拉格朗日函数

在理论力学中有一个很重要的函数：拉格朗日函数.它是广义坐标、广义速度（广义坐标对时间的导数）、时间这三者的函数.它能描写一个力学系统的状态.

拉格朗日函数L定义为：

L=T-U.tag{1}

其中，T指动能，U指势能.

在笛卡尔坐标系中，质点的拉格朗日函数为：

L=frac12mv^2-U.tag2

那么引入拉格朗日函数有什么用呢？

我们把拉格朗日函数对时间的积分定义为作用量S：

S=int_{t_1}^{t_2}Lmathrm dt.tag3

有如下最小作用量原理成立：质点总沿作用量最小的轨道运动.比如说为什么仅受重力作用时物体沿直线下落？因为这条轨道作用量最小，其他路径作用量都要大.也就是说，对作用量的变分为0，即：

delta S=0.tag4

应用变分法中的欧拉-泊松方程即得到应用广泛的拉格朗日方程：frac{partial L}{partial q}-frac{mathrm d}{mathrm dt}frac{partial L}{partialdot q}=0.tag5

q表示广义坐标， dot q 表示广义速度（加一点表示对时间求导一次）。

自由落体

在这里我举一个应用拉格朗日函数解决问题的例子.研究一下自由落体运动.

选取到地球中心的距离r为广义坐标，速度v为广义速度，易写出拉格朗日函数为：

L=frac12mv^2+frac{GMm}r.tag6

其中G为万有引力常量，M为地球质量，m为物体质量.代入（5）式可得到：

frac{GMm}r+mfrac{mathrm d^2}{mathrm dt^2}r=0.tag7

这便是自由落体运动所满足的微分方程.解得通解为：

t=frac1{C_1}sqrt{C_1r^2+2GMr}-frac{GM}{sqrt{C_1^3}}ln|2C_1r+2GM+2sqrt{C_1}sqrt{C_1r^2+2GMr}|+C_2.tag8

这样我们得到了时间t与r的关系. C_1 与 C_2 是常数，视初值条件而定.