當敲擊音叉（註：音叉是一種常用的物理實驗器材，敲擊後可以產生單一波長的機械波）並將其放置在桌面上時，發出聲音的峰值頻率會加倍——這一神秘的現象令許多人感到困惑。本文我們將通過仿真來解釋音叉的奧秘，並在此過程中提供一些與音叉有關的有趣事實。

音叉之謎

當敲打音叉並將其放在桌面上時，發出聲音的頻率似乎加倍瞭。事實上，這個謎團可以用非線性固體力學來解釋。

聲音如何到達我們的耳朵？

當我們用手握住振動音叉時，叉齒的彎曲運動會使周圍的空氣流動。空氣中的壓力波以聲音的形式傳播。我們可以聽到這個聲音，但這不是將機械振動轉換為聲壓的有效轉換。

當我們將音叉的柄部放在桌子上時，柄部的軸向運動將連接到桌面。該運動比音叉的橫向運動小得多，但它有可能使桌面運動—與音叉的細叉齒相比，大且平整的桌面發出聲音的效果要好得多。此時，桌面表面充當瞭較大的揚聲器振膜。

音叉

為瞭研究這種有趣的現象，我們創建瞭音叉的固體力學計算模型。該模型是基於我的一個同事的音叉設計的。這個音叉的參考頻率為 A4（440 Hz），材料為不銹鋼，總長度約為 12cm。

首先，讓我們看一下音叉在其第一階特征模態下振動時的位移：

49de87d6e3b3b816f71f5f35bbadabb1音叉基頻的振型。

如果我們詳細研究位移，會發現即使音叉的整體運動是橫向的（圖片中的 x 方向），也有一些小的垂直分量（在 z 方向上），包括兩部分：

1. 音叉的彎曲伴隨著在音叉橫截面上線性變化的上下運動
2. 如牛頓第二定律所要求的，柄具有基本剛性的軸向運動，這對於將質心保持在固定位置是必要的。

位移結果如下圖所示。將該模式歸一化，以使最大總位移為 1。軸向位移峰值為 0.03，柄的位移為 0.01。

第一階特征模態的總位移矢量。僅軸向位移。註意，數字之間的比例不同。重心由藍色球體表示。

現在，我們來看一下聲音的發射。通過在模型中加入聲場的邊界元表示，可以計算周圍空氣中的聲壓級。音叉尖端的振動大小被設置為 1mm。如果從應力的角度看音叉不過載，那麼這可能是最大可行值。

如下圖所示，聲音強度隨著距音叉的距離增大而迅速降低，並且具有很大的方向性。實際上，如果在耳朵旁將音叉繞著音叉軸旋轉，我們會驚奇的發現在 45 度方向上幾乎沒有聲音。

音叉周圍的聲壓級（dB）和輻射方向圖（插圖）。

現在，我們向模型添加瞭一個 2cm 厚的木桌表面。它的尺寸為 1mx1m，並在拐角處有支撐。音叉的柄與桌子中央的一點接觸。如下圖所示，在桌面上方和外部的大部分空氣域中，聲壓級非常重要。

將音叉的柄連接到桌面時，桌面上方的聲壓級。

為瞭進行比較，我們繪制瞭音叉被舉起時相同空氣域的聲壓級。除瞭音叉附近，桌子上方所有空氣部分都具有非常低的聲壓級，這種差異非常驚人。

抬起音叉時桌面上方的聲壓級。

倍頻是固有頻率嗎？

到目前為止，我們還沒有回答文章開頭的問題：將音叉放在桌子上時，為什麼頻率加倍？一種可能的解釋是，存在這樣的固有頻率，其運動在垂直方向上更突出。例如，對於振弦，固有頻率是基頻的整數倍。

但音叉不是這種情況。如果音叉在彎曲時近似為懸臂梁，那麼最低固有頻率可以用下面的表達式給出，

8ac41bb9623ccfc7345bc57b24f6ccaa

此表達式中的物理量為：

• 音叉長度，L
• 楊氏模量，E；鋼通常約為 200GPa
• 質量密度，ρ；約 7800 kg/m^3
• 音叉橫截面的面積慣性矩，I
• 音叉的橫截面積，A

對於我們的音叉，其評估值為 435Hz，因此該公式提供瞭一個很好的近似值。

懸臂梁的第二階固有頻率為，

該頻率比基頻高出 6.27 倍。它不是倍頻。但是，除瞭具有對稱彎曲的振型外，還有其他振型。這其中一個會是倍頻嗎？

因為存在兩個原因，所以這不太可能。第一個原因是，對於具有不同幾何形狀的音叉，可以觀察到倍頻現象，但如果所有音叉的特征模態都正好是基本固有頻率的兩倍，那就太巧合瞭。第二個原因是非對稱特征模態在被緊握的音叉柄上有明顯的橫向位移。這樣的特征模態將被我們的手強烈地減弱瞭，並且有一個不明顯的振動幅度。下面的動畫中顯示瞭一種這樣的模式，其固有頻率為 1242Hz。

音叉的第一階特征頻率為 440Hz，特征頻率為 1242Hz 的面外模態，第二階彎曲模態的特征頻率為為 2774Hz 。

音叉之謎的可能原因

讓我們總結一下我們對倍頻現象的瞭解。由於隻有在將音叉按到桌面上時才會出現這種情況，因此雙頻振動在柄中具有很強的軸向運動。此外，從頻譜分析儀（可以在智能手機上下載這樣的應用程序）中我們可以看到，雙頻振動水平衰減得相對較快。有一個過渡回到基頻作為主導頻率。

對幅度的依賴性表明存在非線性現象。柄的軸向運動表明柄補償瞭叉齒質心位置的變化。

無需贅述數學原理，可以看出，對於彎曲懸臂梁，質心相對於原始長度L向下移動瞭一段距離，即

其中，a 是尖端的橫向運動，系數 β≈0.2。

一個重要的觀察結果是，質心的垂直運動與振幅的平方成正比。同樣，質心在每個周期兩次位於最低位置（叉齒向內彎曲和向外彎曲時），因此是雙倍頻率。

當 a = 1mm 且叉齒長度為 L=80mm 時，叉齒質心位置的最大偏移可估計為，

柄的質量比叉齒的質量小得多，因此必須移動更大的位置才能使整個重心的位置保持不變。因此，柄的位移幅值可以估計為 0.005mm。我們應該從上面的數值實驗中瞭解到瞭這一點。軸向運動的線性（440HZ）部分的數量級為 a/100; 在此示例中為 0.01mm。

實際上，音叉是一個比純懸臂梁更復雜的系統，並且柄和音叉之間的連接區域會影響結果。對於此處分析的音叉，二階位移實際上小於預測的 0.005mm 的後包絡的一半。

盡管如此，由二階運動質量效應引起的軸向位移仍然很大。此外，在發出聲音時，重要的是速度而不是位移。因此，如果位移振幅在 440Hz 和 880Hz 時相等，則倍頻時的速度是基頻時的兩倍。

由於在 440HZ 的軸向振動的振幅正比於叉齒振幅 a，並且 880Hz 的振動的幅度正比於 a^2 ，因此我們有必要用力敲擊音叉以體驗倍頻效應。隨著振動衰減，非線性項的相對重要性降低，在頻譜分析儀上可以清楚地看到這一點。

可以通過執行幾何非線性瞬態動力學分析來詳細研究其行為。通過水平施加在叉齒上的對稱脈沖使音叉自由振動。可以看出，水平叉齒的位移在 440Hz 時幾乎是正弦曲線，而柄以明顯的非線性方式上下運動。柄位移是高度非對稱的，因為 440Hz 的貢獻與叉齒位移同步，而 880Hz 的項始終會產生額外的向上位移。

由於系統的非線性，振動不是完全周期性的。即使是叉齒位移幅值也可能隨著周期變化。

藍線顯示叉齒尖端的橫向位移，綠線顯示柄底部的垂直位移。

如果上面繪制的柄位移頻譜是通過 FFT 計算的，則在 440Hz 和 880Hz 處有兩個明顯的峰值。在第二彎曲模態附近還有一個小的第三峰。

垂直柄位移的頻譜。

要實際查看 880Hz 下的二階項，我們可以從柄總位移中減去與叉齒彎曲同相的柄振動部分。如下圖所示，該位移差顯示為紅色曲線。

f7e9d9a02eeeac6a42ec37e478d2f978總軸向柄位移（藍色），叉齒彎曲比柄位移（綠色虛線）和其餘的二階位移（紅色）。

我們如何執行此計算？從特征頻率分析中我們知道，軸向柄振動的幅度約為橫向叉齒位移的 1％（實際上為 0.92％）。在上圖中，綠色虛線是叉齒頂端當前位移的 0.0092 倍（圖中未顯示）。該曲線可以看作是顯示瞭 440Hz 的線性項-或多或少的純正弦波。然後從總柄位移中減去該值，剩下的是紅色曲線。當叉齒筆直時，二階位移為零，並且當叉齒具有最大向內彎曲和最大向外彎曲時，二階位移達到峰值。

實際上，紅色曲線看起來非常像是有一個與 sin2（ωt）成正比的時間變化。根據上面的分析，該位移應與叉齒位移的平方成正比。使用眾所周知的三角函數， sin^2(omega t) = dfrac{1-cos(2 omega t)}{2} 。輸入倍頻！

不同的音叉

某些音叉的效果比其他音叉好，而對於某些音叉，很難看到頻率加倍。如上所述，第一個標準是您要用力敲擊以進入非線性狀態。但是，也存在影響兩種振動幅度之間比率的幾何差異。

例如，為瞭保持重心，柄必須移動得更多，因此相對於柄較重的叉齒會引起較大的倍頻位移。細長的叉齒可以具有更大的振幅-長度（a/L）比，從而增加非線性項。

叉齒與柄相交的區域的設計很重要。如果是剛性的，則柄中的基頻振動的幅值將減小，並且倍頻振動的相對重要性更大。

叉齒的橫截面也會產生影響。如果我們返回固有頻率的表達式，

可以看出，截面的慣性矩起到瞭作用。帶有 d 邊的方形橫截面的叉齒具有

而直徑為 d 的圓形橫截面的叉齒具有

因此，對於從側面看時相同的兩個音叉，具有方形輪廓的音叉必須具有長 1.14 倍的叉齒才能提供相同的基頻。如果假設由於兩個音叉的彎曲而產生的最大應力相同，則具有方形輪廓的音叉具有較高的承載能力，因為其橫向位移幅值會比圓形音叉的橫向位移幅值大 1.142 倍。此外，如果將柄保持在固定尺寸，則與較長的叉齒相比，它將成比例地變輕。當從圓形輪廓移動到方形輪廓時，所有這些貢獻最終導致垂直柄振幅增加瞭 70％。

另外，具有圓形橫截面的音叉的設計通常在叉齒和柄之間的連接處更加靈活，因此在基頻處具有更高的振動水平。

結論是，具有方形橫截面的音叉比具有圓形橫截面的音叉更有可能表現出倍頻特性。

我們聽到頻率加倍瞭嗎？

在大多數情況下，答案是“否”。即使基頻的幅值可能比倍頻的幅值低，但基頻仍然存在。但是，盡管音色不同，但我們的感官工作方式卻聽到瞭基頻。很難如此用力地擊打音叉，以使倍頻的聲壓級明顯占主導地位，但這並非不可能。

結論

倍頻是由於非線性現象而發生的。在該現象中，音叉的柄必須向上移動，以補償當叉齒接近其彎曲運動的最外側位置時叉齒質心的小幅度降低。

請註意，並不是音叉連接到桌面上導致頻率加倍。在這種情況下，我們對其進行測量的原因是，共振臺表面發出的聲音是由軸向柄的運動引起的，而我們從豎起的音叉中聽到的聲音則主要是由叉齒彎曲引起的。在這兩種情況下，隻要忽略工作臺表面的阻抗，其運動是相同的。實際上，當音叉被按住時，您也可以測量出倍頻，但是它比基頻低 30dB 左右。

經授權轉載自 COMSOL 博客，作者 Henrik Sönnerlind

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