前言：这是在网上学习西安电子科技大学柴常春教授等主讲的《半导体物理》课程自己做的笔记记录，如有错误感谢指出。

1. 本征（intrinsic）激发

本征半导体：指纯净的，不含有任何杂质的半导体，是一种理想晶体

我们先来看一下半导体在外部环境发生变化时，其电子状态发生了什么改变。

T=0K时半导体的电子状态如下图所示，能量最高的填充了电子的能带是满带，由于填充这个能带的电子是最外层的价电子，所以这个能带也称为价带。

价带、导带示意图

在价带中，能量最大值称为价带顶，记为 E_v 。 当外部环境发生变化，电子发生跃迁（例如外加电场，光照，温度升高等），价带中的少部分电子跃迁到空带中，形成一个半满带，这个半满带也称为导带。 导带中，电子能量的最小值称为导带底，记为 E_c 。

本征激发：价带电子获得能量跃迁进入导带成为导电电子的过程。对于矽、锗等半导体来说，本征激发就是共价键上的电子挣脱共价键的束缚成为“自由”电子的过程。本征激发的特征是导带的电子和价带空穴是成对地出现的。

利用上面的定义，可以知道禁带宽度 E_g = E_c-E_v， 禁带宽度也就是共价键上的电子挣脱成自由电子所需要的最低能量。

2. 有效质量

半导体中电子的 E-k 关系，根据前面的内容，有E-k 关系图，但是没有具体的解析关系式（需要知道准确的势场的形式，带入薛定谔方程求解），所以想要定量了解 E-k 关系是有难度的。

在外界有一些诱导因素发生时，对于半导体来说，价带顶最有可能获得能量，跃过禁带到导带低，这种跃迁一旦完成，半导体的性质就发生变化。从E-k 关系图来看，这些电子对应的是极值点附近。 半导体中的电子很多，但对性质有贡献的是极值附近的电子。所以我们不一定知道全部电子的行为，只需要分析极值点附近的电子即可。

示意图

设导带极小值位于 k=0 处（布里渊区中心），极小值为 E_c ，在极值附近将E-k关系按照Taylor展开

E(k)=E_c+kleft(frac{dE}{dk}right)_{k=0} +frac{k^2}{2} left(frac{d^2E}{dk^2}right)_{k=0}+O(k^3)/ 当 k 非常小时（只分析 k=0 附近），高阶项 O(k^3) 可以忽略不计，再利用极值的性质 frac{dE}{dk}|_{k=0}=0 ，所以近似地有 E(k)=E_c + frac{k^2}{2}left(frac{d^2E}{dk^2}right)_{k=0} tag{1}/ 回忆自由电子的 E-k 关系： E(k) = frac{hbar^2 k^2}{2m}tag{2}/ 看到(1)式与自由电子的E-k 关系（2）式有些相似，所以尝试将(1)式改写为（2）式的形式。令

frac{1}{m^*_n}=frac{1}{hbar^2}left(frac{d^2E}{dk^2}right)_{k=0}/

则导带底附近有 E(k)-E_c=frac{hbar^2k^2}{2m^*_n}/该式具有跟(2)式一样的形式，所以称 m^*_n 为导带电子的有效质量。因为在导带底附近， E(k) > E_c ,所以在导带底附近，有效质量是正的（ m^*_n > 0 ）

同样设价带极大值 E_v (价带顶)是位于布里渊区中心（ k=0 ），对于价带顶附近的 E-k 关系做Taylor展开，同上面的过程类似， E(k)=E_v + frac{k^2}{2}left(frac{d^2E}{dk^2}right)_{k=0}/ 同样令 frac{1}{m^*_n}=frac{1}{hbar^2}left(frac{d^2E}{dk^2}right)_{k=0} , 得到价带顶附近 E(k)-E_v=frac{hbar^2k^2}{2m^*_n}/这里的 m^*_n 是价带电子的有效质量。因为在价带顶附近 E(k) < E_v ， 所以在价带顶附近，有效质量是负的（ m^*_n < 0 ）

在引入了有效质量之后，晶体中电子的E-k关系与自由电子的E-k关系形式上相似，只是将惯性质量用有效质量来替换。

3. 半导体中电子的平均速度和加速度

下面的分析都只关注 E(k) 极值附近的情况。回忆电子的平均速度公式： v=frac{1}{hbar}frac{dE}{dk} 。

1）对于自由电子 E(k) = frac{hbar^2 k^2}{2m} , 电子的平均速度 v=frac{hbar k}{m} ；

2）对于半导体中的电子 E(k)-E_c(或 E_v)=frac{hbar^2 k^2}{2m^*_n} , 电子的平均速度 v=frac{hbar k}{m^*_n} 。

可以看到，半导体中电子的平均速度和自由电子的平均速度在形式上是一样的。不一样的是，自由电子速度的符号只与 k 有关，但半导体中的电子平均速度的符号与 k 和有效质量都有关。

再来看电子的加速度，根据加速度公式 a=frac{dv}{dt} ,有

a=frac{d}{dt}left(frac{1}{hbar}frac{dE}{dk}right) =frac{1}{hbar}frac{d^2E}{dk^2}frac{dk}{dt}/

另一方面，根据电子所受的外部的力所引起的能量的变化

dE=f_{外}ds = f_{外}v dt= f_{外}frac{1}{hbar} frac{dE}{dk}dt/ 可以得到 frac{dk}{dt}=frac{f_{外}}{hbar} , 带入到加速度的式子当中 ，可以得到在极值点附近a =frac{1}{hbar^2}frac{d^2E}{dk^2}f_{外}=frac{1}{m^*_n}f_{外} ,quad mbox{即} quad f_{外}=m^*_n a qquad(star) /

4. 有效质量的意义

可以看到，上面 (star) 式与牛顿第二定律形式一样。 回忆牛顿第二定律：物体所受合外力等于质量乘以加速度 sum F = ma /分析晶体中电子受力，电子除了受到 f_{外} 之外，还有晶体中原子核和其他电子的作用力，即

晶体电子受力=f_{外}+原子核作用力+其他大量电子的作用力/试图找出晶体中原子核，其他大量电子的作用力的具体形式非常困难 ，从等式 f_{外}=m^*_na 可以看出，有效质量 m^*_n 概括了这部分力的作用，这样就可以回避分析晶格内复杂的势场。因此有效质量的意义是：

有效质量它概括了晶格内部势场的作用，使得研究半导体中电子的运动规律时，可以不涉及内部势场的作用。从而将外力和加速度直接联系起来，而有效质量是可以用回旋共振实验测量出来（所以用有效质量来概括内部势场是可行的）

（学到这里，真的是直呼妙啊，真的是太厉害了）

5. 能带宽度对有效质量和电子运动速度的影响

下面通过一个对比示意图来分析能带宽度对电子平均速度，有效质量的影响（见下图）

事实上，图中（a）和（b）分别对应了晶体中外层电子和内层电子的情况，可以看到：

1）内层电子占据的能带较窄，电子的有效质量较大，在外力的作用下不易运动；

2）外层电子占据的能带较宽，电子的有效质量较小，在外力的作用下可以获得较大的加速度。