常见分布列：

把随机变量 X 的所有取值和取值对应的概率列成个表，就叫分布列。

两点分布：

E(X) = p,D(X) = p(1-p)

几何分布：

表达式： Xsim G(p) （不断做伯努利试验，直至成功为止，求总共做了几次）

分布列： P(X=k) = p(1-p)^{k-1},kgeq 1

E(X) = dfrac{1}{p},D(X) = dfrac{1-p}{p^2}

E(X) 是个错位相减， E(X^2) 可以两次错位相减求，也可以把形如 k^2q^{k-1} 的项对 q 积分得到 kq^k 来求。

二项分布：

表达式： Xsim B(n,p) （ n 次伯努利试验，每次成功概率为 p ，求成功次数）

分布列： P(X=k) = C^k_n p^k (1-p)^{n-k},kin[0,n]cap Z

E(X) = np,D(X) = np(1-p)

看作两点分布做 n 次，由期望的性质 3 和 4 （见后文“可能有用的期望&方差知识”）即得。

超几何分布：

表达式： Xsim H(n,N,M) （总共 N 个物品，其中 M 个次品，不放回选出 n 个，求抽出次品数）

分布列： P(X=k) = dfrac{C^{k}_{M}C^{n-k}_{N-M}}{C^n_N}

书本上写了很大一堆条件，其实只需记住对于组合数 C^n_m ，当 n<0 或 n>m 时都为 0 ，这样就能自己推课本的条件了。

E(X) 和 D(X) 推导的根本逻辑就是把表达式转化成范德蒙德等式（见“可能有用的组合数学知识”）的形式。

E(X) = sumlimits_{k=0}^{min(n,M)} kdfrac{C^{k}_{M}C^{n-k}_{N-M}}{C^n_N}

= dfrac{M}{C^n_N}sumlimits_{k=0}^{min(n,M)} C^{k-1}_{M-1}C^{n-k}_{N-M}

=dfrac{MC^{n-1}_{N-1}}{C^n_N} = dfrac{nM}{N}

考虑 D(X) = E(X^2) – (E(X))^2 ：

E(X^2) = sumlimits_{k=0}^{min(n,M)} k^2dfrac{C^{k}_{M}C^{n-k}_{N-M}}{C^n_N}

把 k^2 拆成 k(k-1)+k ，可得 E(X^2) = dfrac{nM}{N}(dfrac{(M-1)(n-1)}{N-1}+1) 。

于是 D(X) = dfrac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}

可能有用的组合数学知识

1. C^n_m = dfrac{m}{n}C^{n-1}_{m-1}
2. 二项式定理： (a+b)^n = sumlimits_{k = 0}^n C^k_n a^k b^{n-k}

代入 a = 1,b = 1 ，得到 sumlimits_{k = 0}^n C^k_n = 2^n 。

代入 a = 1,b = -1 ，得到 sumlimits_{k = 0}^n (-1)^k C^k_n = 0 。

代入 a = 1,b = x ，得到 sumlimits_{k = 0}^n C^k_n x^k = (1+x)^n 。

3. 范德蒙恒等式： sumlimits_{k = 0}^{r}C^k_{n-m}C^{r-k}_{m} = C^r_n

这里认为 1leq m leq n ，且当 n>m 时， C^n_m = 0 。

可以考虑组合意义，左边 n-m 个物品，右边 m 个，左右总共选出 r 个。枚举左边选 k 个，那么右边相应选 r-k 个就是了。

可能有用的期望&方差知识

期望和方差有些很妙的性质。

设随机变量 X 的期望为 E(X) ，方差为 D(X) ， C 为常数，另有随机变量 Y 。则：

1. E(C) = C,D(C) = 0
2. E(CX) = CE(X),D(CX) = C^2D(X),D(X+C) = D(X)
3. E(X+Y) = E(X)+E(Y)
4. 若 X 和 Y 独立，则 D(X+Y) = D(X)+D(Y)
5. 若 X 和 Y 独立，则 E(XY) = E(X)E(Y)
6. D(X) = E(X^2)-(E(X))^2

第 345 条是用来写期望/方差的线性递推式的（就是 19 年一卷的概率大题那种），我有空再写写有关期望递推的东西。