第一節 周期函數

1.1周期函數

滿足條件： f(x+T)=f(x) 的函數稱為周期函數，其中 T 稱為該函數的最小正周期。

1.1.2周期函數的性質

(i)若 T 為一周期函數f(x)的周期，那麼 kT ，kin R 也為f(x)的周期。若 T_{1},T_{2} 都為f的周期，那麼 k_{1}T_{1}＋k_{2}T_{2} 同樣也為f的周期。

(ii)每一個非常函數且連續的周期函數一定有一個最小正周期。

(iii)若 f 和 g 都是以周期T為周期的兩個連續函數，則 af＋bg ， a,bin R 也是以T為周期的函數。

(iv)若 f 是一個周期函數，則定義 x:=frac{2pi}{T}t 為周期為 2pi 的周期函數且 tilde{f}(x)=f(frac{T}{2pi}x)

(v)若 f 是一個周期函數，則它的積分滿足： int_{0}^{T}f(x)dx=int_{a}^{T+a}f(x)dx

1.1.3周期延拓

現有一個函數: g(t), tin [0,T] 或 tin [0,frac{T}{2}] ，可以延拓為一個周期為 T 的函數 f

(i)直接延拓:

存在 g(t), tin [0,T) ,對於 tin [kT,kT+T), kin Z 有

(ii)偶延拓:

存在 g(t), tin [0,frac{T}{2}] ，且 g 滿足: g(t)=g(-t), tin[-frac{T}{2},0) ,類比(i)可以得到一個周期為T的延拓函數 f(t)

f(t):=g(t-kT), tin [frac{2k-1}{2},frac{2k+1}{2})

(iii)奇延拓:

類比偶延拓有

存在 g(t), tin[0,frac{T}{2}] ,且 g 滿足 g(-t)=-g(t), tin(-frac{T}{2},0), g(0)=g(-frac{T}{2}):=0 ,則有 f(t)

f(t):=g(t-kT), tin [frac{2k-1}{2},frac{2k+1}{2})

第二節 傅裡葉級數

1.2.1傅裡葉級數

定義：形如

a_{k},b_{k}in R/C, omega:=frac{2pi}{T} 的級數稱為傅裡葉級數利用歐拉公式。可以將其表示為復數形式，過程如下：

其中 gamma_{k}與a_{k}, b_{k} 的關系為

為瞭求出系數 a_{0}, a_{k},b_{k} ，首先要介紹正交函數系的概念

正交函數系

a) 函數 e^{ikomega t},kin Z,omega=frac{2pi}{T} 的一個正交由數量積確定：

b) 如果傅裡葉級數 sum_{k=-∞}^{∞}{gamma_{k}e^{ikomega t}} 在 [0,T] 上一致收斂於 f ,且是連續的，則有：

證明如下：

下面考察三角函數系的正交性。

我們可以利用三角函數的正交性來求解傅裡葉系數，首先先來求 a_{0}

之後來求 a_{k}

同理可以求得 b_{k}

下面討論 f(t) 的奇偶性對傅裡葉系數的影響

首先先來證明一個結論：奇函數的原函數一定是偶函數，偶函數的原函數一定是奇函數。

證明如下：

設： f(x) 為奇函數，則對其進行積分有：

b1e0b60781926bd42c345e78cf5b3e63

同理可以證明後半句。

而且我們知道，奇函數×奇函數＝偶函數，偶函數×偶函數＝奇函數，奇函數×偶函數＝偶函數×奇函數＝奇函數。

從而，當 f(t) 為偶函數時： f(t)cos(komega t)也是偶函數， f(t)sin(komega t) 是奇函數，進而有：

同理可得當 f(t) 為奇函數時的傅裡葉系數為

20180420

1.2.2幾個常用波形的傅裡葉級數

下面推導幾個常用波形的傅裡葉級數.並借助推導過程，讓讀者瞭解如何將一個周期函數展開成傅裡葉級數.

1.三角波

我將三角波分為三種：我叫他們奇三角波和偶三角波，還有一種一般三角波。我們僅推導偶三角波的傅裡葉級數，奇三角波的傅裡葉展開式同理(*提示：如果不能直接求出奇三角波的波形，可以先對其進行平移，將其變為偶函數，求出平移後的函數的傅裡葉級數之後在將傅裡葉級數平移回去得到原奇三角波的傅裡葉級數)。一般三角波的傅裡葉級數可以根據具體情況由奇三角波或者偶三角波平移得到.周期為 2l .

對於圖中所示的偶三角波有：

由於 f 是偶函數，根據之前的結論可以知道 b_{k} ＝0，從而可以得到以下方程組：

現在的任務就是將a_{0},a_{k} 解出來：

在寫出 f 的傅裡葉級數時需要將傅裡葉系數中的 k 全部變為 2k-1.原因是 a_{k} 隻有在 k 是奇數時才有值.(變為 2k＋1 也可以，不過求和號的起點應為0)

2.鋸齒波

求如下圖所示的鋸齒波的傅裡葉級數

首先該鋸齒波的函數表達式為：

由於 f 是奇函數，所以根據之前結論有 a_{0}=a_{k}=0 ，從而可以得到以下方程組：

5ec9b628fd8fff9b0662eb0a3ac830e7

現在求解 b_{k} ：

於是可以得到鋸齒波的傅裡葉級數為(*註：遇到傅裡葉系數符號不定的情況可以 使用(-1)^{k} )

ce96e5df74d09e4b288c4a87791c3738

3.方波

方波也分為偶方波，奇方波和一般方波，但是方波的情況比較單一，偶方波和一般方波的傅裡葉級數都可以通過對奇方波的傅裡葉級數左右平移得到.所以，我們僅求出奇方波的傅裡葉級數即可.

對於下圖的方波，其函數表達式應為：

且由於 f 是奇函數，所以有著跟之前一樣的結論，可以立即得到以下方程組：

下面來求解 b_{k} ：

所以可以到到奇方波的傅裡葉級數為：

比如偶方波的傅裡葉級數可由上級數向左平移 frac{l}{2 } 得到.

對於傅裡葉級數可以平移的這個結論具有普遍性.不給證明的來說明以下為何傅裡葉級數可以平移.

就拿方波的例子來講，奇方波是由無窮個不同的三角函數疊加而成。而偶方波可以通過奇方波平移得到，也就是線性合成奇方波的這無窮個三角函數都發生瞭平移，由於是線性組合，所以平移之後圖像的形狀不會發生變化.所以平移之後再進行疊加會跟原來的方波的形狀是一致的。從而說明偶方波的傅裡葉級數可以有奇方波的傅裡葉級數平移得到。

通過以上3個經典的例子，我們來總結以下求一個函數傅裡葉級數的大致步驟：

1.首先確定函數表達式和周期大小;

2.判斷函數的奇偶性;

3.判斷好奇偶性之後利用之前結論導出傅裡葉系數;

4.將函數寫為傅裡葉級數.

1.2.3半周期延拓

有些函數僅給出瞭半個周期上的表達式或圖像，可以利用半周期展開將其展開成正弦級數(奇延拓)或餘弦級數(偶延拓)，如下圖所示，藍線為偶延拓，紅線為奇延拓.

奇延拓的傅裡葉級數為：

偶延拓的傅裡葉級數為：