華東師大版八年級數學下冊知識點總結

第16章 分式

§16.1分式及基本性質

一、分式的概念

1、分式的定義：如果A、B表示兩個整式，並且B中含有字母，那麼式子叫做分式。

2、對於分式概念的理解，應把握以下幾點：

（1）分式是兩個整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分數線起除號和括號的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能為零。

3、分式有意義、無意義的條件

（1）分式有意義的條件：分式的分母不等於0；

（2）分式無意義的條件：分式的分母等於0。

4、分式的值為0的條件：

當分式的分子等於0，而分母不等於0時，分式的值為0。即，使=0的條件是：A=0，B≠0。

5、有理式

整式和分式統稱為有理式。整式分為單項式和多項式。

分類：有理式

單項式：由數與字母的乘積組成的代數式；

多項式：由幾個單項式的和組成的代數式。

二、分式的基本性質

1、分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等於零的整式，分式的值不變。

用式子表示為：= = ，其中M（M≠0）為整式。

2、通分：利用分式的基本性質，使分子和分母都乘以適當的整式，不改變分式的值，把幾個異分母分式化成同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。

通分的關鍵是：確定幾個分式的最簡公分母。確定最簡公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是單項式，那麼最簡公分母就是各系數的最小公倍數、相同字母的最高次冪、所有不同字母及指數的積。（2）如果各分母中有多項式，就先把分母是多項式的分解因式，再參照單項式求最簡公分母的方法，從系數、相同因式、不同因式三個方面去確定。

3、約分：根據分式的基本性質，約去分式的分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。

在約分時要註意：（1）如果分子、分母都是單項式，那麼可直接約去分子、分母的公因式，即約去分子、分母系數的最大公約數，相同字母的最低次冪；（2）如果分子、分母中至少有一個多項式就應先分解因式，然後找出它們的公因式再約分；（3）約分一定要把公因式約完。

三、分式的符號法則：

（1）= =－；（2）=；（3）－ =

§16.2分式的運算

一、分式的乘除法

1、法則：

（1）乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。（意思就是，分式相乘，分子與分子相乘，分母與分母相乘）。

用式子表示：

（2）除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置後，再與被除式相乘。

用式子表示：

2、應用法則時要註意：（1）分式中的符號法則與有理數乘除法中的符號法則相同，即“同號得正，異號得負，多個負號出現看個數，奇負偶正”；（2）當分子分母是多項式時，應先進行因式分解，以便約分；（3）分式乘除法的結果要化簡到最簡的形式。

二、分式的乘方

1、法則：根據乘方的意義和分式乘法法則，分式的乘方就是把將分子、分母分別乘方，然後再相除。

用式子表示：（其中n為正整數，a≠0）

2、註意事項：（1）乘方時，一定要把分式加上括號；（2）在一個算式中同時含有乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先因式分解，再約分；（3）最後結果要化到最簡。

三、分式的加減法

（一）同分母分式的加減法

1、法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

用式子表示：

2、註意事項：（1）“分子相加減”是所有的“分子的整體”相加減，各個分子都應有括號；當分子是單項式時括號可以省略，但分母是多項式時，括號不能省略；（2）分式加減運算的結果必須化成最簡分式或整式。

（二）異分母分式的加減法

1、法則：異分母分式相加減，先通分，轉化為同分母分式後，再加減。用式子表示：。

2、註意事項：（1）在異分母分式加減法中，要先通分，這是關鍵，把異分母分式的加減法變成同分母分式的加減法。（2）若分式加減運算中含有整式，應視其分母為1，然後進行通分。（3）當分子的次數高於或等於分母的次數時，應將其分離為整式與真分式之和的形式參與運算，可使運算簡便。

四、分式的混合運算

1、運算規則：分式的加、減、乘、除、乘方混合運算，先乘方，再乘除，最後算加減。遇到括號時，要先算括號裡面的。

2、註意事項：（1）分式的混合運算關鍵是弄清運算順序；（2）有理數的運算順序和運算規律對分式運算同樣適用，要靈活運用交換律、結合律和分配律；（3）分式運算結果必須化到最簡，能約分的要約分，保證運算結果是最簡分式或整式。

§16.3 可化為一元一次方程的分式方程

一、分式方程基本概念

1、定義：方程中含有分式，並且分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

2、理解分式方程要明確兩點：（1）方程中含有分式；（2）分式的分母含有未知數。

分式方程與整式方程最大區別就在於分母中是否含有未知數。

二、分式方程的解法

1、解分式方程的基本思想：化分式方程為整式方程。途徑：“去分母”。

方法是：方程兩邊都乘以各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程求解。

2、解分式方程的一般步驟：

（1）去分母。即在方程兩邊都乘以各分式的最簡公分母，約去分母，把原分式方程化為整式方程；

（2）解這個整式方程；

（3）驗根。驗根方法：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等於0的根是原分式方程的根，使最簡公分母為0的根是原分式方程的增根，必須舍去。這種驗根方法不能檢查解方程過程中出現的計算錯誤，還可以采用另一種驗根方法，即把求得的未知數的值代入原方程進行檢驗，這種方法可以發現解方程過程中有無計算錯誤。

3、分式方程的增根。意義是：把分式方程化為整式方程後，解出的整式方程的根有時隻是這個整式的方程的根而不是原分式方程的根，這種根就是增根，因此，解分式方程必須驗根。

三、分式方程的應用

1、意義：分式方程的應用就是列分式方程解應用題，它和列一元一次方程解應用題的方法、步驟、解題思路基本相同，不同的是，因為有瞭分式概念，所列代數式的關系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知數，解出方程的解後還要進行檢驗。

2、列分式方程解應用題的一般步驟如下：

（1）審題。理解題意，弄清已知條件和未知量；

（2）設未知數。合理的設未知數表示某一個未知量，有直接設法和間接設法兩種；

（3）找出題目中的等量關系，寫出等式；

（4）用含已知量和未知數的代數式來表示等式兩邊的語句，列出方程；

（5）解方程。求出未知數的值；

（6）檢驗。不僅要檢驗所求未知數的值是否為原方程的根，還要檢驗未知數的值是否符合題目的實際意。“雙重驗根”。

§16.4 零指數冪與負整數指數冪

一、零指數冪

1、定義：任何不等於零的實數的零次冪都等於1，即a0=1（a≠0）。

2、特別註意：零的零次冪無意義。即00無意義。若問當x=_____時，(x-2)0有意義。答案是：x≠2。

（2）按照定義分為：

二、負整數指數冪

1、定義：任何不等於的數的-n（n為正整數）次冪，都等於這個數的n次冪的倒數，

即a-n=（a≠0，n為正整數）

2、註意事項：

（1）負整數指數冪成立的條件是底數不為0；

（2）正整數指數冪的所有運算法則均適用於負整式指數冪，即指數冪的運算可以擴大到整數指數冪范圍；

（3）要避免像5-2=-2×5=-10的錯誤，正確算法是：。

三、用科學計數法表示絕對值小於1的數

1、規則：絕對值小於1的數，利用10的負整式指數冪，把它表示成a×10-n（n為正整數），其中1≤|a|＜10。

2、註意事項：

（1）n為該數左邊第一個非零數字前所有0的個數（包括小數點前的那個零）。如-0.00021=-2.1×10-4

（2）註意數的符號的變化，在數前面有負號的，其結果也要寫符號。

（3）寫科學記數法的關鍵的是確定10n的指數n的值。

第17章 函數及其圖象

§17.1變量與函數

一、變量與常量

1、變量：在某一變化過程中，可以取不同的數值，級數值發生變化的量，叫做變量。

常量：在某一變化過程中，取值（數值）始終保持不變的量，叫做常量。

2、註意事項：

（1）常量和變量是相對的，在不同的研究過程中有些是可以相互轉化的；

（2）離開具體的過程抽象地說一個量是常量還是變量是不允許的；

（3）在各種關於變量、常量的例子中，變量之間有一定的依賴關系。如三角形的面積，當底邊一定時，高與面積之間是有關聯的，不是各自隨意變化。

二、函數概念

1、定義：在某個變化過程中，如果有兩個變量x和y，對於x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那麼，我們就說y是x的函數，其中x叫做自變量，y叫做因變量。

2、對函數概念的理解，主要抓住三點：

（1）有兩個變量；

（2）一個變量的數值隨另一個變量的數值的變化而變化；

（3）自變量每確定一個值，因變量就有一個並且隻有一個值與其對應。

三、函數的表示法：（1）列表法；（2）圖象法；（3）解析法。

四、求函數自變量的取值范圍

1．實際問題中的自變量取值范圍

按照實際問題是否有意義的要求來求。

2．用數學式子表示的函數的自變量取值范圍

例1．求下列函數中自變量x的取值范圍

(1)解析式為整式的，x取全體實數；

(2)解析式為分式的，分母必須不等於0式子才有意義；

(3)解析式的是二次根式的被開方數必須是非負數式子才有意義；

(4)解析式是三次方根的，自變量的取值范圍是全體實數。

3．函數值：指自變量取一個數值代入解析式求出的數值，稱為函數值；實際上就是以前學的求代數式的值。

§17.2函數的圖象

一、平面直角坐標系

1、定義：平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成瞭平面直角坐標系。其中水平的數軸叫做橫軸（或x軸），取向右為正方向；豎直的數軸叫做縱軸（y軸），取向上為正方向；兩軸的交點O叫做原點。在平面內，原點的右邊為正，左邊為負，原點的上邊為正，下邊為負。

2、坐標平面內被x軸、y軸分割成四個部分，按照“逆時針方向”分別為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限

註意：x軸、y軸原點不屬於任何象限。

3、平面直角坐標系中的點分別向x軸、y軸作垂線段，在x軸上垂足所顯示的數稱為該點的橫坐標，在y軸上垂足所顯示的數稱為該點的縱坐標。點的坐標反映的是一個點在平面內的位置。

寫坐標的規則：橫坐標在前，縱坐標在後，中間用“，”隔開，全部用小括號括起來。

如P（3，2）橫坐標為3，縱坐標為2。

特別註意坐標的順序不同，表示的就是不同位置的點。

所以點的坐標是一對有順序的實數，稱為有序實數對。

4、平面直角坐標系中的點與有序實數對一一對應。

5、坐標的特征

(1)在第一象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是正數；在第二象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是正數；

在第三象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是負數；在第四象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是負數；

(2)x軸上點的縱坐標等於零；y軸上點的橫坐標等於零．

6、對稱點的坐標特征

(1)關於x軸對稱的兩點：橫坐標相同，縱坐標絕對值相等，符號相反；

(2)關於y軸對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標相同；

(3)關於原點對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標也絕對值相等，符號相反。

(4)第一、三象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標相同；

(5)第二、四象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標互為相反數。

7、點到兩坐標軸的距離

點A（a，b）到x軸的距離為|b|，點A（a，b）到y軸的距離為|a|。

二、函數的圖象

1、意義：對於一個函數，如果把自變量x與函數值y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內描出相應的點，這些點所組成的圖形，就是這個函數的圖象。

2、作函數圖象的方法：描點法。步驟：（1）列表；（2）描點；（3）連線。

3、一般函數作圖象，要求橫軸和縱軸上的單位長度一定要一致，按照對應的解析式先計算出一對對應值，就是坐標，然後描點，再連線；畫實際問題的圖象時，必須先考慮函數自變量的取值范圍．有時為瞭表達的方便，建立直角坐標系時，橫軸和縱軸上的單位長度可以不一致。

§17.3 一次函數

一、一次函數的概念

之所以稱為一次函數，是因為它們的關系式是用一次整式表示的。學習此概念要從兩個方面來理解。

（1）從其表達式上：

一次函數通常是指形如：y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的函數，凡是成這種形式的函數都是一次函數。而當b=0時，即y=kx(k≠0的常數)，則稱為正比例函數，其中k為比例系數。

（2）從其意義上：

它們表示的是兩個變量之間的關系，這種函數關系具有特定的意義，如，如果說兩各變量之間具有一次函數關系，我們就可按照概念設出函數關系式，成正比例關系的也同樣，如，若s與t成正比例關系，我們便可設s=kt（k≠0，t為自變量）

“正比例函數”與“成正比例”的區別：

正比例函數一定是y=kx這種形式，而成正比例則意義要廣泛得多，它反映瞭兩個量之間的固定正比例關系，如a+3與b-2成正比例，則可表示為：a+3=k（b-2）（k≠0）

二、一次函數的圖象

正比例函數和一次函數的圖象都是一條直線，所以對於其解析式也稱為“直線y=kx+b，直線y=kx”。因為一次函數的圖象是一條直線，所以在畫一次函數的圖象時，隻要描出兩個點，在通過兩點作直線即可。

1、畫正比例函數y=kx(k≠0的常數)的圖象時，隻需要這兩個特殊點：（0，0）和（1，k）兩點；

2、畫一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的圖象時，隻需要找出它與坐標軸的兩個交點即可。一次函數與x軸的交點坐標是：（0，b），與y軸的交點坐標是：（－，0）

3、若兩個不同的一次函數的一次項的系數相同，則這它們的圖象平行。

4、將y=kx的圖象沿著沿著軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|各單位長度即可得到y=kx+b。

5、求兩一次函數的交點坐標：聯立解兩各函數解析式得到的二元一次方程組，求的自變量x的值為交點的橫坐標，求出的y的值為交點的縱坐標。

三、一次函數的性質

一次函數的性質是由k來決定的。

1、正比例函數y=kx(k≠0的常數)的性質

（1）當k>0時，圖象經過一、三象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。

（2）當k<0時，圖象經過二、四象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。

2、一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的性質

（1）當k>0時，①當b>0時，圖象經過一、三、二象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。②當b<0時，圖象經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。

（2）當k<0時，①當b>0時，圖象經過二、四、一象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。②當b<0時，圖象經過二、四、一象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。

四、確定正比例函數好一次函數的解析式

1、意義：

（1）確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數y=kx(k≠0的常數)中的常數k；

（2）確定一個一次函數，需要確定一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)中常數k和b。

2、待定系數法

（1）先設待求函數關系式（其中含有未知的系數），再根據條件列出方程或方程組，求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法。

（2）用待定系數法求函數關系式的一般方法：①設出含有待定系數的函數關系式；②把已知條件（自變量與函數的對應值）代入關系式，得到關於待定系數方程（組）；③解方程（組），求出待定系數；④將求得的待定系數的值代回所設的關系式中，從而確定出函數關系式。

五、一次函數（正比例函數）的應用。與方程的應用差不多，註意審題步驟。

§17.4 反比例函數

一、反比例函數

1、定義：形如y= (k≠0的常數)的函數叫做反比例函數。

2、對於反比例函數：

（1）掌握其形式y= ，且k為常數，同時不能為0；等號左邊是函數y，右邊是一個分式，分子是一個不為0的常數，分母是自變量x，若把反比例函數寫成y=kx-1，則x的系數為-1；自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數，函數y的取值范圍也是不為0的一切實數；

（2）將y= 轉化為xy=k，由此可得反比例函數中的兩個變量的積為定值，即某兩個變量的積為一定值時，則這兩個變量就成反比例關系。

（3）“反比例函數”與“成反比例”之間的區別在於，前者是一種函數關系，而後者是一種比例關系，不一定是反比例函數，如說s與t2成反比例，可設為s= (k≠0的常數)，但這顯然不是反比例函數。

二、用待定系數法求反比例函數表達式。由於反比例函數y= 中隻有一個待定系數，因此隻需要一組對應值，即可求k的值，從而確定其表達式。

三、反比例函數的圖象

1、意義：

（1）名稱：雙曲線，它有兩個分支，分別位於一、三或二、四象限；

（2）這兩個分支關於原點成中心對稱；

（3）由於反比例函數自變量x≠0，函數y≠0，所以反比例函數的圖象與x軸和y軸都沒有交點，無限接近坐標軸，永遠不能到達坐標軸。

2、畫法（描點法）：（1）列表。自變量的值應在0的兩邊取值，各取三各以上，共六對互為相反數的數對，填y值時，隻需計算出自變量對應的函數值即可。（2）描點：先畫出反比例函數一側（即一個象限內的分支），在對稱地畫出另一側（另一分值）；（3）連線：按照從左到右的順序用平滑曲線連接各點並延伸，註意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不能與坐標軸相交。

四、反比例函數y= 的性質

A

B

C

O

1、性質：（1）當k>0時，圖象的兩個分支位於一、三

象限,在每個象限內，y隨x的增大而減小；

（2）當k<0時，圖象的兩個分支位於二、四

象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大；

註意：不能籠統地說反比例函數的“y隨x的增大而增大或減小”，必須註意是在“各自的象限內”

2、反比例函數的表達式中的幾何意義

如圖所示，若點A是反比例函數y= 上的點，且AB垂直於x軸，垂足為B，AC垂直於y軸，

垂足為C，則S矩形ABOC=|k|，S△AOB=S△AOC= S矩形ABOC= |k|

五、反比例函數的應用。註意聯系實際問題和用解決方程應用題的思路。

第18章 平行四邊形

§18.1平行四邊形的性質

一、平行四邊形的性質

（一）平行四邊形的有關概念

1、定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

A

B

C

D

2、表示方法：專用符號：“”。

如圖的平行四邊形看表示為：ABCD；讀作：“平行四邊形ABCD”

3、平行四邊形的“對邊”是指：互相平行的兩邊；“對角”是指：“開口”相對的兩角。

4、平行四邊形的對角線：指兩對角定點的連線。

（二）平行四邊形的性質

1、平行四邊形的對邊相等，對角相等。

2、平行四邊形的對角線互相平分。

3、兩平行線之間的距離處處相等。

4、平行四邊形是中心對稱圖形。

5、S=底×高。

（三）平行四邊形的作用

1、由定義可以把平行四邊形用於證明兩直線（線段）平行；

2、可以用作判定平行四邊形。

二、平行四邊形判定

（一）判定方法

1、從邊看：

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

2、從角看：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

3、從對角線看：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

（二）平行線之間的距離

兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做兩條平行線之間的距離。兩平行線之間的距離處處相等。

第19章 矩形、菱形、與正方形

§19.1 矩形

一、矩形的性質

1、定義：有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。

2、性質：矩形具有平行四邊形的所有性質。

（1）矩形的四個角都是直角；

（2）矩形的對角線相等且互相平分；

（3）矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

（4）S矩形=長×寬。

3、直角三角形的一個重要特性：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。

二、矩形的判定方法

1、有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

2、對角線相等的平行四邊形是矩形；

3、有三個角是直角的四邊形是矩形。

§19.2 菱形

一、菱形性質

1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2、性質：菱形具有平行四邊形的所有性質。

（1）菱形的四條邊都相等；

（2）菱形的對角線互相垂直平分，並且每條對角線平分一組對角；

（3）菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

（4）S菱形=底×高= 對角線①×對角線②。

二、菱形的判定方法

1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

2、四條邊都相等的四邊形是菱形；

3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

4、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。

§19.3 正方形

一、正方形的性質

1、定義：

（1）有一個內角是直角、一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形；

（2）有一個內角是直角的菱形是正方形；

（3）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

2、性質：

（1）正方形具有平行四邊、矩形和菱形的所有性質；

（2）正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

（3）S正方形=邊長2= ×對角線2。

二、正方形的判定方法。用定義也可判定。

1、有一個角是直角的菱形是正方形；

2、有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

3、對角線相等的菱形是正方形；

4、對角線互相垂直的矩形值正方形

等腰梯形的判定

一、一般梯形

（一）梯形的有關概念

1、定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

2、底邊和腰：平行的兩條對邊叫做梯形的底邊；不平行的兩條對邊叫做梯形的腰。

3、底角：梯形的一腰和底邊的夾角叫做梯形的底角。

（二）直角梯形

1、定義：有一個內角是直角的梯形叫做直角梯形。

2、直角腰是直角梯形的高。

二、等腰梯形

（一）定義與性質

1、定義：兩腰學相等的梯形叫做等腰梯形。

2、性質：

（1）等腰梯形同一底上的兩個底角相等；

（2）等腰梯形的兩條對角線相等。

（3）等腰梯形是軸對稱圖形，它隻有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線是它的對稱軸。

（二）等腰梯形的判定方法

1、兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。

3、兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。

三、解決梯形問題常用的輔助線

（基本思想：化梯形問題為“平行四邊形”和“三角形”問題來解決）

（延長兩腰）

（作對角線的平行線）

（作一腰的平行線） （作兩條高）

四、註意事項：

（1）梯形中，若遇到有一個角的為60o或120o，則跟等邊三角形加以聯系；

（2）梯形中，若遇到有一個角的為30o或150o，則跟“30o的Rt△”加以聯系；

（3）梯形中，若遇到有一個角的為45o或135o，則跟“45o的Rt△”加以聯系；

（4）解決梯形問題，一定要註意借助平行四邊形、矩形、菱形、正方形和特殊的三角形知識來解決。

第20章 數據的整理與初步處理

§20.1平均數

一、算術平均數的意義

1、定義：一般地，我們把n個數…的和與n的比叫做這n個數的算

術平均數，簡稱平均數，記作：，讀作x拔。

具體算法：=

2、平均數的簡化運算

當一組數據非常大或非常小，並且有集中在某個數字之間左右晃動時，看采用此方法簡化運算：

對於一組數據…，取定一個常數a，把原來數組中的每一個數都減去

a後得到一組新數據…，則原數組的平均數就是：=a+ (+ + )

3、作用：平均數反映瞭一組數據的集中趨勢，是表示一組數據的“平均水平”，它的單位與這組數據的單位一致。

4、用樣本（部分）估計總體

當一組數據的個圖非常多或很難獲得全部數據時，可以從這些數據中抽出部分個體作為樣本進行分析、統計，由此估計總體的特征或信息。

二、加權平均數

定義和算法：一般說來，如果n個數據中，x1出現f1次，x2出現f2次，…xk出現fk次，且f1 + f2 +… +fk =n，則這n個數的平均數可表示為

=這個叫做加權平均數，數據出現的次數f叫做權，數

組中的每個數對應一個權。

§20.2 數據的集中優勢

一、中位數

1、定義：將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列後，處在最中間位置的的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。

2、求法：（1）對這組數據的n個數進行從小到大的排序；

（2）若給出的數據個數為奇數，則第（ ）個數據就是這組數據的中位數；若給出的數據個數為偶數個，則第個和第（）個的平均數就是這組數據的中位數。

二、眾數

1、定義：一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。

2、眾數是對各數據出現的頻率的考察，其大小隻與這組數據中部分數據有關，當一組數據中有數據多次重復出現時，以至於其他數據的作用顯得相對較小，眾數就可以在某種意義上代表這組數據的集中程度或整體情況。

3、一組數據可以有不止一個眾數，也可以沒有眾數。如果一組數據中有幾個數據出現的次數相同，並且比其他數據出現的次數都多，那麼這幾個數據都是這組數據的眾數。

三、平均數、中位數和眾數的選用

平均數、中位數和眾數都是描述一組數據的集中趨勢的特征數，但描述的角度和使用范圍有所不同

（1）平均數大小與一組數據裡每個數據均有關系，其中任何數據的變動都會相應地引起平均數的變動，所以它極易受個別極端數的影響；（2）中位數僅與數據的排列位置有關，某些數據的變動對中位數沒有影響。中位數可能出現在所給數據中，也可能不在所給數據中，當一組數據中個別數據變動較大時，可以用它來描述其集中趨勢；（3）眾數考察各數據出現的頻率，其大小隻與這組數據中部分數據有關，眾數往往是人們尤為關心的一個量，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，其眾數往往更能反映問題。（4）在實際問題中求得的平均數、眾數和中位數都應帶上單位。

§20.3 數據的離散程度

一、極差

1、定義：用一組數據中最大值減去最小值所得到的差來反映這組數據的變化范圍的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值。

2、極差的特征：極差能反映數據的變化范圍，是最簡單的一種度量數據波動情況的量，但它受極端數據的影響較大。

二、方差

1、定義：用“先平均，再求差，然後平方，最後再平均”的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果通常稱為方差。

2、算法：通常用S 2表示一組數據的方差，用表示一組數據的平均數，x1、

x2、…xn表示各個數據，方差的計算式就是：S2=

3、方差的特征：

方差反映的瞭數據的波動大小，用於判定一組數據的穩定性。在實際問題中，例如長得是否整齊、是否穩定等都是波動的體現。方差越大，數據的波動就越大，就越不穩定；方差越小，數據的波動則越小，越穩定。

三、標準差

1、意義：就是方差的算數平方根，叫做標準差。

2、算法與方差同，隻是要把方差開方求算數平方根。

3、標準差的特征：它與方差一樣，也是反映一組數據的整體波動的指標。樣本的方差或樣本的標準差越大，樣本的數據波動就越大，反之亦然。

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