1. 不等式的基本概念

（1） 不等（等）号的定义：a-b>0<=>a>b;a-b=0<=>a=b;a-b<0<=>a<b.

（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3） 同向不等式与异向不等式.

（4） 同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）a>b<=>b<a（对称性）

（2）a>b,b>c=>a>c（传递性）

（3）a>b=>a+c>b+c（加法单调性）

（4）a>b,c>d=>a+c>b+d（同向不等式相加）

（5）a>b,c<d=>a-c>b-d（异向不等式相减）

（6）a>b,c>0=>ac>bc

（7）a>b,c<0=>ac>bd（乘法单调性）

（8）a>b>0,c>d>0=>ac>bd（同向不等式相乘）

(9)a>b>0,0<c<d=>a/v<b/d（异向不等式相除）

(10)a>b,ab>0=>1/a<1/b（倒数关系）

（11）a>b>0=>aⁿ>bⁿ(n∈Z,且n>1)（平方法则）

（12）a>b>0=>ⁿ√a>ⁿ√b(n∈Z,且n>1（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若a∈R,则|a|≧0,a²≧0

（2）若a、b∈R+,则a²+b²≥2ab(或a²+b²≥2|ab|≥2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么 √(ab)≤(a+b)/2（当仅当a=b时取等号）

极值定理：若x,y∈R+,x+y=S,xy=P则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c∈R+,则(a+b+c)/3≥³ √(abc)（当仅当a=b=c时取等号）

(5)若ab>0,则b/a+a/b≥2（当仅当a=b时取等号）

(6)a<0时，|x|>a<=>x²>a²<=>x<-a或x>a;|x|<a<=>x²<a²<=>-a<x<a

（7）若a、b∈R,则||a|-|b||≤|a±b|≦|a|+|b|

4.几个著名不等式

（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 2/(1/a+1/b)≦√(ab)≦(a+b)/2≦√[(a²+b²)/2]（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

特别地，ab≤[(a+b)/2]²≤(a²+b²)/2（当a = b时，[(a+b)/2]²=(a²+b²)/2=ab）

(a²+b²+c²)/3≥[(a+b+c)/2]²(a,b,c∈R,a=b=c时取等)

=>幂平均不等式：a₁²+a₂²+….+an²≥1/n(a₁+a₂+….+an)²

注：例如：(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²).

常用不等式的放缩法：①1/n-1/(n+1)=1/n(n+1)<1/n²<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n(n≥2)

②√(n+1)-√n=1/[√n+√(n+1)]<1/(2√n)<1/(√n+√(n-1))=√n-√(n-1)(n≥1)

（2）柯西不等式： 若a₁,a₂,a₃….,an∈R,b₁,b₂,b₃…..,bn∈R;则(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+anbn)²≤(a₁²+a₂²+a₃²+…+an²)(b₁²+b₂²+b₃³+…+bn²)当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃=…=an/bn时取等号

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x₁，x₂(x₁≠x₂)有

f[(x₁+x₂)/2]≤[f(x₁)+f(x₂)]/2或f[(x₁+x₂)/2]≥[(f(x₁)+f(x₂)]/2

则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)/g(x)>0<=>f(x)g(x)>0;f(x)/g(x)≥0<=>{f(x)g(x)≥0,g(x)≠0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1.√f(x)>√f(x)<=>{f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)>g(x)

2.√f(x)>g(x)<=>{f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)>[g(x)]²

3√f(x)<g(x)<=>{f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)<[g(x)]²

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值； 2应用数形思想；

3应用化归思想等价转化

|f(x)|<g(x)<=>{g(x)>0,-g(x)<f(x)<g(x)

|f(x)|>g(x)<=>g(x)≤0(f(x),g(x)不同时为0）或{g(x)>0,f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

①x(1-x)²=1/2·2x(1-x) (1-x) ≤1/2(2/3)³=4/27

②y=x(1-x²)=>y²=[2x²(1-x²)(1-x²)]/2≤1/2(2/3)³=4/27=>y≦2√3/9

类似于y=sinxcos²x=sinx(1-sin²x)，③|x+1/x|=|x|+|1/x|(x与1/x同号，故取等号）≥2