6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、分类加法计数原理

1、定义：完成一件事情有

类不同的方案，在第1类方案中有

种不同的方法，在第2类方案中有

种不同的方法，…，在第

类方案中有

种不同的方法，则完成这件事共有

种不同的方法。

【注意】完成这件事的

类方案是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要在用其他的方法。

2、解题思路：

（1）分类：将完成这件事的方法分成若干类；

（2）计数：求出每一类的方法数；

（3）结论：将每一类的方法数相加得出结果。

3、应用分类加法计数原理的注意事项：

（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准；

（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复；

（3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏。

二、分步乘法计数原理

1、定义：完成一件事需要

个步骤，做第1步有

中不同的方法，做第2步有

中不同的方法，…，做第

步有

种不同的方法，则完成这件事共有

种不同的方法。

【注意】完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成。

2、解题思路：

（1）分步：将完成这件事的过程分成若干步；

（2）计数：求出每一步中的方法数；

（3）结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果。

三、两种计数原理的区别与联系

	分类加法计数原理	分步乘法计数原理
相同点	都是完成一件事的不同方法的种数问题
不同点1	完成一件事有类不同方案，关键词是“分类”	完成一件事需要个步骤，关键词是“分步”
不同点2	每类方案都能独立完成这件事情，且每种方法得到的最后结果，只需一种方法就可以完成这件事	任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
不同点3	各类方案之间是互斥的、并列的、独立的	各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复

四、两种计数原理综合应用

1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步；

2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；

3、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。

五、解决计数问题常用的方法

1、枚举法：将各种情况通过树形图法、列表法意义列举出来，适用于计数种数较少的情况；

2、间接法：若计数时分类较多或无法直接计数时，可先求出没有限制条件的种数，再减去不满足条件的种数；

3、字典排序法：

（1）字典排序法就是把所有字母分前后次序，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束。

（2）利用字典排序法并结合分步乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排雷不重不漏地一一列举出来。

4、模型法：通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助分析和解决问题。

题型一 分类加法计数原理的应用

【例1】（2022秋·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）

A．40种 B．20种 C．15种 D．11种

【变式1-1】（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）

A．7种 B．9种 C．14种 D．70种

【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（ ）．

A．18个 B．15个 C．12个 D．9个

【变式1-3】（2022·高二课时练习）如图，将钢琴上的

个键依次记为

，

，…，

．设

，若

且

，则称

，

，

为大三和弦；若

且

，则称

，

，

为小三和弦．用这

个键可以构成的大三和弦与小三和弦的个数之和为（ ）

A．5 B．8 C．10 D．15

题型二 分步乘法计数原理的应用

【例2】（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

【变式2-1】（2022秋·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）

A．13种 B．22种 C．30种 D．60种

【变式2-2】（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（ ）

A．37种 B．65种 C．96种 D．108种

【变式2-3】（2022·高二单元测试）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数的个数有（ ）

A．120 B．90 C．48 D．12

题型三 两种计数原理综合应用

【例3】（2022春·湖北十堰·高二十堰东风高级中学校考阶段练习）某校高二年级举行健康杯篮球赛，共20个班级，其中1、3、4班组成联盟队，2、5、6班组成联盟队，一共有16支篮球队伍，先分成4个小组进行循环赛，决出8强（每队与本组其他队赛一场），即每个组取前两名（按获胜场次排名，如果获胜场次相同的就按净胜分排名）；然后晋级的8支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，淘汰赛第一轮先决出4强，晋级的4支队伍要决出冠亚军和第三、四名，同时后面的4支队伍要决出第五至八名，则总共要进行篮球赛的场次为（ ）

A．32 B．34 C．36 D．38

【变式3-1】（2022·河南安阳·校联考模拟预测）为推动就业与培养有机联动､人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目.现安排甲､乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有（ ）

A．15种 B．16种 C．17种 D．18种

【变式3-2】（2022春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：

“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；

“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；

“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味.

现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）

A．36 B．18 C．9 D．6

【变式3-3】（2022春·山东菏泽·高二统考期中）如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（ ）

A．3 B．6 C．7 D．8

题型四 代数中的计数问题

【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知集合

，

，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）

A．18 B．16 C．14 D．10

【变式4-1】（湖北省十七所重点中学2023届高三下学期2月第一次联考数学试题）设集合

，则集合S的元素个数为（ ）

A．

B．

C．

D．

【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（ ）

A．50 B．51 C．52 D．53

【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（ ）

A．64 B．56 C．53 D．51

题型五 数字排列计数问题

【例5】（2022春·湖南长沙·高二长沙县实验中学统考期末）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ）

A．7 B．9 C．10 D．13

【变式5-1】（2022春·广东广州·高二统考期末）用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（ ）

A．6 B．12 C．16 D．24

【变式5-2】（2022春·江苏镇江·高二校考期中）用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（ ）

A．125种 B．100种 C．64种 D．60种

【变式5-3】（2022秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）用0，1，2，3，

，9这十个数字.

（1）可组成多少个三位数？

（2）可组成多少个无重复数字的三位数？

（3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？

题型六 涂色计数问题

【例6】如图，湖北省分别与湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有

种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）

A．

B．

C．

D．

【变式6-1】（2022·高二课时练习）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（ ）．

A．80种 B．120种 C．160种 D．240种

【变式6-2】（2022秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（ ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．72种

【变式6-3】（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种