学习目标（参考教材：湘教版）

1. 理解集合的含义，理解元素与集合之间的“属于”关系
2. 能用自然语言、图形语言、数学语言，描述不同具体问题的集合，掌握区间的表示方法
3. 理解子集、补集、全集的概念，了解空集、全集的意义，理解属于、包含和相等的含义
4. 能判别给定全集的子集，能求给定子集的补集
5. 理解交集和并集的含义，掌握并集和交集运算
6. 掌握Venn图表达集合的基本关系和基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用
7. 理解命题的概念与命题的判断，理解命题的结构，能判断命题的真假，
8. 了解命题的否定与否命题的区别会根据命题的真假求解参数
9. 理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解四种命题及其相互关系
10. 理解充分条件，必要条件，充要条件的意义
11. 理解性质定理和必要条件的关系，理解判定定理与充分条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系
12. 理解全称量词与存在量词的意义
13. 能正确使用存在量词对全称命题进行否定以及真假判别
14. 能正确使用全称量词对特称命题进行否定以及真假判别

集合和逻辑用语的知识结构

一、集合和元素

基本定义

1. 集合：把一些对象放在一起考虑时，这些对象组成了一个集合或集.通常用大写拉丁字母表示，如A,B, …表示.
2. 元素：这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素.通常用小写拉丁字母表示，如a，b…表示.
3. 集合中元素的三个基本属性（特征）

互异性	同一集合中的元素是互不相同的
确定性	集合中的元素是确定的，亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的
无序性	集合中的元素没有顺序，可以任意排列

元素与集合的关系

表达集合和它的元素之间的归属关系的符号是 in .

(1)属于：若S是一个集合，a是S的一个元素，记作“a in S”，读作：“a属于S”；

(2)不属于：若a不是S的元素，记作a notin S 读作“a不属于S”.

常用数集及符号表示

数集	自然数集	正整数集	整数集	有理数集	实数集
符号	N	N+	Z	Q	R

集合分类

1. 有限集：元素个数有限的集合(或有穷集)。
2. 无限集：元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)。
3. 空集：没有元素的集合叫空集。记作∅，空集也是有限集。
4. 全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集, 通常记作U

二、集合的表示方法

列举法

把集合中的元素逗号分隔一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法. 例如{-1,2,3,4}

描述法

把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这种表示方法叫作描述法.

例 {x|a < x < b}

图形表示法

韦恩图

区间的相关概念

• {x|a < x < b} 开区间 (a,b)
• {x|a leq x leq b} 闭区间 [a,b]
• {x|aleq x <b} 左闭右开区间 [a,b)
• {x|a< x leq b} 左开右闭区间 (a,b]

无穷大

正无穷大符号 +infty ，负无穷大-infty

实数集 R可以用（- infty ,+ infty ）表示

• {x| x geq a} 区间表示为 [a,+infty)
• {x| x > a} 区间表示为 (a,+infty)
• {x| x leq b} 区间表示为 (-infty , b]
• {x| x < b} 区间表示为 (-infty , b）

在数轴上的标识由实心或圈来描述开闭（图略）

三、子集、并集、交集、补集和集合运算

子集

如图所示，集合A所有元素都是集合B的元素，则称A为B的子集，记为A subseteq B（或 B supseteq A）

如果 A subseteq B 且 B subseteq A，说明 A = B

如果 A subseteq B 且 A ne B，说明 A是B的真子集，如图所示

子集的性质：

1. 任何一个集合都是它本身的子集即 A subseteq A
2. 若A subseteq B 且 B subseteq C 则 A subseteq C （包含于的传递性）
3. 空集是任何集合的子集，即 phisubseteq A
4. 空集是任何非空集合的真子集。
5. n个元素集合的子集有 2^{n} 个
6. n个元素集合的真子集有 2^{n} -1 个（去掉全集）
7. n个元素集合的非空真子集有 2^{n} – 2 个（去掉全集和空集）

并集

定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,叫做集合A与B的并集,记作A cup B,读作A并B,

数学表达式： A cup B={x|x in A 或 x in B}

韦恩图表示如下（阴影部分）,通常有三种情形

并集图示

交集

定义：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作A cap B，读作A交B

数学表达式：A cap B={x|x in A 且 x in B}

韦恩图表示（阴影部分）通常有三种情形，其中中间这种情形表示 A cap B= phi

交集图示

补集

1.全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集, 通常记作U .

2.全集具备以下特征：

（1）全集包含所要研究集合的全部元素, 所要研究的集合都是它的子集.

（2）全集是研究问题的一个相对概念,研究的问题变了，全集有可能就变了，例如在整数集Z范围内研究问题时，全集就是整数集Z，而当研究的问题拓展到实数集时，全集就是实数R，这时，整数集Z就不是全集了.

3.补集的定义：对于全集 的一个子集A，由全集中不属于A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集 的补集,简称为集合A的补集

==需要补充韦恩图==

等价关系

A subseteq B Leftrightarrow A cap B = A Leftrightarrow A cup B = B Leftrightarrow A cap bar{B} = phi Leftrightarrow bar{A} cup B = 全集

德.摩根定律

运算律

交换律

Acap B = B cap A

A cup B = B cup A

结合律

(Acap B) cap C =Acap (B cap C)

(Acup B) cup C =Acup (B cup C)

分配律：

A cap (B cup C) = (A cap B) cup (Acap C)

A cup (B cap C)=(A cup B) cap (A cup C)

集合的交集、并集、补集运算，需注意三点

1. 意义化：分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形构成的集合。
2. 直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来。
3. 求出有关集合中方程、不等式的解，不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式。

另外运算时还要注意：

1. 勿忘对空集的讨论；
2. 勿忘集合中元素的互异性；
3. 对于含参数的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．

四、命题

命题的定义及分类

在数学中，一般把可以判断真假的陈述句叫做命题。

真命题：判断为真(成立)的命题叫作真命题。

假命题：判断为假(不成立)的命题叫作假命题。

猜想：数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想。

数学语言

逻辑用语：“若”“推出”“就”“所有”

逻辑联结词：“或”、“且”、“非”

更为简洁表述数学内容和数学思想，推导和计算过程。

通常不含逻辑联结词的命题是简单命题；

而由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题，复合命题的形式：

• p或q（记作“ p vee q ” ）
• p且q（记作“ p wedge q ” ）
• 非p（记作“ neg p ” ）

“或”、“且”、“非”的真值判断

（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；（相当于求补集）

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；（相当于求交集）

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真。（相当于求并集）

命题的否定

如果p是一个命题，则 “p不成立也是一个命题”叫做p的否定，记作 neg p (读作 非 p)。p和 neg p 之间一定有一个为真，有一个为假。

从集合言，命题的否定，相当于求补集。

逆命题，逆否命题

在数学中，命题通常由条件和结论组成，四种命题的形式及关系：（附注：新教材未提及逆否命题）

原命题：若p，则q；

逆命题：若q，则p；

否命题：若 neg p ，则 neg q ；

逆否命题：若 neg q ，则 neg p 。

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。

四种命题之间的相互关系 (2019新教材没提这部分)：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下等价关系

（原命题 Leftrightarrow 逆否命题）

（否命题 Leftrightarrow 逆命题）

由此

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

五、充分条件与必要条件

基础知识

Rightarrow 和 Leftrightarrow 的含义

Rightarrow 是推断符号， pRightarrow q 即 若p成立，那么q一定成立

Leftrightarrow 是等价符号， p Leftrightarrow q 表示 若p成立，那么q一定成立，同时如果q成立，那么p一定成立；

充分条件、必要条件、充要条件

1. 若 p ⇒q, 则p是q的充分条件, 同时q是p的必要条件；
2. 若 p ⇒q, 但q⇏p, 则p是q的充分不必要条件；
3. 若 p ⇒q, 且q⇒p, 则p是q的充要条件（充分必要条件）；
4. 若 q ⇒p, 且p⇏q, 则p是q的必要不充分条件；
5. 若 p ⇏q, 且q⇏p, 则p是q的既不充分也不必要条件．

传递性

若 pRightarrow q ， qRightarrow s , 那么 p Rightarrow s

若 pLeftrightarrow q ， qLeftrightarrow s , 那么 p Leftrightarrow s

充分条件与必要条件的理解

• 充分条件：就是说条件是充足的,足够的,足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.
• 必要条件：必要就是必须，必不可少.“有之未必成立，无之必不成立”

判断充分条件、必要条件的注意点

• 1.明确条件与结论.
• 2.判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.
• 3.可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.

充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：

• 1.p是q的充分条件；
• 2.p的充分条件是q；

充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

• 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
• 2.要注意区间端点值的检验．

充要条件的证明策略

• 1.要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.
• 2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.

充分，必要条件的集合表示

p是q的充分必要条件： p Leftrightarrow q 集合语言 p=q，集合相等

p是q的充分不必要条件： p Rightarrow q 集合语言 p subseteq q 且 p ne q ，即p为q的真子集

p是q的必要不充分条件： q Rightarrow p 集合语言：q subseteq p 即q为p的真子集

p既不是q的充分，也不是必要条件； 集合语音：p和q相互之间不存在包含关系

六、全称量词和存在量词

含有量词的命题

全称量词和全称命题

全称量词

“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”

全称命题：含有全称量词的命题

例如：设p(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称命题

符号表示： forall

样例：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为 forall xin M, p(x)

全称命题的真假判断

• 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立;
• 要判断一个全称命题是假命题，只需列举出一个 x_{0} in M ,使得 p(x_{0}) 不成立即可.

存在量词和存在量词命题

存在量词

“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等

特称命题（存在量词命题）

语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作存在量词命题

符号表示： exists

样例：“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为为 exists xin M, p(x)

存在量词命题的真假判断

• 要判断一个存在量词命题是真命题，只要限定集合M中的存在一个 x_{0} in M ,使得 p(x_{0}) 成立
• 要判断一个存在量词命题是假命题，找不出一个 x_{0} in M ,使得 p(x_{0}) 成立.

含量词命题的否定

全称命题的否定

命题” forall xin M, p(x) 成立“的否定是“ exists xin I，p(x)不成立“

全称量词命题的否定是存在量词命题

特称命题的否定

命题“ exists xin M, p(x)成立“的否定是 “ forall xin I, p(x) 不成立”

特称命题（存在量词命题）的否定是全称命题。

复习和巩固

例1．（2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考）“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

例2．（2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中）设 alpha：1leq x leq 3 ， beta: x < m ，若 alpha 是 beta 的充分条件，则实数 m 的取值范围是_______.

例3.（2021-2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末）已知非空集合

P = {{ x | a-1 leq x leq 6a-14 } }，Q={ x|-1 leq x leq 5 }

(1)若a=3，求 bar{P} cap Q ；

(2)若“ xin P ”是“ x in Q ”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．

例4.（多选）（2021-2022学年吉林省长春市十一高中高一上学期中考试）下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）

A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四边形

C． exists xin R， 3x+2>0 ， D．至少有一个整数m ，使得 m^{2} < 1

例5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．

（1）有的质数是偶数；

（2）所有的质数都是奇数；

（3）负数的平方是正数；

（4）每一个多边形的外角和都是360°.

例6．(2019高考全国卷Ⅲ)已知集合A={-1,0,1,2} ，B={x| x^{2}leq 1 } ，则 Acap B =( )

A．{-1,0,1} B．{0,1} C．{-1,1} D．{0,1,2}

（2023.09.16定稿 hybase@http://qq.com）