个值为F，此外，要想从动量守恒现象得到牛顿第二定律，还需要对作用力与反作用力作某种特殊约束关系（即牛顿第三定律）。同时要注意，我们这里是直接定义了C是力，也可以定义 F=kC=kdP/dt=kma ，也就是说理论上可以在ma前面加上任意一个比例系数k来定义F，只不过为了简单，我们让k=1【人教版必修一中提到过这个问题】

还记得刚才我们说到，如果定义的是F=m/a后，就很难简洁的表示动量定理和守恒吗？确实是这样，因为按照这F=m/a这样的定义，那么动量定理就变成了 F=m^2(dt/dP) ,相当于定义 dP_{ }/dt=C(t) 中的F= 1/C ，无论是习惯上还是美观上，肯定没有平时的形式简洁。（但是理论上也是可以的，只不过数学形式复杂了点）。

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于是我们要引出一个关键的问题：牛二定律和动量守恒谁更基本？

一定是后者更加基本，因为物理这门学科说到底，是从一些有限的现象中启发出有用的数学信息，然后对其中重要的数学关系定义成某个物理量，然后导出这些现象中的数学关系式。现象在前，关系在后，这个先后的顺序是不能颠倒的。

综合动量守恒现象，由于第三定律的假定和对F=dP/dt的定义，我们可以得到F=ma的关系。而F=ma的物理含义就是对一定质量物体的运动状态改变具有影响的物理量是F，这完美的符合了我们生活中对力的一般认识。与此同时，我们接下来做的并不是讨论F=ma是否符合除了碰撞问题之外的实际现象，而是拿着这个对F的定义式来根据各种实际现象反向导出不同类型的力的表达式【也就是上文说的“把不同现象套入到数学模型F=ma中】。既然我们是根据这个定理获得的力的表达式，那么在我们已知范围里的任意一个现象肯定满足F=ma（不然重力、拉力、弹簧弹力表达式是怎么得到的？）

我额外还要补充一点，也许接下来我所说的你在短时间内无法理解，但是我觉得还是有必要说一下。

从实质上来说，我们所讨论“动量守恒”和牛顿定律谁更基本的这个问题，是一个非常学术性的问题。实际上，在理论物理学中，有一条重要的定理：诺特定理

简单来说，就是“每一个物理意义上的守恒量都对应着一种对称性”。这是现代理论物理的根基。如果你学习过分析力学，肯定听过“每一个循环坐标都对应着一个守恒量”，二者其实是有千丝万缕的关系的。

你不必深究对称性的概念，如果有兴趣可以去看看知乎的科普。对于动量这一守恒量来说，它所对应的就是“空间平移不变性”。也就是说，我们完全可以抛开牛顿定律，仅仅作一个假设：空间具有平移不变性（等价于动量守恒假设），再搭配起简单的时空观（伽利略变换），从最小作用量原理出发，就可以建立起整个经典力学的大厦，而并不需要任何牛顿定律，甚至是“力”概念的引入。因此，从这个角度来看，守恒量的本质是一种对称性，而对称性无论从理论还是直观上来看，都比这个看起来有点莫名其妙的牛顿三定律美丽的多。

以后大家有兴趣的话，可以看一看朗道十卷中的第一卷，在他的书里，就是通过以上思路所构筑的经典力学大厦。

（三）牛二定律是质量的定义式吗？

很多人也提到过，他们认为牛顿第二定律实际上是质量的定义式，以我的观点来看，这种看法是不合理的。

如果我们认为F=ma是力的量化定义式，前提是我们必须能定义什么是1kg。所以这个公式势必不是质量的定义式，否则就是循环定义了。尽管我们是根据动量守恒的现象总结出了F=ma，但是本质上还是对抽象概念力F的定量关系。

质量，确实是一个抽象的概念，至少在牛顿时代人们是没法彻底说明白”质量“到底是什么的。但是，这并不妨碍人们对质量有一个基本的认知。我们常常用“轻”和“沉”来感受质量，当然我们也可以量化质量。比如杠杆原理中的m，人们拿着一个杠杆秤砣，一边放一个（标准1kg）来称量质量，这个1kg完全是自己定义的，就像质量原件一样，我拿一个小方块，就说它是1kg，只要大家都公认，就可以用来交易和生活了。秦始皇统一度量衡中的”衡“，就是一个官方统一质量的工具，秦始皇拿一个标准器皿，就定义为1标准质量，那么其他物品的质量都需要利用杠杆原理平衡后得到它的大小。所以说，质量虽然不能准确说明白它到底是什么，但是量化它是很好办的。这个“1kg“就是当时公认的千克原器的质量（或者说，根据杠杆原理能让某物体和这个原器平衡的质量都称作1kg）

牛二定律中定义1N就是1kg和1m/s²时的乘积，这个1kg其实就是在牛顿时代质量原器的重。我们虽然不能解释质量究竟是什么，但是我们能给定一个物体质量大小。

所以说，在我看来，质量具体定义对牛二定律没有影响，只要我们可以量化它，就可以定义力的大小。

（四）为什么G=mg？

现在说一说重力的问题。只要人们都不傻的话，肯定能感觉到一个现象，就是地球一定对地球上的物体有“作用”，让它跳起来之后会掉下来，如果我们把一个苹果拿在手里，然后丢下来，那么就会让这个物体产生向下的速度，根据运动学，也就是说地球对苹果的作用会使苹果产生一个向下的加速度，

只要我们学习了运动学，这就是一个显而易见的结论。

现在我们又定义了“力”，那么我们不妨说地球对苹果的这个作用称为“重力”（此时的“重力”概念已经是物理学概念了，而不是人们日常生活中所“感觉”的重力）

然后我们又观察到了一个现象，我们把一个质量为m的物体自由落体，把一个质量为2m的物体自由落体，所测量得到的a是一样的。这意味着什么呢？如果我们定义了F=ma的角度来说，现象发现不同m的物体在受到重力时具有相同的a，由F=ma，也就意味着地球重力的大小一定也和m成正比！为什么呢？因为只有这样的话，当m扩大两倍时，G与m成正比会使得G也扩大两倍，这样才会让加速度a不变。【注意，我们此时还没有考虑重力为何会产生，即万有引力定律。我们只是根据实验现象单纯猜想了重力与m的关系】

设G=km，则km=ma，得到了k=a，从数学角度上来解读，就是在说，在数值上这个正比系数k是与a大小相等的。而我们实验中不同m测得的加速度a是个定值（忽略地点变化），在物理上我们管这个系数不叫k，而叫“g”，这个g的大小与我们所测得的a大小相等，即9.8N/kg。

你说，对于重力来说，a和g就是是一回事吗？不能称之为一回事，因为g就是一个系数，它是影响重力这个产生本身大小的系数，G=mg实际上是说地球对不同质量的物体所产生的作用大小。而G=ma只是力定义公式（即牛顿第二定律）中的加速度，从因果关系来说，地球先是存在重力G，后者使得物体产生了（或者叫“决定了”）加速度a，决定了G的大小的是g，换言之g是G的决定式参数，a是G的定义式参数，所以说a和g本质上压根就不是一回事儿。

值得注意的是，此时我们根本就没研究过为啥G会和m成正比，正比系数g又和其他物理量有没有关系，我们只知道在这个测量环境下，g不会改变。我们只是通过一个现象来得到了G=mg来，仅此而已。

（五）对于几个困惑与争议点的个人解释

看到这里，就是我对牛二定律的核心理解了，接下来我想要解释几个大家常规的疑问：

①首先，有人可能会反驳，难道不是因为实验发现F和a 成正比才会有F=ma吗？但你要思考一个问题，如果你说F和a成正比，那么前提是你能够量化F和a，也就是实际测出F和a，a好说，关键是F咋测？因为F本身是一个虚无缥缈的东西啊！假如你说用砝码表示F，两个砝码比一个砝码的力翻倍，问题在于所谓砝码对物体施加的“力“，不就是砝码重力的反作用力吗？你为什么就自然而然的认为两个砝码的重力就是一个砝码重力的两倍呢？说到底你还不是因为得到了G=mg，从而才会认为2m物体的G是m物体的G的两倍？但你想一想上面的推导，G=mg是咋得到的？不就是利用F=ma和实验现象得到的么？如果假设F=a/m，则根据之前的推导和加速度不变的实验现象，能得到G=g/m，那么2m物体的G就是m的G物体的一半。这意味着如果你挂一个砝码，会给予一个物体a加速度，挂两个砝码，会给予一个物体2a的加速度，也就是说，G越小，a越大，且G与a成反比，这样你就会验证出F=a/m是正确的了。因此，如果真的是利用实验发现F和a成正比的，那么用同样的实验思路也能得到F和a成反比，这就形成一个谬误了。所以说，所谓“实验得到F=ma这个具体关系”说法是有问题的。因此，与其说是实验得到F与a的关系，不如说是根据动量守恒关系，对dP/dt这个物理量下了一个定义而已。只是我们对这个物理量称作力，而定义式本身无法被验证。

②其次，G=mg和G=ma的关系。我们要理清一个逻辑，就是G=ma实际上是定义G的大小，而从因果律角度上我们认为"这个作用是产生加速度的结果“，这一点很重要，因为只有这样我们才能说“力是改变加速度的原因”而非“加速度是产生力的原因”。如果有一天你把手轻轻放在物块上而不推它，发现物块先产生了加速度，然后你的手同时才产生了推动力，那么力与加速度关系的因果律就崩塌了。谁是产生谁的原因呢？本质上是因果律的问题，而因和果是由人们观察得到的。而G的大小是由谁决定的呢？是由系数g和m决定的，现在我们知道了实际上决定G大小的公式是万有引力定律。但这又要引出一个问题了，就是惯性质量与引力质量的问题，这也是辨析G=mg和G=ma的意义所在，这G=ma中的m可以理解成惯性大小的一个标量，又称作惯性质量，它解释的是物体受力后容不容易改变运动状态的程度。而G=mg中的m决定了G的大小，又称作引力质量，它解释的是产生万有引力的大小。所以本质上说这二者就不是一回事儿。之前，我们在利用现象“不同物体下落加速度a一致”和设定F=ma的前提下，推导出了G与m成正比的关系，假设惯性质量m≠引力质量m，则当惯性质量m变为2m时，只要引力质量m也翻倍，也可以使得G大小翻倍（实际上我们前文所猜测的G与m成正比事实上是说G与m引成正比。），G=mg这个公式依然成立。由此可见，G=mg的推出，并不能解释引力质量=惯性质量，但是我们能从中得到一个关键的信息，即 M惯1/M惯2=M引1/M引2

这个关系一定是确凿的。至于惯性质量和引力质量在数值上是否相等？这就是后话了。

③最后，很多人认为牛二定律和惯性定律可以合并为一个定律，即牛二定律，因为他们认为F=ma，当F取0时，a=0，这就意味着物体将做加速度为0的运动，也就是惯性定律表达的含义。但是这种说法是有问题的，因为惯性定律和牛二定律实际上说的是两件事，牛二定律在定义力的时候，就有一个前提是这个物体受到了作用，然后我们才定义这种让物体产生加速度的作用叫做力；而物体没有力作用的时候会发生什么事情？这是惯性定律解决的问题。那为什么牛二定律F=0时候也能解释牛一定律呢？与其说是巧合，不如说是牛顿有意而为之，如果牛顿定义F=m/a，当F=0时，a就等于∞了，这不就不能解释惯性定律了么？所以说这也从另一个层面解释了为什么我们定义F=ma比较好。综上所述，牛二定律和惯性定律从推演逻辑来讲就不能合二为一，只不过由于牛二定律的公式灵活性，能从数学层面让二者同时成立。还有一个角度，那就是惯性定律解释了什么是惯性系，即“惯性定律能够成立的坐标系就是惯性系”，牛二定律的成立前提就是惯性系，假设没有牛顿第一定律，牛顿第二定律的数学表达式就需要修改了。除此以外，牛顿三大定律在物理意义上都是彼此独立的，不能简化。

（六）牛顿第三定律

我们现在做一个实验：

有两个质量相同的小球面对面以相同速度发生了碰撞，那么在碰撞之后，你会观察到一个现象：

两个小球都静止了。其实这就是动量守恒的现象。

事实上，我们在前面说过，动量守恒现象的发现从而让我们对dP/dt这个量产生了兴趣，从而我们定义了对应的物理量F。然而从dP/dt推出动量守恒的过程中还需要一个假定。

而这个假定，其实就是牛顿第三定律。

刚才说道，我们此时定义了F=dP/dt=ma，但此时的你还没有相互作用力的概念，那么根据这个定律，不难理解，小球A之所以会停下来是因为产生了一个反向加速度，而产生这个加速度的”罪魁祸首“是小球B对它施加的力。

那么，B为什么会也会停下来呢？也不难理解，小球B之所以会停下来是因为产生了一个反向加速度，而产生这个加速度的”罪魁祸首“是小球A对它施加的反作用力。

事实上，相互作用力这个概念本身不难得出，难在这两个相互作用力的关系是什么！过去的人们很难分清相互作用力和作用效果的概念，它们用一个鸡蛋去碰撞一块石头，结果鸡蛋破了，但是石头完好无损，这难道是因为石头有受到鸡蛋的反作用力小于石头对鸡蛋的作用力吗？并不是。而是因为力的作用效果是不同的，事实上是因为鸡蛋与石头的模量不同，这是一个材料力学的破坏性问题。但是那个时候的人尚未建立起力的大厦，更不可能懂材料力学了！它们因此会犯下一个错误，就是没有认识到作用力和反作用力的等大反向性质。

回到这个实验中来，事实上，作用力与反作用力之间的关系，就藏在这个“动量守恒”中。这是实验得到的一个现象，是客观存在的现实。那么，根据动量守恒现象和牛二定律，我们推算出F与F'势必等大反向（或者说必须假定二者等大反向）于是，我们就得到了牛顿第三定律。（这里没有写出推导过程，实际上学过动量守恒的人都能推导得到F与F'的关系，注意，我们不能默认F=-F’，因为我们要证明的就是F=-F‘！！！）

物理学是一门实验科学，目的是利用物理理论来解释现象。我们发现了”动量守恒“的现象，于是得到了能够解释这种现象的理论，这就是物理学研究的基本方法。

总结

还记得开头几个问题吗？这里我仅仅说出我的答案，如果您有其他想法，欢迎评论区修正！

牛顿第二定律是怎么证明的？牛顿如何得到的力与加速度的关系？

（牛二定律本身就是定义式，定义式无法证明）

牛顿第二定律和惯性定律（牛顿第一定律）有什么关系？

（数学层面等价，理论推导层面不等价）

牛顿第二定律和惯性定律能够合并成一个定律么？

（数学层面能，理论层面不能。因为二者描述的是力与物体运动状态的两个情况）

牛顿定律究竟是公理还是定理？

（第一定律是根据现象而合理的逻辑演绎，第二定律是牛顿对力的定量定义，第三定律是基于第二定律与动量守恒现象得到的结果。由于这三个定律的基石是”实验现象”，也就难言为“公理”，如果有一天这些现象都发生改变了，这些定律也就轰然倒塌了）

最后的最后，附上权威力学书籍中的有关解释：