尼姆遊戲的必勝策略

用若幹枚硬幣按任意數量擺成三行(通常是12枚硬幣,如下圖);兩個人輪流取硬幣;每次取硬幣隻能從同一行中取出,枚數不限,但至少要取一枚;取走最後一枚硬幣的是贏傢。

如果你之前不知道尼姆遊戲,張老師強烈建議你先去玩一玩,感受一下這個遊戲的魅力。(正好這幾天關在傢裡出不去,可以用這個打發下時間)

玩瞭幾次尼姆遊戲之後,你一定會感受到,這個遊戲不能瞎玩,它有很強的策略性,願意思考,願意算計,才會有更大的概率獲勝。

那麼,尼姆遊戲是否存在一種最優的策略,能實現必勝呢?這是很多小朋友都有的疑問。今天,張老師就來分享一下,如何制勝尼姆遊戲。

如果你去網上搜索尼姆遊戲,能看到非常多的必勝策略,但其中真正說明白的幾乎沒有,要麼就是毫無節制的硬枚舉,要麼就是過於成人化的方法,其實這個問題並不復雜,隻要會一點二進制就能玩轉。尼姆遊戲的必勝策略,簡單概括就是:通過二進制找到平衡點。

具體如何操作呢?我們以三行分別是3枚、4枚、5枚的情況來舉例,首先進行一波轉換:

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豎著看上圖,可以發現在這三列中:第一列共有2個“1”,第二列共有1個“1”,第三列也共有2個“1”。

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如果某一列“1”的數量是偶數,那麼我們就把這一列看成是平衡的, 如果某一列“1”的數量是奇數,我們就把它看成是不平衡的,因此想要構造平衡,就必須去掉第二列中的1個“1”,相當於從第一行中拿掉2枚:

然後就變成瞭如下的狀態,我們稱這個狀態為1,4,5:

可以看到每一列“1”的數量都為偶數,此為平衡狀態。而無論對方如何取,都會破壞掉平衡狀態,破壞平衡狀態的一方是不可能獲勝的(因為取完可以看作一種平衡狀態),我們隻需要不斷去恢復平衡狀態,就可取到最後一枚。

例如,此時對方在第二行取走1個,變成1,3,5的狀態:

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這樣一來平衡就會被打破,可以看到三列“1”的數量都為奇數,即三列都不平衡。如何恢復平衡呢?從第三行入手就行瞭,看下圖:

這裡略微復雜,解釋一下:這個操作相當於是給第三行去掉1個2的2次方,1個2的0次方,再補回來1個2的1次方,實際上就是-4-1+2,等於去掉瞭3枚,變成瞭1,3,2:

你看,又恢復平衡瞭,不難發現,無論對手如何破壞平衡,我們都能恢復平衡,直到所有硬幣取完。

這就是尼姆遊戲的必勝策略,所以,尼姆遊戲大多數情況都是先手必勝,因為先手可以構造平衡,但也有例外,就是硬幣數量一開始就為平衡,比如說7,4,3,此時先手就變成破壞平衡的一方,反而是後手必勝瞭。

最後,我們總結一下制勝尼姆遊戲的操作:

第一步:將每一行的棋子個數化為二進制。

第二步:觀察平衡點:豎著看,如果某一列“1”的數量是偶數,則這一列平衡;如果某一列“1”的數量是奇數,則這一列不平衡。

第三步:輪到你取時,想辦法消除不平衡的列,讓所有列都平衡。反復下去,你就贏瞭。

知道瞭這個方法,任意行、任意數量的尼姆遊戲都能輕松解決瞭,大傢看明白之後,就趕緊去套路你的小夥伴吧。

關於具體的操作,錄瞭一個視頻,長按下方二維碼,點擊識別二維碼,即可觀看

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