mathcal{F} 在 {bm{Im}quad p>0} 区域的零点对应束缚态而它在 {bm{Im}quad p<0} 区域的零点可代表共振这一事实表明，在束缚态和共振之间应当有某种联系。本节我们的目标就是要建立这二者的联系。我们从重新引入可变耦合参数 lambda 并考虑哈密顿量 H=H^0+lambda V 的散射入手。之前我们已经证明过，在 p 为物理上的可能值是， Jost 函数在 p 点是解析的（在 {bm{Im}quad p<0} 的可能奇点除外），在这些区域 Jost 函数实际上是 lambda 和 p 的解析函数，记为 mathcal{F}(lambda,p) 。

现在我们假定对于某一实数 lambda_0 在上半平面和下半平面的边界上有一个 mathcal{F} 的零点：即在阈处的零点。我们将看到，如果改变 lambda ，零点就会发生移动，比如，如果改变 lambda 使位势具有更强的吸引作用，则零点就会向上移动到 {bm{Im}quad p>0} 的区域并且形成一个束缚态；如果使位势的吸引作用变得更弱，则零点就会向下移动到 {bm{Im}quad p<0} 区域，并且当 l>0 时形成一个共振态， l=0 的情况称为“虚态”。

当改变 lambda 时， mathcal{F} 的零点一定要移动，因为如果对于某一区间的 lambda ， Jost 函数保持固定，那么它对于所有的 lambda 都必须是固定的（因为 mathcal{F} 的解析的），这与一致的对于 lambda=0,mathcal{F}neq 0 的事实相矛盾。为了看出当 lambda 改变时零点如何移动，我们将 mathcal{F}(lambda,p) 分别在 lambda=lambda_0,p=0 处做双幂级数展开，即：

mathcal{F}(lambda,p)=sum_{n,m}a_{nm}p^m(lambda-lambda_0)^n

在之前对于Jost函数在阈处的特性的讨论中，我们得到了如下的关系：

mathcal{F}_0(p)=igamma_0p+O(p^2)

那么，对于 l=0 的情况，在阈处的零点是单的，并且对比我们的双幂级数，级数的最低项应该具有如下的形式

mathcal{F}(lambda,p)=ixi p+eta(lambda-lambda_0)+dots[l=0]

显然，当 lambda=lambda_0 时此式在 p=0 处有单零点，而对靠近 lambda_0 的 lambda ，在

bar{p}approx -frac{ieta}{xi}(lambda-lambda_0),[l=0]

处可找到同样的零点，就是说，当 lambda 变化通过 lambda_0 时，零点线性地移动到虚轴以下，如下图所示，对应于 E 的黎曼面上的零点的移动：

在上面的图中， s 波的 Jost 函数的零点最初是 {bm{Im}quad p>0} 区域的束缚态，当势减弱时，束缚态沿虚轴移动逐渐变为较弱的束缚态，直到 lambda=lambda_0 时，它便成为零能共振态。当我们继续减弱势，零点继续沿着虚轴移动，显然它不能总是在靠近实轴处，因此也就不会变成我们在上一节中讨论的共振。

s 波的 Jost 函数在负虚轴上的零点有时被认为是“虚态”，显然虚态不是正规的束缚态。它的物理意义是，在靠近阈处附近的虚态意味着 mathcal{F}(0) 很小，因而散射长度很大，所以靠近阈处的虚态在低能时会产生很大的截面，比如 n-p 单态的虚态。

现在我们考虑 l>0 的情况，我们已经知道

mathcal{F}_l(p)=beta_lp^2+O(p^4),[l>0]

所以我们可以发现，在这种情况下， Jost 函数在阈处的零点是二阶零点，与双幂级数对比可得：

mathcal{F}(lambda,p)=xi p^2+eta(lambda-lambda_0)+cdots[l>0]

当靠近 lambda_0 时有两个零点，分别在

bar{p}approxpm ibigg(frac{eta}{xi}bigg)^{1/2}(lambda-lambda_0)^{1/2},[l>0]

当 lambda 经过 lambda_0 时，这两个零点在原点重合并重新分离，如下图所示：

对双幂级数得严格验证表明，共振点的虚部来自 igamma p^{2l+1} ，因此它变为

bm{Im}quadbar{p}(resonace)propto(lambda-lambda_0)^l,[l>0]

此时，角动量越大，零点的路径越趋向于实轴，对应的共振峰也越尖锐。

这些低能共振的一个重要的性质时它们的背景相移 delta_{bg} 总是很小的，因此对应的截面总表现出非常纯粹的 Breit-Wigner 峰。为了理解这一点，我们可以回顾一下背景相移

delta_{bg}=-argbigg(frac{dmathcal{F}}{dE}bigg)_{bar{E}}

当零点是负实轴上的束缚态时， (dmathcal{F}/dE)_{bar{E}} 必须是实的。因为 (dmathcal{F}/dE)_{bar{E}} 是连续变化的，并且当零点在阈处时不为零，因此在零点刚通过阈处后其值主要是实的并且导致了共振态。换句话说，只要共振靠近阈处，背景相移 delta_{bg} 就很小。

现在我们回过头来看我在计算方势阱相移和截面时， l=3 的共振情况。我们的势阱给得太浅而不足以束缚住一个 l=3 的束缚态，所以在靠近阈处一定有一个 mathcal{F} 的共振零点。因为 mathcal{F} 的零点靠近阈处，所以它的背景相移很小而明显的表现为 sigma_3 的 Breit-Wigner 峰。我们现在来逐渐加深方势阱，可以发现共振点将一直向阈处靠近，当它到达阈处时，就变得更加地接近实轴并且表现出更尖锐地共振。最后，当势阱变得足够深时，共振将移到 {bm{Im}quad p>0} 区域而成为束缚态，正如第四张图，共振峰消失了。

(2ma^2V_0)^{1/2}=5.2(2ma^2V_0)^{1/2}=5.5(2ma^2V_0)^{1/2}=5.7(2ma^2V_0)^{1/2}=5.8

最后我们注意到,对于确定的系统，可能所有的共振态都属于上述的“近束缚态”型．在这种情况下，束缚态和共振态可以认为在本质上是相同的;两者都是 mathcal{F} 的零点(或 s 的极点)，唯一的区别是束缚态发生在 {bm{Im}quad p>0} 内而共振态发生在 {bm{Im}quad p<0} 内。然而仍然要强调的是，当然可能有更加复杂的系统，这些系统的共振态不对应 s 的极点，它们 s 的极点也不对应着共振态。