學過高數的都知道，極限在高數的應用頻率是非常高的，而且是很多高數知識的基礎，求導、變限積分求極限、多重積分求極限等等均會用到

雖然是基礎，但是很多人在剛學習的時候就會直接被理論弄懵圈，因此就無法繼續再學習下去瞭，在此我利用瞭多年的高數輔導經歷，為大傢整理瞭最全的函數極限求解方法，覺得實用且滿意的話給個贊吧

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10月24日

一、文章開始之前先先介紹求解極限的幾個工具：

1、等價無窮小：

基本公式：

當xrightarrow0

x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ e^{x}-1 ~ ln(x+1)

1-cosxsimfrac{1}{2}x^{2}

(1+x)^{a}-1sim ax

延伸公式：

當Deltarightarrow0

Delta ~ sinDelta ~ tanDelta ~ arcsinDelta ~ arctanDelta ~ e^{Delta}-1 ~ ln(Delta+1)

1-cosDeltasimfrac{1}{2}Delta^{2}

(1+Delta)^{a}-1sim aDelta

2、泰勒公式

3、洛必達法則

當f(x)rightarrow0且g(x)rightarrow0或f(x)rightarrowinfty且g(x)rightarrowinfty時

limfrac{f(x)}{g(x)}=limfrac{f'(x)}{g'(x)}

二、以上幾個公式是必背公式，要求大傢一定要熟記，當然剛開始做題的時候可以先嘗試看著公式做，多做幾次再記下來就好瞭，下面就正式進入正題吧

首先呢，先看看解答函數極限的框架圖

函數極限一般來說分為以下幾種形式：

frac{0}{0} 、frac{infty}{infty}、1^{infty}、infty^{0}、infty-infty、0cdotinfty

以上的0代表的是無窮小，而不是實際真正的0；∞代表的是無窮大

1、 frac{0}{0}

該形式的極限解答方法一般涉及以下幾種：等價無窮小、洛必達法則、泰勒級數等

（1）等價無窮小

利用等價無窮小需記住以下幾點：

（a）當x→0時，x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx五個函數任意兩個之差均是x的無窮小

（b）題目中看到有e，第一反應往e^{Delta}-1simDelta 上靠

（c）題目中看到有ln，第一反應往 ln({Delta}+1)simDelta 上靠

（2）洛必達法則

當f(x)rightarrow0且g(x)rightarrow0

limfrac{f(x)}{g(x)}=limfrac{f'(x)}{g'(x)}

lim_{x rightarrow 0}{frac{1-cosx}{x^{2}}}=lim_{x rightarrow 0}{frac{sinx}{2x{}}}=lim_{x rightarrow 0}{frac{cosx}{2{}}}=frac{1}{2}

（3）泰勒級數

lim_{x rightarrow 0}frac{x-sinx}{x^{3}}=lim_{x rightarrow 0}{frac{x-(x-frac{x^{3}}{6})}{x^{3}}}=frac{1}{6}

劃重點：有的人看到這裡可能會說，sinx不是等價於x麼，為什麼不直接將sinx換成x，然後分子就變成瞭x-x=0，所以極限就等於0瞭

很負責任的告訴大傢這麼做是錯誤的，為什麼呢

因為在利用等價無窮小進行函數變換時一般是變換整個分子或者分母，而不能僅對加減法中的某一項進行替換

當然也有特例，就是可以對單項進行變換的，但是這是有前提的，前提是替換後的單項需將加減法進行拆開，拆開以後如果兩個式子的極限都存在，那麼是可以進行單項替換的，如果兩個式子極限不存在，那麼是不能進行單項替換的，看看下式：

lim_{x rightarrow 0}frac{x-sinx}{x^{3}}=lim_{x rightarrow 0}frac{x-x}{x^{3}}=lim_{x rightarrow 0}{frac{x}{x^{3}}}-lim_{x rightarrow 0}{frac{x}{x^{3}}}=infty-infty

如果對sinx進行變換，那需保證變換後的兩個單式的極限需要存在，但上式變換後明顯極限是不存在的，所以不能換

再看看可以換的例子：

lim_{x rightarrow 0}frac{x-sinx}{x}=lim_{x rightarrow 0}frac{x-x}{x}=lim_{x rightarrow 0}{frac{x}{x}}-lim_{x rightarrow 0}{frac{x}{x}}=1-1=0

該式子進行替換後單項的極限是1，是存在的，所以是可以進行替換的

2、 frac{infty}{infty}

該形式的極限解方法一般涉及兩種：分子分母同時除以分子分母的最高階，洛必達法則

（1）分子分母同時除以最高階

設P(x)，Q(x)分別為m和n階多項式方程，即

P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{m}x^{m}

Q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...+b_{n}x^{n}

則 lim_{x rightarrow infty}{frac{P(x)}{Q(x)}} ，當m>n時極限為∞；當n>m時極限為0；當m=n時，極限為 frac{a_{m}}{b_{n}}

例題：

lim_{x rightarrow infty}{frac{2x^{2}+1}{3x^{2}+x+2}}=lim_{x rightarrow infty}{frac{2+frac{1}{x^{2}}}{3+frac{1}{x}+frac{2}{x^{2}}}}=frac{2}{3}

（2）洛必達法則

當f(x)rightarrowinfty且g(x)rightarrowinfty時

limfrac{f(x)}{g(x)}=limfrac{f'(x)}{g'(x)}

例題：

lim_{x rightarrow infty}{frac{2x^{2}+1}{3x^{2}+x+2}}=lim_{x rightarrow infty}{frac{4x}{6x+1}}=lim_{x rightarrow infty}{frac{4}{6}}=frac{2}{3}

3、 1^{infty}

該形式會利用到一個重要極限，為：

lim_{x rightarrow 0}{(1+x)^{frac{1}{x}}}=e

該式子如何利用呢，具體如下：

設limf(x)=1且limg(x)=infty

limf(x)^{g(x)}=lim(1+f(x)-1)^{g(x)}

=e^{lim(f(x)-1)g(x)}

例題：

lim_{x rightarrow 0}{cosx^{frac{1}{x^{2}}}}=lim_{x rightarrow 0}{(1+cosx-1)^{frac{1}{x^{2}}}}=lim_{x rightarrow 0}{(1+cosx-1)^{frac{1}{cosx-1}frac{cosx-1}{x^{2}}}} =lim(1+f(x)-1)^{frac{1}{(f(x)-1}(f(x)-1)g(x)} =e^{lim_{x rightarrow 0}{frac{cosx-1}{x^{2}}}}=e^{frac{-1}{2}}

4、 infty^{0}

設limf(x)=infty且limg(x)=0

limf(x)^{g(x)}=e^{limg(x)lnf(x)}

5、 infty-infty

該形式主要利用兩種方法：分子分母有理化、通分

（1）分子分母有理化

lim_{x rightarrow infty}{sqrt{x+1}-sqrt{x}}=lim_{x rightarrow infty}{frac{(sqrt{x+1}-sqrt{x})(sqrt{x+1}+sqrt{x})}{sqrt{x+1}+sqrt{x}}} =lim_{x rightarrow infty}{frac{1}{sqrt{x+1}+sqrt{x}}}=0

（2）通分，通分的話很好理解，這裡就不做贅述

6、 0cdotinfty

該形式一般有兩種做法：

0cdotinfty=frac{0}{frac{1}{infty}}=frac{0}{0}和0cdotinfty=frac{infty}{frac{1}{0}}=frac{infty}{infty}

將該形式進行轉化，轉化成0比0或者無窮比無窮的形式，再利用1、2的方法進行解答

例題：

lim_{x rightarrow 0}{x}cdot lnx=lim_{x rightarrow 0}{frac{lnx}{frac{1}{x}}}=lim_{x rightarrow 0}frac{frac{1}{x}}{frac{-1}{x^{2}}}=0

註意：在函數極限的部分題目中會出現帶有未知數a,b的問題，這類問題需要註意以下兩點：

（1）0比0才有可能等於常數，如果是A比0則肯定為無窮大

（2）∞比∞才有可能等於常數，如果是A比∞則肯定為0

利用上述這兩個註意事項，可以判斷未知數的取值情況

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10月26日

今天繼續上次的內容繼續更新極限求解方法，首先看一道題：

例題1：

lim_{n rightarrow infty}frac{1}{n^{2}+1}+frac{2}{n^{2}+2}+frac{3}{n^{2}+3}+...+frac{n}{n^{2}+n}

上述這道題，很多同學拿到以後會直接懵掉，這麼多項式子相加，用上面講的知識點肯定是沒辦法進行解答的，那麼這道題該如何求解呢，且聽我進行講解：

首先像這種n個分項相加求極限的題目，一般是利用兩種方法進行解答：夾逼定理和定積分定理，首先看下兩個定理：

夾逼定理：

有三個函數f(x)，g(x)，h(x)，滿足g(x)<f(x)<h(x)

且 lim_{x rightarrow infty}{g(x)}=lim_{x rightarrow infty}{h(x)}=A ，則 lim_{x rightarrow infty}{f(x)}=A

定積分定理：

lim_{n rightarrow infty}sum_{i=1}^{n}frac{1}{n}f(frac{i}{n})=int_{0}^{1}f(x)dx

這兩個定理在求極限過程中適用的情況是不一樣的，有兩個判斷的原則：

（1）分別觀察分子和分母，看分子和分母的各個分項是否是同一階（註意：是分子分母分開看，而不是同時看，且1應該看成是0次方，而不是1次方）

比如 x^{2}+1 的兩個分項就不是同一階的，由比如 x^{2}+5^{2} 的兩個分項是同一階的

（2）確定（1）中的分子分母是同階後，再判斷分母是否比分子高一階，比如：

frac{x}{x^{2}+2^{2}} ，分子為一次方，而分母均為2次方

如果一道極限題目同時滿足以上兩個條件時，就可以利用定積分定理進行解答，如果兩個條件都不滿足，或者隻滿足一個條件，那麼這道題就應該利用夾逼定理來進行解答

兩種方法介紹完瞭，再回過頭看看上面那道題：

lim_{n rightarrow infty}frac{1}{n^{2}+1}+frac{2}{n^{2}+2}+frac{3}{n^{2}+3}+...+frac{n}{n^{2}+n}

(a)首先看下分子和分母的各個分項是否是同一階，分子為n，是一階的；分母含有兩個分項， n^{2}為二階，而n為1階

因此可以判斷出該極限不滿足分子和分母的各個分項同階的要求，那麼這道題所應用的解答方法應是夾逼法

夾逼法需要構造兩個函數，常見的構造方法是：保持分子不變，將每個分項的分子進行變化，針對g(x)，將各個分式的分母全部變成最後一個式子分式的分母（即分母為最大時的值）；針對h(x)，將各個分式的分母全部變成第一個式子分式的分母（即分母為最小時的值）

這道題的g(x)和h(x)分別如下：

g(x)=frac{1}{n^{2}+n}+frac{2}{n^{2}+n}+frac{3}{n^{2}+n}+...+frac{n}{n^{2}+n}

h(x)=frac{1}{n^{2}+1}+frac{2}{n^{2}+1}+frac{3}{n^{2}+1}+...+frac{n}{n^{2}+1}

這兩個式子的極限分別為：

（1）lim_{n rightarrow infty}g(x)=lim_{n rightarrow infty}frac{1}{n^{2}+n}+frac{2}{n^{2}+n}+frac{3}{n^{2}+n}+...+frac{n}{n^{2}+n}

=lim_{n rightarrow infty}frac{1+2+3+...+n}{n^{2}+n}=lim_{n rightarrow infty}frac{frac{1}{2}n(n+1)}{n^{2}+n}=frac{1}{2}

（2）lim_{n rightarrow infty}h(x)=lim_{n rightarrow infty}frac{1}{n^{2}+1}+frac{2}{n^{2}+1}+frac{3}{n^{2}+1}+...+frac{n}{n^{2}+1}

=lim_{n rightarrow infty}frac{1+2+3+...+n}{n^{2}+1}=lim_{n rightarrow infty}frac{frac{1}{2}n(n+1)}{n^{2}+1}=frac{1}{2}

因為 lim_{n rightarrow infty}{g(x)}=lim_{n rightarrow infty}{h(x)}=frac{1}{2} ，所以

lim_{n rightarrow infty}frac{1}{n^{2}+1}+frac{2}{n^{2}+2}+frac{3}{n^{2}+3}+...+frac{n}{n^{2}+n}=frac{1}{2}

再來看一道題

例題2

lim_{n rightarrow infty}frac{1}{n^{2}+1^{2}}+frac{2}{n^{2}+2^{2}}+frac{3}{n^{2}+3^{2}}+...+frac{n}{n^{2}+n^{2}}

剛看到這道題的時候相信大傢會覺得跟上面那道題是差不多的，那麼解題方法也應該是一樣的，實則不然，我們來分析分析一波：

(a)首先還是先看看下分子和分母的各個分項是否是同一階，分子為n，是一階的；分母含有兩個分項， n^{2}為二階， i^{2} 為2階（i=1,2,3...），分子分母各分項的階數均相同

(b)判斷分母是否比分子高一階，由（a）可知，分子為1階，分母為2階，滿足分母比分子高一階

通過以上兩個分析可以判斷出該極限的解答方法為定積分法，解法如下：

lim_{n rightarrow infty}frac{1}{n^{2}+1^{2}}+frac{2}{n^{2}+2^{2}}+frac{3}{n^{2}+3^{2}}+...+frac{n}{n^{2}+n^{2}}=lim_{n rightarrow infty}sum_{i=1}^{n}{frac{i}{n^{2}+i^{2}}}

=lim_{n rightarrow infty}sum_{i=1}^{n}frac{1}{n}{frac{frac{i}{n}}{1+frac{i^{2}}{n^{2}}}}=lim_{n rightarrow infty}sum_{i=1}^{n}frac{1}{n}f(frac{i}{n})=int_{0}^{1}f(x)dx=int_{0}^{1}frac{x}{1+x^{2}}=frac{1}{2}ln(1+x^{2})=frac{1}{2}ln2

對比例題1和例題2可發現雖然兩個式子相差無幾，但是解答的方法差別較大，因此在做這類題目的時候一定要提前對式子進行判斷，判斷是否符合上述（1）、（2）兩個條件，如果都符合則利用定積分定理解答，如果不符合則利用夾逼法進行解答

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10月27日

極限的求解的內容前兩天基本講得差不多瞭，今天講一下函數的左右極限吧，大傢在書上應該有看到這麼一句話，函數極限存在的充要條件是函數的左右極限同時存在且相等：

lim_{x rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)}=lim_{x rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)}=ALeftrightarrowlim_{x rightarrow x_{0}}{f(x)}=A

結合我們上面講的內容，可能會發現沒有涉及到左右極限的概念

這裡說明一下

概念是沒有的，上面講述的內容也是沒錯的，但實際做題過程中隻有特定的幾種形式需要考慮左右極限，這也是理論和實踐的區別，以下介紹幾種需要考慮左右極限的題型

1、分段函數

分段函數，即函數在不同區間內有著不同的表達式，如：

c4387f1b245112b11d4148788987cc64

在分段函數中求解一個函數的極限是否存在，是需要考慮左右的，來看一道題：

83017ad39bd9e015d4583bd5e81ca192

解答：

該函數是個分段函數，在解答極限時需要考慮左右

（1）左極限

lim_{x rightarrow 0^{-}}frac{sqrt{1+x}-sqrt{1-x}}{x}=lim_{x rightarrow 0^{-}}frac{(sqrt{1+x}-sqrt{1-x})(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})}{x(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})}

=lim_{x rightarrow 0^{-}}frac{1+x-(1-x)}{x(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})}==lim_{x rightarrow 0^{-}}frac{2x}{x(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})}=1

（2）右極限

lim_{x rightarrow 0^{+}}frac{ln(1+x)}{x}=lim_{x rightarrow 0^{+}}frac{x}{x}=1

因為lim_{x rightarrow 0^{-}}{f(x)}=lim_{x rightarrow 0^{+}}{f(x)} ，所以該題極限存在，且極限為1

2、題目中含有 a^{frac{1}{x-b}} 式子

為什麼上述式子需要考慮左右，分析一下：

（1）當 xrightarrow b^{+} 時，x-brightarrow 0^{+} 時， frac{1}{x-b}rightarrow+infty ，a^{frac{1}{x-b}}rightarrow +infty

（2）當 xrightarrow b^{-} 時，x-brightarrow 0^{-} 時， frac{1}{x-b}rightarrow-infty ，a^{frac{1}{x-b}}rightarrow 0

由上可知， a^{frac{1}{x-b}} 在 xrightarrow b 的左右極限不相等，因此含有該式子的題型需要考慮左右極限

解答：

當 xrightarrow 0^{-} 時，x-0rightarrow 0^{-} 時， frac{1}{x}，frac{2}{x}rightarrow-infty ，2^{frac{1}{x}}，2^{frac{2}{x}}rightarrow 0

當 xrightarrow 0^{+} 時，x-0rightarrow 0^{+} 時， frac{1}{x}，frac{2}{x}rightarrow+infty ，2^{frac{1}{x}}，2^{frac{2}{x}}rightarrow +infty

lim_{x rightarrow 0^{-}}f(x)=lim_{x rightarrow 0^{-}}frac{2^{frac{1}{x}}-1}{2^{frac{2}{x}}+1}=lim_{x rightarrow 0^{-}}frac{0-1}{0+1}=-1

lim_{x rightarrow 0^{+}}f(x)=lim_{x rightarrow 0^{+}}frac{2^{frac{1}{x}}-1}{2^{frac{2}{x}}+1}=lim_{x rightarrow 0^{+}}frac{1-2^{frac{-1}{x}}}{2^{frac{1}{x}}+2^{frac{-1}{x}}}=0

因為lim_{x rightarrow 0^{-}}{f(x)}nelim_{x rightarrow 0^{+}}{f(x)} ，所以該題極限不存在

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10月28日

極限部分涉及到的知識點比較多，大傢繼續往下看，今天帶來的是利用單調有界定理證明數列極限存在的內容

單調有界定理有兩種情況：

（1）數列單調遞增，且有上限，如下圖，該數列為單調遞增數列，且數列值恒小於0，則當n趨於無窮大時，數列會趨近於0

005c4c1cdca82a0580befb1d69e3cc42

（2）數列單調遞減，且有下限，如下圖，該數列為單調遞減數列，且數列值恒大於0，則當n趨於無窮大時，數列會趨近於0

上述兩張圖很好的詮釋瞭為什麼單調有界數列極限存在，下列來說下應用

單調有界數列有兩個性質：單調性和有界性，在實際操作中隻需要證明出數列具有單調性以及有界性，便可以證明出數列的極限存在，單調性和有界性的證明方法如下：

1、單調性

單調性的證明方法有兩種：

（1）直接相減

設數列為 a_{n} ，若 a_{n+1}-a_{n}>0(<0) ，則代表數列遞增（遞減）

解答：

a_{n+1}-a_{n}=frac{1}{n+1}-frac{1}{n}=-frac{1}{n(n+1)}<0 ，因此數列遞減

（2）利用導數求解

設 f(n)=a_{n} ，對 f(x) 求導，若 f’(x)>0(<0) ，曾數列遞增（遞減）

解答：

設 f(x)=frac{1}{x} ， f'(x)=-frac{1}{x^{2}}<0 ，所以遞減

（3）利用遞推公式求導

設 a_{n+1}=f(a_{n}) ，若 f’(x)>0 ，且a_{2}<a_{1}，則 a_{n} 為單調遞減數列

若 f’(x)>0 ，且a_{2}>a_{1}，則 a_{n} 為單調遞增數列

若 f’(x)>0 ，則 a_{n} 不是單調數列

2、有界性（ left| a_{n} right|leq M 或 a_{n}<M(>M) ）

有界性的證明一般是采用數學歸納法，步驟如下：

（1）當n=1時，證明 a_{1} 有界

（2）設n=k時， a_{k} 有界，這一步是假設，不需要證明

（3）當n=k+1時，證明 a_{k+1}有界

結合上述兩個點，來看道例題加深理解：

利用數學歸納法求解有界性時，可以根據題目條件先自己假定一個界 M

答：

先證單調性：

a_{n+1}=f(a_{n})=sqrt{2+a_{n}} ，即 f(x)=sqrt{2+x}

f'(x)=frac{1}{2sqrt{2+x}}>0 ，又 a_{2}=sqrt{2+sqrt{2}}>sqrt{2}=a_{1}

所以 a_{n} 為單調遞增數列

再證有界性：根據題意可知 a_{n}>0 ，有下界，並假定上界是2

（1）當n=1時，證明 a_{1}=sqrt{2}leq2

（2）設n=k時， a_{k}leq2

（3）當n=k+1時，a_{k+1}=sqrt{2+a_{k}}leqsqrt{2+2}=2

單調遞增且有上限，所以該數列極限存在

設 lim_{n rightarrow infty}{a_{n}}=A 帶入 lim_{n rightarrow infty}{a_{n+1}}=lim_{n rightarrow infty}{sqrt{2+a_{n}}}

可得 A=sqrt{2+A} ，解方程後可得到 A=2 或 A=-1 （排除）

因此可以得出答案 A=2

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極限內容基本結束，高數及概率論其他內容已開始更新：

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