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球面透鏡的種類

下面是六種單透鏡。雙凸或雙凹透鏡具有前後對稱的球面，最佳外形透鏡具有不同曲率的兩個球面，而彎月透鏡也分正負：正彎月是凸透鏡，兩邊薄中間厚；負彎月是凹透鏡，兩邊厚中間薄。

平凸透鏡

雙凸透鏡

平凹透鏡

雙凹透鏡

彎月透鏡

最佳外形

下面是三種復合透鏡。雙膠合透鏡由兩個不同材料的單透鏡粘在一起，而空氣隙雙合透鏡通過安裝件組合在一起。

雙膠合

空氣隙雙合

三膠合

透鏡的單色像差主要有五種。

球差的原因是邊緣光線和中心光線的焦距不同，因此兩種光線無法會聚在同一點。像散的原因是子午面和弧矢面的光線會聚點不同。彗差是指斜入射光線會聚時形成彗星拖尾狀的光斑，而不是圓形的艾裡斑。場曲是指理想像點在一個曲面而非平面上。畸變的原因是在視場范圍內有不同的垂軸放大率。

透鏡的色差由材料色散引起，這是由於不同波長在相同材料中的折射率不同，因此它們的焦距也會不同。

對於單色光源，球差通常是球面單透鏡無法達到衍射極限性能的主要因素。對於寬帶光源，色差通常是降低透鏡成像質量的主要因素。球差和色差都可通過選擇透鏡的形狀和組合去校正，下面詳細討論。

球差及其校正方法

在理想情況下，我們把透鏡看作薄透鏡，沒有厚度隻有焦距，因此所有平行光線都會聚在相同的焦點上。但在實際情況下，越往邊緣的光線的會聚點離透鏡越近，意味著透鏡沒有單一的焦點。這就是球差。

理想透鏡

球差形成

球差校正：最佳外形透鏡在設計最佳外形透鏡時，變量包括前後兩表面的不同曲率，而定量包括前後表面的距離、材料和波長，還可以有焦距和NA等等。軟件將據此優化而實現最小的會聚光斑。如下圖所示，在紅線和藍線的交點上，最小球差點和零彗差點幾乎重合，此時就找到瞭兩表面曲率的最佳配比，即最佳外形。

球差校正：非球面透鏡

在球面上疊加一系列偶次的高階曲面可將其優化為非球面。如左下圖所示，當r接近於0時，非球面和普通球面偏離很小，但往兩邊的偏離變大，使邊緣光線會聚點更靠近中心光線會聚點，從而實現衍射極限性能。

非球面透鏡非常適合需要小焦距(f)和大數值孔徑(NA)的應用，比如激光二極管準直和光纖耦合。

球差校正：透鏡組合

我們使用彎月透鏡。正彎月增大系統NA，負彎月減小系統NA。由於NA越大，球差可能越嚴重，因此我們希望在系統中使用負彎月透鏡減小NA並優化球差。

正彎月

減小焦距增大NA

正彎月

增大焦距減小NA

在下面的仿真結果中，對於相同的入射光，單個平凸透鏡的會聚光斑尺寸為240 μm，兩個平凸透鏡的會聚光斑尺寸為81 μm，而一個平凸加一個彎月透鏡則隻有21 μm。

一般而言，在上述三種方法中，從最佳外形到非球面透鏡再到透鏡組合，可優化的設計變量越來越多，而球差校正性能也是越來越好的。

註意事項一：在使用透鏡時，為瞭使球差達到最小，比較曲的一面應朝向準直光束，而比較平的一面應朝向發散或會聚光束。

註意事項二：在透鏡f數(焦距和光圈直徑之比)低於f/10時需要優化球差，考慮使用非球面或消色差透鏡。這是因為f數越小，焦距越小或光圈直徑越大，這意味著NA越大，因此邊緣光線占比增加而導致球差變嚴重。

色差及其校正方法

由於不同波長在相同材料中的折射率不同，因此不同波長通過單透鏡會有不同的焦距而引入色差。藍光焦距較短，而紅光焦距較長。

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N-BK7透鏡折射率

色差示意圖

校正色差隻能使用消色差透鏡，通過不同色散的材料疊加抵消部分色差，從而在整個應用光譜范圍內提供近似相等的焦距。評估消色差性能是看寬譜光的聚焦光斑大小。在下面的仿真結果中，單個平凸透鏡的聚焦光斑大小是147 μm，而消色差雙膠合透鏡隻有17 μm。

消色差透鏡還能改善單色光成像和離軸性能。性能評估可以看離軸和軸向光線會聚點的距離。在下面的仿真結果中，單個平凸透鏡對兩種光線會聚點的縱向距離為4.3 mm，而消色差雙膠合透鏡隻有700 μm，所以也能很好地改善球差。

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註意事項：對於激光等單色光應用，此時沒有色差問題，因此隻需考慮球差校正，而非球面透鏡可能是性價比最高的透鏡。

下表總結瞭各種透鏡的特性和應用，其中共軛比為物距和像距之比。

發散光準直和光纖耦合

為瞭計算光纖耦合透鏡或準直透鏡的焦距，我們有兩種方法。

第一種是幾何方法。比如，在準直激光二極管的發散光束時，如果已知發散角和準直光束直徑，那麼可用下式計算焦距並選擇合適的透鏡。

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第二種是高斯光束理論。比如，為瞭將一束準直光耦合到光纖中，或者反過來將光纖輸出的發散光變成準直光，如果已知準直光束直徑d和光纖模場直徑MFD，那麼可用下式計算焦距並選擇合適的透鏡。

其它類型的透鏡和應用

柱面透鏡隻從一個方向上使光束會聚或發散，因此可用於光束整形。比如，為瞭把橢圓光束變成圓形光束，可用兩個柱面透鏡搭成望遠鏡結構，使一個方向的光束直徑增加，兩透鏡焦距f₂比f₁應等於增加後的直徑比上之前的直徑。

柱面透鏡

光束整形

漸變折射率透鏡是一個圓柱體，折射率從中心向外圍呈二次曲線下降，使光以正弦曲線路徑通過透鏡。漸變折射率透鏡一般用於光纖準直或在顯微鏡中用於傳遞圖像。

錐透鏡也叫旋轉對稱棱鏡，由一個平面和一個錐面組成。如下圖所示，上半邊的光以角度β向下折射，而下半邊的光以角度β向上折射，因此可用光屏在較遠的地方接收到一個光環。如果後續用透鏡聚焦這個光環就能生成貝塞爾光束。這種光束具有很大的焦深，保證能量比較集中地傳輸，非常適合激光打孔等很多應用。

錐透鏡參數和光路示意圖

使用錐透鏡生成光環的裝置

微透鏡陣列中每個透鏡的直徑隻有150或300微米(Thorlabs熔融石英版本)。

微透鏡陣列

當平面波入射在微透鏡陣列上時，每個微透鏡都將起到會聚作用。如果用相機在焦平面上接收，聚焦光點陣將整齊地排列。但對於畸變波前，每個透鏡的聚焦點將出現偏移，就像下圖中的綠點和紅點，而相機可算出兩點的中心距離δy和偏移角度α。

波前傳感器原理圖

由於波前是三維的，我們要把α分成αx和αy兩個方向。如果在透鏡之間建立節點，每個節點用αx和αy連接起來，就能恢復出一張網，它圍成的包絡就是入射光的波面，即等相位面。這種由微透鏡和相機組成的設備，叫做波前傳感器。