此文章及補充內容有講座視頻：

(此講座的獨特性在於直觀形象地用基矢貫穿一切敘述。度規是基矢的標積，黎曼曲率分量反映一個基矢的二階導數不同求導次序的差異，克氏符是各基矢的各偏導的各分量。測地線(短程線)是某一坐標系中的某一坐標線，此線上保持長度不變的矢量皆為協變平移關系。)

下面是文章：

上圖中，圓錐面在 a 點有個水平方向的切線矢量 vec{A} ，現在要把它沿指定的曲線平行移動到 b 點。圓錐面是二維，在三維平直空間中，嚴格平行移動矢量 vec{A} 到 b 點後成為矢量 vec{B} ，矢量 vec{B} 不再是圓錐面的切矢量，不是圓錐上過 b 點的曲線的切線瞭。為瞭讓矢量平行移動後，繼續是圓錐的切矢量，需要做一個調整和改變，其中最小的調整和改變，是把 vec{A} 矢量在 b 點旋轉一個最小的角度倒下，重新成為圓錐的切矢量。如圖中藍色的 vec{C} 矢量。 成為切矢量，才能滿足圓錐面上的切方程(微分方程)。切矢量在高維平坦空間中做歐氏幾何的嚴格平行移動後再做最小的改變重新成為切矢量，叫做最小代換法則。最終結果，叫切矢量在曲面上沿某曲線的協變平行移動，可簡稱協變平移。當然，圖中是誇張的移動，嚴格來說，協變平行移動必須是微小的協變平行移動的積累，也就是說， a 與 b 點距離無窮小，做協變平移， c 與 b 點距離無窮小，再做協變平移，逐漸積累。如圖圓錐面上指向右的水平切矢量 vec{A} 沿水平曲線向右協變平移的結果，箭頭方向會逐漸朝下傾斜，這是必然的。

上圖，切矢量 vec{A} 指向左方，向右協變平移的結果，會逐漸變為傾斜指向上方(北極)。

圓錐局部可以看成平面，由切平面構成，圓錐面近似為棱錐面。其上 a 點切矢量 vec{A} 就是 a 點平面上的矢量，向右平移到鄰近的 b 點，按最小角度劃弧倒在 b 點平面上，與正投影到 b 點平面上，是一回事，因為 a 與 b 鄰近，倒下需要的角度非常小，按圓弧倒下與正投影，長度差別可以忽略。所以，協變平移保持矢量的長度不變。

從上兩圖可以看出，圓錐的高寬比越小(即圓錐的頂角越大)，矢量 vec{A} 向右做同樣距離的協變平移後，向下傾向的角度越大。圓錐的高寬比接近無窮大時(即圓錐的頂角為0時)，圓錐成為圓柱，其上的矢量向右做協變平移時，就不再往下或往上傾斜瞭。

豎直的圓柱上，水平向右的切矢量，沿圓錐上的水平曲線做協變平移，仍然保持水平方向，與曲線方向始終一致，這樣協變平移的特點，決定瞭走出的是一條短程線。

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上面三圖，平面彎曲成圓柱面或圓錐面，可以重新展開成平面，這叫可展曲面。可展曲面沒有內秉彎曲，因為平面圖紙上做的一切歐氏幾何證明，把紙彎曲後，紙上的人在足夠大的區域看來，這些證明仍然成立。三維空間看來，平面上的直線成瞭圓柱或圓錐面上的短程線。豎直圓柱上的短程線，要麼是水平的圓，要麼是豎直的直線，要麼是螺旋線，它們隨著圓柱面展開為平面後，都成為直線。對稱軸豎直的圓錐面上的短程線比較復雜，水平圓線不是短程線，所以其上的水平向右的切矢量沿水平圓線協變平移後，箭頭方向必會向下傾斜，不能再與水平圓線方向吻合。

上圖，有內秉彎曲的雙曲面，可以看成由不同高寬比的圓錐(棱錐)的局部構成。

上圖，球面，也可以看成由不同高寬比的圓錐面的局部構成。 球面上水平的赤道，在圓柱面上(高寬比為無窮大的圓錐面)。越往上(北極)，是高寬比越小的圓錐面(棱錐面)局部。

我們可以通過協變平移，來判斷有沒有內秉彎曲，以及內秉彎曲的程度：黎曼曲率。

我們已經知道瞭，曲面可以劃分為無窮小平面的銜接，有內秉彎曲的曲面則可以看做是不同高寬比的棱錐面銜接而成的。下面要做的事，是如圖：

(1) 我們把上圖相鄰的左邊的兩個基矢(定義見下)，即圖中左邊紅色的兩基矢，同時向右做協變平移，看看它們各自與右邊(藍色)的相鄰基矢，各有什麼差別，然後看這差別的差別。

(2) 我們再把上圖相鄰的下邊的兩個基矢，即圖中下方一紅一藍的兩基矢，同時向上做協變平移，看看它們各自與上邊的相鄰基矢，各有什麼差別，然後看這差別的差別。

(3) 最後，看上述兩“差別的差別”的差別。

這種差別的差別的差別，就反映瞭一定的內秉彎曲程度(黎曼曲率一個分量)。

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上圖，二維曲面上每點有兩個基矢量， vec{g_1} 與 vec{g_2} ，它們的方向各指向坐標線方向，例如 vec{g_1} 方向沿緯線， vec{g_2} 方向沿經線。基矢的長度，可以由緯度(沿水平轉角)和經度(從赤道到北極的轉角)以及球半徑決定，即球面上的此點按上述角度轉過一個微小單位角度時，沿緯線和經線劃過的長度。這樣，每個基矢的方向和長度就可以確定。

我們下面來看基矢沿不同方向(緯線或經線)的協變平移，看怎樣通過它判斷曲面是不是有內秉彎曲。相鄰的水平方向的兩個vec{g_1} 基矢，沿水平緯線協變平移。下面的 vec{g_1} 接近在赤道上，向右協變平移一個微小緯度單位後，向下傾斜度極小(為0)，與右邊的原有vec{g_1} 基矢的矢量差為0。也就是說， vec{g_1}_{;1}=0. 此式意思是，赤道上的 vec{g_1} 沿1方向(緯度方向)每移動一個微緯度單位的協變平移的改變量(叫 vec{g_1} 沿1方向的協變導數)，為0。此 vec{g_1}_{;1}=0 也是 vec{g_1} 沿1方向走出的是短程線的原因和條件。

而在赤道更上面的相鄰的、相距一個微經度的另一 vec{g_1} (長度較短)，做類似的向右協變平移，會有較大的向下(向赤道方向)的傾斜，即上面的 vec{g_1}_{;1} 不為0，而是向上指向北極(水平方向的基矢減去協變平移過來的朝下傾斜的矢量，矢量差朝上)。然後，上面的 vec{g_1}_{;1} 減去下面的 vec{g_1}_{;1} , 就是 vec{g_1}_{;1;2} . 因為上下的 vec{g_1} 隻相差一個微經度，所以是每經度(第2參數)發生的 vec{g_1}_{;1} 的矢量差，即， vec{g_1}_{;1;2} 是二次協變導數，它向上，指向北極。

我們類似地導出 vec{g_1}_{;2;1} , 看看與 vec{g_1}_{;1;2} 有沒有區別。即沿著不同路徑，兩次協變導數，有沒有差別。

得到 vec{g_1}_{;2;1} 的方法是，把兩個相鄰的都在赤道上的 vec{g_1} ，同時向上(即2方向)協變平行移動一個微單位經度，各自，與上面原有的 vec{g_1} 都有差別，變化率 vec{g_1}_{;2} ，都指向左方。然後看左邊的 vec{g_1}_{;2} 向右(沿1方向)做協變平移，結果會傾斜，指向北極，再用右邊原有的 vec{g_1}_{;2} 減，得到 vec{g_1}_{;2;1} ，方向向下，指向赤道。

結論： vec{g_1}_{;1;2} 向上指向北極， vec{g_1}_{;2;1} 向下指向赤道，所以：

vec{g_1}_{;1;2}-vec{g_1}_{;2;1} 不為0，是一個指向北極的矢量。

我們可以用基矢g1與g2來分解疊加這個矢量：

vec{g_1}_{;1;2}-vec{g_1}_{;2;1}=R^{1}_{112}vec{g_1}+R^{2}_{112}vec{g_2} .

註意： R^{2}_{112} 的右上標2不是某個平方的意思，而是指 R 帶有上標和下標，是為說明它是 vec{g_1}_{;1;2}-vec{g_1}_{;2;1} 在 vec{g_2} 方向的分量。

類似地，我們可以窮盡排列組合，找到各個 R^{m}_{ijk} . 隻要有一個不為0，就說明曲面有內秉彎曲。這些量叫做黎曼曲率的各分量。

我們可以把上述步驟，在圓柱或圓錐面上做，就知道瞭，由於同一圓錐面，上下兩個指向右側的水平方向矢量，向右平移後，傾斜度的改變是一樣的。由於類似這種原因，圓錐面、圓柱面，與平面一樣(可以試試平面極坐標系)，各 R^{m}_{ijk} 分量都為0。

下面看怎麼簡化計算黎曼曲率的各分量 R^{m}_{ijk} .

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如上圖，曲面上 M 點的一個基矢 vec{g_1} ，移動到曲面上的鄰點 N ，在高維平坦空間歐氏平行移動，這樣可能翹離曲面，與曲面切方程不合。 vec{g_1} 高維歐氏平移到N 點後，與 N 點原有的 vec{g_1} 有差別， deltavec{g_1} ，它不但有 N 點的 vec{g_1} 和 vec{g_2} 上的分量，還有高維分量，但由於曲面光滑(微分流形)， N 點與 M 點緊鄰，於是高維分量可以忽略。這等於 deltavec{g_1} 正投影到 N 點的切面上，然後僅僅有 vec{g_1} 與 vec{g_2} 上的分量瞭。這就是基矢的協變微分 Dvec{g_1} 。每單位移動的協變微分，就是協變導數 vec{g_1}_{;1} .

同樣我們可以有基矢的協變導數 vec{g_1}_{;2} ， vec{g_2}_{;1} 和 vec{g_2}_{;2} .

上面說瞭 vec{g_1}_{;1} 等等隻有 N 點的 vec{g_1} 與 vec{g_2} 方向上的分量，於是我們可以用 vec{g_1} 與 vec{g_2} 分解疊加它：

vec{g_1}_{;1} = Γ^1_{11}vec{g_1} + Γ^2_{11} vec{g_2} .

也就是說， vec{g_1}_{;1} 在 vec{g_1} 與 vec{g_2} 上的分量分別是 Γ^1_{11} 和 Γ^2_{11} ，它們叫做黎曼-克裡斯托弗符號，簡稱克氏符，也叫聯絡系數。它的下標指出是 vec{g_1} 沿1方向的協變導數，上標指出瞭它是這個協變導數在哪個基矢上的分量。

黎曼幾何假設 vec{g_i}_{;j}=vec{g_j}_{;i} ，於是有：

Γ^m_{ij}= Γ^m_{ji} , 即克氏符分量中兩個下標交換後，兩克氏符分量不變。

於是，我們可以用克氏符計算黎曼曲率。先看：

vec{g_i}_{;j;k}=(vec{g_i}_{;j})_{;k}=(Γ^1_{ij} vec{g_1} + Γ^2_{ij}vec{g_2})_{;k}

我們可以使用簡寫：

Γ^1_{ij}vec{g_1} + Γ^2_{ij} vec{g_2}= Γ^m_{ij}vec{g_m} ,

其中 m 在一項中的某上標和某下標各出現一次，那麼，就要把它看成 m 取各維度求和，這叫愛因斯坦求和約定。這時，把 m 換成其它字母不受影響(不要換成此項裡已有的字母)。

vec{g_i}_{;j;k}=(vec{g_i}_{;j})_{;k}= (Γ^m_{ij}vec{g_m})_{;k}

假設求協變導數中萊佈尼茲律成立，於是就有：

vec{g_i}_{;j;k} = (Γ^m_{ij,k}) vec{g_m} + Γ^m_{ij}(vec{g_m}_{;k}) ~\= (Γ^m_{ij,k}) vec{g_m} + Γ^m_{ij} (Γ^n_{mk} vec{g_n}) ,

把第二項裡上下各有一個的 m 換成 l ，再把 n 換成 m ，

vec{g_i}_{;j;k}= (Γ^m_{ij,k}) vec{g_m} + Γ^l_{ij}(Γ^m_{lk} vec{g_m}) = (Γ^m_{ij,k}+ Γ^l_{ij} Γ^m_{lk}) vec{g_m} ,

交換 j 與 k ，再兩式相減，得：

vec{g_i}_{;j;k}- vec{g_i}_{;k;j} = (Γ^m_{ij,k} + Γ^l_{ij}Γ^m_{lk}- Γ^m_{ik,j} - Γ^l_{ik}Γ^m_{lj}) vec{g_m} ,

於是，黎曼曲率

R^m_{ijk}= Γ^m_{ij,k} - Γ^m_{ik,j} + Γ^l_{ij}Γ^m_{lk} - Γ^l_{ik} Γ^l_{lj} .

最後，我們看看用基矢 vec{g_1} 與 vec{g_2} 的各標積的導數計算克氏符的方法。

(vec{g_i}·vec{g_j})_{;k} = (vec{g_i}_{;k}) · vec{g_j} + vec{g_i}· (vec{g_j}_{;k})~\ \ = Γ^m_{ik} vec{g_m}· vec{g_j}+ Γ^m_{jk} vec{g_m} · vec{g_i}

，

把標積 vec{g_i} ·vec{g_j} 可以簡寫為 g_{ij} ，等等，註意標積有交換律， g_{ij}=g_{ji} ，等等，於是有：

g_{ij,k} = Γ^m_{ik}g_{jm} + Γ^m_{jk} g_{im} ,

上式作為 (1) 式，交換 i 與 k 可以得到 (2) 式(註意克氏符的下標順序可以換)：

g_{kj,i} = Γ^m_{ik} g_{jm} + Γ^m_{ij}g_{km} ,

再將 (1) 式中的 j 與 k 互換，得到 (3) 式：

g_{ik,j} = Γ^m_{ij}g_{km} + Γ^m_{jk} g_{im} ,

然後， (1) 式加 (2) 式再減 (3) 式，得：

2Γ^m_{ik} g_{jm} = g_{ij,k} + g_{jk,i}- g_{ik,j} ,

左邊 g_{jm}是一矩陣，方程兩邊各從右乘以它的逆矩陣 g^{jm} ，得：

Γ^m_{ik} = frac{1}{2}(g_{ij,k} + g_{jk,i} - g_{ik,j}) g^{jm} ,

上式左邊克氏符 Γ^m_{ik} 有3個附標，每個附標可以取1和2進行可重復排列，二維時，它給出 2^3=8 個方程，求出8個克氏符(最多有4個是獨立的)。用到的隻是各基矢的各標積(包括自己與自己的標積以及相互標積)，標積矩陣的逆矩陣，標積的偏導數。

對於球面極坐標(經緯度)、平面極坐標的基矢，平面或立體解析幾何稍好的人，都可以求出，然後可求出各基矢的標積(包括自己與自己的標積)，這些標積是極坐標的函數，利用標積求出它們的偏導數，得到克氏符，最後求出曲率。

各基矢的標積，也是度規系數，因為求距離的標準公式中，也用它們做系數。知道具體距離公式，與知道度規，與知道各基矢的標積，與知道各基矢(在確定左手系還是右手系的情況下)，是一回事，包含同樣的信息。

最後，看看短程線。球面上，赤道和各經線等大圓是短程線。沿赤道上的基矢協變平移得到的協變導數：vec{g_1}_{;1}=0 ，說明赤道上的基矢沿赤道走出的是短程線。 其它緯線方向上的基矢 vec{g_1} ，沿緯線協變平移， vec{g_1}_{,1}neq 0 ，說明非赤道的、其它緯線不是短程線。各經線都是短程線，因為 vec{g_2}_{,2}=0 .

現在看看，如果不是經線或緯線方向的基矢呢？比如一個切矢量 vec{V} ，不是經線也不是緯線上的基矢，它能不能走出短程線？ 當然可以，因為我們知道，隻要它沿球面上的大圓協變平移就可以走出短程線。因為基矢和坐標線的設定，是人為的。我們總可以設 vec{V} 是一組新坐標線上的一個基矢 vec{V_τ} , 它依據新的參數 τ (可以類似於原來的緯度或經度角度參數)在新坐標線上移動。

它走出短程線的條件是：

vec{V_τ}_{; τ} = 0

矢量 vec{V} 即新基矢 vec{V_τ} 可以用老基矢(原緯線和經線方向的)分解疊加：

vec{V_τ}= v^1vec{g_1} + v^2vec{g_2} ,

簡寫為： vec{V_τ}= v^ivec{g_i} ,

其中 v^1 和 v^2 是 vec{V} 在老基矢 vec{g_1} 和 vec{g_2} 上的分量。

vec{V_τ} 沿新坐標線，隨著新坐標線上的新參數 τ 的變化而做協變平移：

vec{V_τ}_{; τ} = 0

而

vec{V_τ}_{;τ} = (v^i vec{g_i})_{; τ} ~\= frac{dv^i}{dτ}vec{g_i}+ v^i (vec{g_i}_{;τ}) ~\ = frac{dv^i}{dτ} vec{g_i} + v^i (vec{g_i}_{;j})frac{dx^j}{dτ} ~\ = frac{dv^j}{dτ}vec{g_j}+ v^i (Γ^m_{ij} vec{g_m}) frac{dx^j}{dτ}

,

上式第二項中，先把上下各有一個的 j 換成 k ，再把上下各有一個的 m 換成 j ，得：

vec{V_τ}_{;τ} = frac{dv^j}{dτ} vec{g_j} + v^i (Γ^j_{ik} vec{g_j}) frac{dx^k}{dτ} ,

而 vec{V_τ}_{;τ} 要等於0，就要有：

frac{dv^j}{dτ} + Γ^j_{ik} v^i frac{dx^k}{dτ} =0 ,

這就是曲面任意切矢量V沿自身做協變平移而走出一個短程線的方程。或：

v^j_{;k} = - Γ^j_{ik}v^i ,

此式左邊叫矢量 vec{V} 的坐標分量的協變偏導數。如果一個矢量的分量及其協變平行移動後的分量的協變偏導數總是滿足上面的方程，那麼此矢量就與一短程線相切並在此短程線上進行協變平移。

上圖，上半球，中間一水平向右的切基矢，沿短程線向右協變平行移動時，不斷向右下方傾斜，始終與短程線方向一致，沿短程線方向的協變導數為0。

後記：在斜交基矢的情況下，使用一套對偶基矢，對偶坐標，可以提前準備，簡化後來的計算。文章開頭的視頻講座裡，講瞭逆變與協變的對偶基矢和對偶坐標，以及張量概念。 (我一些其它知乎文章也初步介紹瞭張量概念)。

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關於張量：