我們總結一下判斷無窮級數收斂與發散的方法。

常用極限

下面是常用的幾個極限：

1. lim_{n rightarrow infty}frac{ln~n}{n}=0
2. lim_{n rightarrow + infty}sqrt[n]{n}=1
3. lim_{n rightarrow + infty}x^{frac{1}{n}}=1(x > 0)
4. lim_{n rightarrow + infty}x^n=0(|x|<1)
5. lim_{n rightarrow + infty}Big(1+frac{x}{n} Big)^n=e^x(任何x)
6. lim_{n rightarrow + infty}frac{x^n}{n!}=0(任何x)

第一步：a_n是否趨向於零

第一步，我們需要判斷lim a_n是否等於零。如果不存在或不等於零，那麼級數是發散的。如果等於零，進入第二步。

第二步：是否是幾何級數

判斷 a_n 是否是一個等比數列，如果是，公比|r|<1則收斂，|r|geq 1則發散。

第三步：是否是類似 sum frac{1}{n(n+1)} 的壓縮級數

類似 sum frac{1}{n(n+1)} 的壓縮級數，可以拆分成兩個部分，在展開時可以與後面的項，實現相互抵消。它是收斂的。

如 sum frac{1}{n(n+1)}=sum (frac{1}{n} - frac{1}{n+1})=frac{1}{1}-frac{1}{2}+frac{1}{2}-frac{1}{3}+cdots +frac{1}{n} -frac{1}{n+1}=1-frac{1}{n+1}

第四步：是否是形如 sum_{n=1}^infty frac{1}{n!} 的級數

形如 sum_{n=1}^infty frac{1}{n!} 的級數收斂。

第五步：是否是p-級數

形如sum frac{1}{n^p}的p-級數，p>1時收斂，否則發散。

第六步：能否應用直接比較判別法

直接比較判別法的規則是：

1. 如果 a_n leq b_n，其中sum b_n級數是收斂的，那麼sum a_n也收斂

2. 如果 a_n geq b_n，其中sum b_n級數是發散的，那麼sum a_n也發散。

應用直接比較判別法的技巧，是看a_n能否通過簡單地轉換，變成第二、三、四、五步中已知的發散或收斂級數，把這個轉換後的級數作為b_n，利用直接比較判別法規則來判斷a_n收斂性。

第七步：能否應用極限比較判別法

極限比較判別法的規則是：

1. 如果 lim_{nrightarrow infty}frac{a_n}{b_n}=c，0 lt c lt infty，則 sum a_n和sum b_n同時收斂或同時發散。
2. 如果 lim_{nrightarrow infty}frac{a_n}{b_n}=0，如果sum b_n收斂，則sum a_n收斂
3. 如果 lim_{nrightarrow infty}frac{a_n}{b_n}=infty，如果sum b_n發散，則sum a_n發散

應用極限比較判別法的技巧，是看a_n能否通過簡單地轉換，變成第二、三、四、五步中已知的發散或收斂級數，把這個轉換後的級數作為b_n，計算 lim_{nrightarrow infty}frac{a_n}{b_n} 的值，然後根據極限比較判別法的規則來判斷a_n收斂性。

第八步：能否使用積分判別法

積分判別法的規則是：

a_n是一個正數項序列，把a_n的表達式看成一個連續的、正的、遞減函數f(n)（由於第一步中保證瞭a_n是趨於0的，所以在這裡隻考慮a_n是一個正數項序列就行），則有sum_{n=N}^infty a_n和積分int_N^infty f(x) mathrm{d}x 同時收斂或同時發散。

應用積分判別法的技巧是觀察a_n能否簡單地求積分。

第九步：能否使用比值和根式判別法

如果sum a_n是一個正項級數，並且有

lim_{nrightarrow infty}frac{a_{n+1}}{a_n}=rho\

1. 如果rho < 1，則級數收斂
2. 如果rho > 1
3. 如果rho =1，則無法確定是收斂還是發散。

應用這種方法的技巧是觀察 frac{a_{n+1}}{a_n} 是否是一個足夠簡單的式子。一般應用在形如含有a^n或n^a或n!的級數中。

第十步：能否使用n次根判別法

如果a_n是正項級數，且

lim_{nrightarrow infty}sqrt[n]{a_n}=rho\

1. 如果rho < 1，則級數收斂
2. 如果rho > 1
3. 如果rho =1，則無法確定是收斂還是發散。

一般應用在含有a^n或n^a的級數中。其中 sqrt[n]{a^n} 可以被簡化為a，而sqrt[n]{n^a}=(sqrt[n]{n})^a，而根據上面的常用極限表第四個，lim_{nrightarrow infty}sqrt[n]{n}=1，因此lim_{nrightarrow infty} sqrt[n]{n^a}=lim_{nrightarrow infty} (sqrt[n]{n})^a=1。

第十一步：它是一個交錯級數

假設交錯級數為：

sum_{n=1}^infty a_n = sum_{n=1}^infty (-1)^{n+1}u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+cdots \

1. 看sum_{n=1}^infty |a_n|是否收斂，使用上面的第一到第十步的方法去判斷。如果它是收斂的，那麼原級數一定是收斂的，而且是絕對收斂。如果不是收斂的，那麼原級數有可能是條件收斂，或者是發散，轉到下面第2步。
2. 是否存在一個整數N，使得u_Ngeq u_{N+1} geq cdots？如果不存在，則無法確定級數是收斂還是發散，如果存在，轉到下面第3步
3. u_n是否趨向於0，是的話級數收斂，否則發散。

第十二步：繼續修煉或使用CAS

如果還無法判斷級數是否收斂或發散，則需要使用CAS等工具來探索或者去學更高等的教材。

總結流程圖