「数量关系」解题技巧（10）——极值法
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1．极限、平均数与公倍数题——极值法
2．例题1：极限题的「反套路」陷阱
3．例题2：百分数极限题的赋值技巧
4．例题3：根据限制确定不等式的要求
5．例题4：最小公倍数的特点
6．例题5：「最不利」情况的简单描述
7．例题6：排除干扰，准确认识到数据的关系
8．例题7：极限题的简单思路
9．例题8：熟练掌握「赋值」技巧很重要
10．例题9：极限题的极限值选择
11．例题10：「极限」题的潜台词要求
12．例题11：是做对了，还是蒙对了呢？「数量关系」中有一类「极限题」，此类题目对「极限大/小值」有要求。同时，部分和平均数、公倍数有关的题目也需要去求「极限值」，此类题目都可以使用「极值法」去做。
一、极限、平均数与公倍数题——极值法
「极值法」非常简明，就是根据题干要求创造一个极限值，再进行相关计算，得出答案即可。
为什么会有「极值」呢？答案很简单，那就是「极值」是量变与质变的界限，超过极值，就是质变；不超过，就还属于量变的范畴。
举两个很简单的例子。
例1：将一些苹果分给3个人，保证有人分得4个或更多苹果，则苹果至少几个？
「保证分得或更多」说明极限值为「所有人都分得刚好小于4个」，即3个人都分得3个，此时再加1个苹果，无论分给谁，都能保证有人有至少4个苹果，因此苹果至少3×3+1=10个。
例2：鸡兔同笼题，总只数、腿数已确定，求鸡兔各多少只。
此类题非常经典，从小学一直做到公务员考试。遇到这种题最好不要列方程，先假设「笼子里全是兔子」，则腿数=总只数×4。由于1只兔子比1只鸡多2条腿，则「每多1只鸡就少2条腿」，用上述结果减去实际腿数后，除以2即为答案。
比如鸡兔共35只，100条腿，则答案为（35×4-100）÷2=20只鸡，则兔子15只。
鸡兔同笼题虽然没有要求「求极限」，但是设「极值」可以避免列方程，从而方便计算。
此类题也可以假设笼子里都是鸡，则多一只兔子多2条腿，计算公式为（100-35×2）÷2=15只兔子，结果相同。
希望每一个小伙伴，都能通过上述例子和下面的真题理解「极值法」的使用技巧。
二、例题1：极限题的「反套路」陷阱
【2018国考地市级卷67题／ 省级卷69题】枣园每年产枣2500公斤，每公斤固定盈利18元。为了提高土地利用率，现决定明年在枣树下种植紫薯（产量最大为10000公斤），每公斤固定盈利3元。当紫薯产量大于400公斤时，其产量每增加n公斤将导致枣的产量下降0.2n公斤。
该枣园明年最多可能盈利多少元？（A）46176（B）46200 （C）46260 （D）46380
该枣园明年最多可能盈利多少元？（A）46176（B）46200 （C）46260 （D）46380
正确率50%，易错项C
列出题干数据关系：①枣2500公斤，每公斤18元②加种紫薯，产量最大10000公斤，每公斤3元③紫薯＞400公斤后，增加n则枣下降0.2
本题一眼就可以看出是一道求极限值的题，即：紫薯产量提高获得的盈利，在什么情况下开始小于枣产量降低带来的损失
由①②可知：紫薯盈利：枣盈利=3:18=1:6由③可知：超过400kg后，紫薯产量增加：枣产量降低=n：0.2n=5:1
也就是说，紫薯产量超过400kg后：紫薯产量相对枣增加的倍数＜枣盈利相对于紫薯的倍数
此后，紫薯种的越多越赔钱。所以，在紫薯种植量为400kg，即枣产量未开始下降时），盈利最大。因此，枣园明年最多可盈利：2500×18+400×3=45000+1200=46200元，B选项正确。
解析可发现这道题不需要刻意去寻找极值，紫薯一点都不能多种，收入最高之时就是「紫薯再多种就枣就少收」之时。
本题是一道数量关系中非常有特色的「反套路」题，反的就是考生对于极限值题目的心理预期。
很多考生看到「数量关系的极限题」后的心理预期就是「这类值有个先大后小/先小后大的变化」，然后会下意识地寻找这个「极限」，但本题根本没有这种变化，枣产量不下降时收益最大，针对的就是这种套路。
各位小伙伴一定要有自己的想法，避免陷入思维定式的陷阱。
三、例题2：百分数极限题的赋值技巧
【2018国考省级卷67题】书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。
本次投票的有效率最高可能为多少？（A）65% （B）70% （C）75% （D）80%
本次投票的有效率最高可能为多少？（A）65% （B）70% （C）75% （D）80%
正确率42%，易错项C
列出题干数据关系：①5作品投票，不超过2作品为有效票②总得票数分别为：69%、63%、44%、58%、56%③求本次投票最高有效率
根据①可知，每个观众最多投2票才是有效票，在100%观众都投2票的情况下，5幅作品的满意率可达到200%。
根据②可知，实际满意率为：69%+63%+44%+58%+56%=290%，超过200%
求的是「最高有效率」，即「有效率再高一点（限制每人2票再多一点），票数就达不到要求了」。因此，可假设所有观众都在规则内投出了最多的票，看它和实际情况又多少差距，然后在逐步增加无效票的比例，直至接近最终答案。
当尽量少的观众违反规则且投出最大票数（5幅参赛作品→5票）且其他遵守规则的观众都投2票时，有效率最高。
由于所有数据均为百分数，所以可设观众有100名（这样算出的结果无需转化直接计入百分数即可），则全部观众遵守规则时，最多有：100×2=200票。
每多一名观众违反规则且投出最大票数时，总票数（即题干中的满意率）会增加：5-2=3票。
实际满意率290%，转化票数为：100×290%=290票，比遵守规则内的最多数字多出290-200=90票。
即有90/3=30人投出无效票，本次投票的有效率最高为（100-30）%=70%，B选项正确。
本题颇有新意，在没有给出具体观众数、得票数的情况下求一个「百分比」的极值，如果对此类题目不太熟悉的考生，是较难从短时间内找出正确思路的。
解题关键在于将观众的数量设为100，可以把满意率方便转化为实际票数。
四、例题3：根据限制确定不等式的要求
【2018国考地市级卷69题／ 省级卷73题】新能源汽车企业计划在A、B、C、D四个城市建设72个充电站，其中在B市建设的充电站数量占总数的1/3，在C市建设的充电站数量比A市多6，在D市建设的充电站数量少于其他任一城市。
至少要在C市建设多少个充电站？（A）20 （B）18 （C）22 （D）21
至少要在C市建设多少个充电站？（A）20 （B）18 （C）22 （D）21
正确率25%，易错项B
列出题干数据关系：①ABCD共有72个②B占1/3③C比A多6个④D比ABC都少⑤求C至少多少个
根据①②可知：A+B+C+D=72，且B=1/3×72即B=24，A+C+D=48
根据③可知C-A=6，即A=C-6，代入上文，可得：（C-6）+C+D=48，→2C+D=54→D=54-2C
根据④可知D比ABC都小，即：D＜A=C-6D＜B=24D＜C
由于A+C+D=48=2B，即：A+（A+6）+D=2B→A+3+D/2=B，即A＜B
即ABC中A最小，因此需要求出D＜A的范围，即：D＜A→D＜C-6→54-2C＜C-6→60＜3C→C＞20
由于充电站数量必须为整数，因此C至少为21，D选项正确。一定要明确A在ABC中最小，才能通过D＜A得出C的「极小值」为不等式中C范围中的最小值。
本题易错项为B，考生需要注意不能把不等式D＜C-6直接带入2C+D=54中，得出3C＜60后认为C比20小，因此误选B，这个关系正好和原题是相反的。
如果考生能够掌握不等式的解题要点，那么本题难度并不高，但对于不熟悉不等式的考生来说，这道题可能就会花费较多时间了。另外，有的考生因为时间紧张等原因没有解出答案，这是非常可惜的。
五、例题4：最小公倍数的特点
【2017年国考省级卷64题】某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶，定价分别为14元/瓶和25元/瓶。货物卖完后，发现两种规格沐浴露销售收入相同。
这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？（A）3（B）8 （C）10（D）15
这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？（A）3（B）8 （C）10（D）15
正确率51%，易错项B
列出题干数据关系：①200mL、500mL两种规格②200mL1箱20瓶，14元/瓶；500mL1箱12瓶，25元/瓶③两种规格收入相同，求200mL最少几箱
根据②可知：200mL规格每箱20×14=280元500mL规格每箱25×12=300元
要求在销售收入相同的条件下，200mL规格最少，在未给出其他限制条件的前提下，一定是求销售额的「最小公倍数」。
总销售额的最小公倍数为：（280，300）→（28，30）×10→（14,15）×2×10→14×15×2×10=4200元
200mL规格最小销售箱数为：4200÷280=15，D选项正确
「最小公倍数」往往和「结果相同」（例如本题的「收入相同」）有关，遇到此类问法一定要注意。
本题的解题关键是「两种产品销售收入相同」。在每箱价格不同的情况下，销售收入相同的最小值和最小公倍数有关，理解了这一点就很容易解题了。对于此类题目，一定要先理清题意，确定其属于极限类还是最小公约/公倍数类。
六、例题5：「最不利」情况的简单描述
【2013国考65题】某单位组织党员参加党史、党风l廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。
该单位至少有多少名党员？（A）17（B）21（C）25（D）29
该单位至少有多少名党员？（A）17（B）21（C）25（D）29
正确率50%，易错项B
列出题干数据关系：①4项培训，每个党员参加两项②至少5党员参加培训完全相同③求至少多少党员
根据②③可知，当所有参加培训的情况都有4党员时，再加1党员，则加入任何队伍都会使其变为5人，符合「至少5党员参加培训完全相同」的要求。
根据①可知，参加培训的情况共有：C（4，2）=4×3÷2=6种
因此结果为：6×4+1=25党员，C选项正确。
此类题被一些公考机构称之为「最不利原则」、「最倒霉原则」，从字面意思上就能大致理解其含义，但希望各位小伙伴们能够真正理解，能够彻底掌握此类题的原理。「至少有」说明在正确答案基础上减去1会引发质变，满足不了「至少」的条件。理解这一点，就明白此类题的本质了。
本题计算非常简单，但叙述有些难以理解，不熟悉此类表述的考生很容易做错。
七、例题6：排除干扰，准确认识到数据的关系
【2013国考71题】公路上有三辆同向行驶的汽车，其中甲车的时速为63公里，乙、丙两车的时速均为60公里，但由于水箱故障，丙车每连续行驶30分钟后必须停车2分钟。早上10点，三车到达同一位置。
1小时后，甲、丙两车最多相距多少公里？（A）5（B）7（C）9（D）11
1小时后，甲、丙两车最多相距多少公里？（A）5（B）7（C）9（D）11
正确率49%，易错项A
列出题干数据关系：①时速：甲63km，乙、丙60km②丙行驶30min停2min③三车一点，求1小时候甲丙最大距离
1h后甲行驶63km，甲丙距离最大，则「极值」为丙停车时间最长，根据题意可令计时开始时丙恰好处于停车阶段。
则1h内丙的情况为：停车2min→开车30min→停车2min→开车26min
即丙行驶了56min，共行驶路程为：60×（56/60）=56km
甲丙最多相距63-56=7km，B选项正确。
本题需要注意时间限制为「1小时后」，而不是「丙行驶时间一共为1小时」。可以发现，乙车的时速除了干扰考生思路，没有任何作用。
八、例题7：极限题的简单思路
【2012国考79题】草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在1至5米之间，且任意两根旗杆的距离都不超过它们高度差的10倍。如果用一根绳子将所有旗杆都围进去，在不知旗杆数量和位置的情况下，最少需要准备多少米长的绳子?（A）40（B）60（C）80（D）100
最少需要准备多少米长的绳子?（A）40（B）60（C）80（D）100
正确率33%，易错项B
列出题干数据关系：①旗杆高度1~5m②任意两根旗杆距离不超过高度差10倍③求围住旗杆，最少需要准备多少米长的绳子
本题要求取旗杆间的极限距离。显然当一个旗杆5m，另一个旗杆1m的时候，两者距离为40m最长，此时用80m的绳子可以将其「对折」后围住，C选项正确。
注意此类题一定要直接考虑极限距离，所有旗杆在一条直线上才能使其距离最远。有兴趣的小伙伴可以尝试一下旗杆不在一条直线上的情形。
九、例题8：熟练掌握「赋值」技巧很重要
【2011国考76题】某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁，A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。
该单位全体人员的平均年龄为多少岁？（A）34（B）35 （C）36 （D）37
该单位全体人员的平均年龄为多少岁？（A）34（B）35 （C）36 （D）37
正确率58%，易错项C
列出题干数据关系：①ABC部门平均年龄分别为38、24、42②A+B平均为30，B+C平均为34
题干关系非常简明，直接按照①的要求赋值，代入②获取不同部门的关系即可。
设A、B部门年龄全部为38、24，可发现38=30+8，24=30-6→「1个A部门人员比平均数多8，1个B部门成员比平均数少6」→A：B部门人数存在6:8的关系
同理，设B、C部门年龄全部为24、42，可发现24=34-10，42=34+8→即「1个B部门人员比平均数少10，1个C部门成员比平均数多8」。→B：C部门人数存在8:10的关系
可得A：B：C部门人数比恰好为6:8:10，简化为3:4:5，即ABC部门各有3、4、5人，直接代入平均数公式计算即可。
全体人员平均年龄为：（38×3+24×4+42×5）÷（3+4+5）=（114+96+210）÷12=420÷12=35，B选项正确。
「赋值」是一个非常简便有效的方法，熟练掌握后可使得很多题的做题过程变的简单。这道题的解题过程同时应用了「赋值」「极限值」「最小公倍数」等技巧，是一道很不错的题目。
注意B部门比例恰好在两次赋值时数值相同，如果不同，再按比例转化一次即可。
十、例题9：极限题的极限值选择
【2011国考79题】某城市9月平均气温为28.5度，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过10度，则该月平均气温在30度及以上的日子最多有多少天？（A）24（B）25（C）26（D）27
该月平均气温在30度及以上的日子最多有多少天？（A）24（B）25（C）26（D）27
正确率49%，易错项C
列出题干数据关系：①9月平均气温28.5度②最热、最冷日气温≤10度③求30度及以上最多几天
根据③「最多几天」的描述，可确定②中最热、最冷日气温差=10度，且只有两种温度，即：最热温度=30度最冷温度=30-10=20度
可发现：1个「最热温度」超出平均温1.5度1个「最冷温度」低于平均温8.5度
两者天数之比=85:15=17:3，其中：「最热温度」占17/20「最冷温度」占3/20
9月份30天，「最热温度」所占天数为：30×17/20=25.5天
由于天数必须为整数，且本题求的为「最多有多少天」，因此必须向下取整，即为25天，B选项正确。
本题前面的步骤略复杂但并不难理解，但很多考生栽在最后一步。「天数」和「人数」一样，必须为整数，因此「最多」时应向下取整。同理，「最小」时向上取整。
「踏过万水千山，小河沟翻船」的窘境是一定要尽量避免的。
十一、例题10：「极限」题的潜台词要求
【2010国考49题】某城市居民用水价格为：每户每月不超过5吨的部分按4元/吨收取，超过5吨不超过10吨的部分按6元/吨收取；超过10吨的部分按8元/吨收取。某户居民两个月共交水费108元。
该户居民这两个月用水总量最多为多少吨？（A）21（B）24（C）17.25（D）21.33
该户居民这两个月用水总量最多为多少吨？（A）21（B）24（C）17.25（D）21.33
正确率38%，易错项B
列出题干数据关系：①不超过5吨：4元/吨②5~10吨：6元/吨③10吨+：8元/吨④两个月共交108元，求用水总量最多
根据①②③的描述可看出，水用的越多，交费越多，因此两月用水总量最多时必然用水量相等，此时每月交费相等，即为108÷2=54元。
由于用水量增多时，不影响之前限额的水价，因此逐阶段考虑交费情况即可。
5吨→5×4=20元10吨→20+（10-5）×6=50元此时距离54元还有4元的距离，即10+后的用水量为4÷8=0.5吨
即：每月用水量=10+0.5=10.5吨两月最多用水=10.5×2=21吨，A选项正确。
每道「极限」题都有潜台词，即「想要达到这个极限，必须在其他方面做到极限」。本题水费越来越高，显然每月用水量相等时，单月最高用水量产生高价的量最小，即符合题干「用水量最多」的要求。
本题误选C的很多，C属于「最少多少吨」，情况为「两月中一个月不用水」。
十二、例题11：是做对了，还是蒙对了呢？
【2010国考53题】科考队员在冰面上鉆孔获取样本，测量不同孔之间的距离，获得的部分数据分别为1米、3米、6米、12米、24米、48米。
科考队员至少鉆了多少个孔？（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
科考队员至少鉆了多少个孔？（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
正确率31%，易错项C
列出题干数据关系：①鉆孔，测不同孔之间的距离为1、3、6、12、24、48米②求至少鉆多少孔
很显然，以某个孔为基准，则距离该孔1、3、6、12、24、48米处各鉆一个孔，则共有7个孔。如果有的小伙伴也是这么想的，那么要恭喜做对了这道题，但是本题并不这么简单。
观察题干可发现，其要求的是「不同孔之间的距离」，而不是「不同孔距离第一孔之间的距离」，因此要思考有没有可能是其他2孔之间的距离也符合要求。例如，如果不同孔之间的距离为1、2、3，则只需要3个孔，而不需要4个孔，如图：
上图中AB=1m，AC=2m，则BC=3m，不需要鉆第4个孔。
而观察本题可发现：1+3＜61+3+6＜121+3+6+12＜241+3+6+12+24＜48
也就是说，即使所有孔在一条直线上，前面的空距离最大值（相加之和）也达不到后面孔的距离，因此不存在「利用前面孔的距离来少鉆后面孔」的情形，因此D选项正确。
不知道各位小伙伴是做对的多，还是蒙对的多呢？
本题虽然没有直接考察「极值」，但是却将「多孔组合成新距离」的陷阱埋在了题目的叙述中，目的就是测试考生能否认识到这一点。
这道题还需要注意「测6个距离」需要「7个孔」的关系。
