秒杀结论：

原理：

1.设函数 f(x)=g(x)+k ，其中 g(x) 为奇函数， k 为常数，于是：

left{begin{array}{l} f(a)=g(a)+k / f(-a)=g(-a)+k end{array}right.

将两个式⼦相加： f(a)+f(-a)=g(a)+g(-a)+2 k

因此 g(x) 为奇函数，所以 g(a)+g(-a)=0

于是就有 f(a)+f(-a)=2 k

2. log _{a} x+log _{a} frac{1}{x}=log _{a}left(x cdot frac{1}{x}right)=0 ，所以两者互为相反数.

3.对于 log _{a}left(log _{b} cright) 和 log _{a}left(log _{c} bright)

注意到 log _{b} c 和 log _{c} b 是互为倒数，因此结合2，可以得知这两者也是互为相反数.

极简分析：看到 a x^{3}+b x 没，这是奇函数哟！

于是这就是“奇函数+2”模型，不⽤说，答案就等于常数2的两倍即4.

极简分析：那个 a sin x+b x 也是奇函数

所以这是“奇函数+（-1）”模型，根据我们的结论有：

f(m)+f(-m)=-2 ，很容易算得 f(-m)=-3

text { 练习1: 若 } f(x)=a x^{5}+b x^{3}+x+3, text { 则 } f(2)+f(-2)= ___.

text { 练习2: 若 } f(x)=frac{2}{x}+sin x-2, text { 已知 } f(a)=-1, text { 则 } f(-a)= ___.

text { 练习3: 函数 } f(x)=a x^{2} sin x+b x+c quad(a, b in R, c in Z) text { , }

text { 现任取一组 } a, b, c, text { 计算 } f(1) text { 和 } f(-1) text { 的值, }

则下列选项不可能的是（）

begin{array}{llll} text { А.2和4 } & text { В.3和5 } & text { C.-4和8 } & text { D.2和3 } end{array}

text { 练习4: 函数 } f(x)=log _{2} frac{1+x}{1-x}+x^{3}+3, text { 已知 } f(lg a)=2, text { 则 } fleft(lg frac{1}{a}right)= ___.

text { 练习5：函数 } f(x)=m x^{3}+b sin x+4, text { 已知 } fleft[lg left(log _{2} 10right)right]=3, text { 则 } f[lg (lg 2)]=

___.

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