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创作于—-Dec 23, 2022

关于第一期与本系列篇幅专栏见如下链接。

前两期介绍的心形线与星形线分别属于外摆线与内摆线，这一期就介绍最后一种摆线。

如果对你有帮助，请不忘收藏、点赞或转发给身边需要帮助的同学。

三、摆线(Cycloid)

前两期谈到的曲线，都是一个动圆上固定一点P，然后在另一个定圆上滚动时形成的轨迹。其中，动圆在定圆外侧滚动时，点P形成的轨迹是外摆线；动圆在定圆内侧滚动时，点P形成的轨迹就是内摆线。

若动圆不再绕定圆两侧滚动，而让这个动圆在一条定直线上滚动时，那么动圆上的点P形成的轨迹就是这一期谈到的摆线。摆线也叫"圆滚线"，毕竟是一个圆在直线上滚动时，圆上的一个点形成的曲线。

摆线在物理学上也称为"最速降线"，这里就不过多讨论关于物理方面的细节，读者有兴趣可自行了解。

注：由于本人技术不到位的原因就未制作相应的GIF动图，若想了解部分曲线动图，见如下链接。

1.图像与表达式

1.1图像

图1

注：摆线图像以T=2πa为周期，这里就只展示θ在[0,2π]上的图像。

1.2表达式

参数方程：

displaystyleleft{ begin{array}{lc} x=a(theta-sintheta)/ y=a(1-costheta)/ end{array} right.(a>0)

注：只给出摆线的参数方程，至于其直角坐标与极坐标的表达式由于太复杂就没必要去讨论。且所有关于摆线的长度、面积……计算都用摆线的参数形式。

接下来，简单说一下摆线参数方程的推导。

第一步，将半径为a的动圆C放在B(0,a)处，然后在动圆C上涂一个点P，使P点与坐标原点重合。见图2所示。

图2

第二步，让这个圆C在x轴上往x的正半轴方向"滚动"，这时P点形成一簇轨迹，见图3所示。

图3

当动圆C滚动一周后，P点的轨迹就是θ在[0,2π]上的摆线。这里就选择好一个角度，对此进行分析。

图4

在图4中，记摆线的轨迹P为(x,y)，其中BP=BD=a。并且圆C在[0,2πa]上滚动时，恒有

left| OD right|=overset{LARGE{frown}}{PD}=atheta

那么很容易得到P点x、y的表达式。

displaystyle x=left| OE right|=left| OD right|-left| DE right|=atheta-asintheta

displaystyle y=left| PE right|=left| BD right|-left| BF right|=a-acostheta

于是，得到摆线方程

displaystyleleft{ begin{array}{lc} x=a(theta-sintheta)/ y=a(1-costheta)/ end{array} right.(a>0,thetain[0,2pi])

接下来，就用摆线的参数形式来解决关于摆线相关数据的求法。

注1：由于摆线以2πa为周期，以下关于摆线各种数据的计算，只考虑[0,2πa]上一拱的摆线。

注2：在计算整条曲线弧长、面积、旋转体积、旋转表面积之前优先考虑其对称性。

显然摆线在[0,2πa]上关于x=πa对称。

在计算前，先将华里士(Wallis)公式呈现给大家。

---

*NOTE→华里士公式：

Ⅰ、若 displaystyle I_{n}=int_{0}^{frac{pi}{2}}sin^nxdx=int_{0}^{frac{pi}{2}}cos^nxdx

a.当n为大于1的正奇数

displaystyle I_{n}=frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{4}{5}·frac{2}{3}·I_{1}(I_{1}=1)

或 displaystyle I_{n}=frac{(n-1)!!}{n!!}

b.当n为正偶数

displaystyle I_{n}=frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{3}{4}·frac{1}{2}·I_{0}(I_{0}=frac{pi}{2})

或 displaystyle I_{n}=frac{(n-1)!!}{n!!}· frac{pi}{2}

Ⅱ、若 displaystyle I_{n}=int_{0}^{pi}sin^nxdx

c.当n为大于1的正奇数

displaystyle I_{n}=2·frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{4}{5}·frac{2}{3}·I_{1}(I_{1}=1)

或 displaystyle I_{n}=2·frac{(n-1)!!}{n!!}

d.当n为正偶数

displaystyle I_{n}=2·frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{3}{4}·frac{1}{2}·I_{0}(I_{0}=frac{pi}{2})

或 displaystyle I_{n}=2·frac{(n-1)!!}{n!!}· frac{pi}{2}

displaystyle=frac{(n-1)!!}{n!!}·pi

Ⅲ、若 displaystyle I_{n}=int_{0}^{pi}cos^nxdx

e.当n为正奇数： displaystyle I_{n}=0

f.当n为正偶数

displaystyle I_{n}=2·frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{3}{4}·frac{1}{2}·I_{0}(I_{0}=frac{pi}{2})

或 displaystyle I_{n}=2·frac{(n-1)!!}{n!!}· frac{pi}{2}

displaystyle=frac{(n-1)!!}{n!!}·pi

Ⅳ、 displaystyle I_{n}=int_{0}^{2pi}sin^nxdx=int_{0}^{2pi}cos^nxdx

g.当n为正奇数： displaystyle I_{n}=0

h.当n为正偶数

displaystyle I_{n}=4·frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{3}{4}·frac{1}{2}·I_{0}(I_{0}=frac{pi}{2})

或 displaystyle I_{n}=4·frac{(n-1)!!}{n!!}· frac{pi}{2}

displaystyle=frac{(n-1)!!}{n!!}·2pi

---

2.弧长

记弧长为L，其中

displaystyleleft{ begin{array}{lc} x'=a(1-costheta)/ y'=asintheta/ end{array} right.(a>0,thetain[0,2pi])

displaystyle L=2cdot int_{0}^{pi a}sqrt{1+(y')^2}dx

displaystyle =2cdot int_{0}^{pi }sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle =2cdot int_{0}^{pi }sqrt{[a(1-costheta)]^2+[asintheta]^2}dtheta

displaystyle =2sqrt{2}aint_{0}^{pi }sqrt{1-costheta}dtheta

displaystyle =4aint_{0}^{pi }sqrt{sin^2{frac{theta}{2}}}dtheta

displaystyle =4aint_{0}^{pi }left| sin{frac{theta}{2}} right|dtheta

displaystyle =8aint_{0}^{pi }sin{frac{theta}{2}}d(frac{theta}{2})

=8a

于是得到摆线一拱的长度为8a，是图2中动圆C半径的8倍，而不是关于π的无理数。

3.面积

对于图1的摆线，当然考虑的是计算[0,2πa]上一拱封闭图形的面积，见图5所示。

图5

记面积为A，按照对称性，

displaystyle A=2int_{0}^{pi a}y(x)dx

displaystyle=2int_{0}^{pi}y(theta)x'(theta)dtheta

displaystyle =2int_{0}^{pi}[a(1-costheta)][a(1-costheta)]dtheta

displaystyle =2a^2int_{0}^{pi}(1-costheta)^2dtheta

displaystyle =2a^2int_{0}^{pi}(1+cos^2theta-2costheta)dtheta

displaystyle =2a^2(pi+2cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2}+0)

displaystyle =3pi a^2

因此一拱的摆线与x轴围成的面积为3πa²，是图2中动圆C面积的3倍。

4.旋转体积

这里考虑图5中阴影部分的区域D绕x轴、y轴旋转产生的图形体积，分两种情况讨论。

还是老规矩，先看摆线通过旋转形成的图像。

图6

若是绕y轴形成的图形，见图7所示。

图7

注：红色为x轴，绿色为y轴，蓝色为z轴。

4.1情况一

记图5区域D绕x轴旋转一周形成的图形体积为Vx，则

displaystyle V_{x}=2cdot piint_{0}^{pi a}y^2(x)dx

displaystyle =2piint_{0}^{pi}y^2(theta)cdot x'(theta)dtheta

displaystyle =2piint_{0}^{pi}[a(1-costheta)]^2cdot a(1-costheta)dtheta

displaystyle =2pi a^3int_{0}^{pi}(1-costheta)^3dtheta

displaystyle =2pi a^3int_{0}^{pi}(1-3costheta+3cos^2theta-cos^3theta)dtheta

displaystyle =2pi a^3(pi-0+3cdot2cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2}-0)

displaystyle =5pi^2a^3

4.2情况二

记图5区域D绕y轴旋转一周形成的图形体积为Vy

①法一：割补法

图8

在图8中，

记区域OHGAO绕y轴旋转一周形成的体积为V1；

记区域OHGO绕y轴旋转一周形成的体积为V2。

那么V1-V2，就是图5区域D绕y轴一周形成的体积。

displaystyle V_{1}=piint_{0}^{2a}x_{2}^{2}(y)dy

displaystyle=piint_{2pi}^{pi}x^2(theta)cdot y'(theta)dtheta

displaystyle =piint_{2pi}^{pi}[a(theta-sintheta)]^2cdot asintheta dtheta

displaystyle =pi a^3int_{2pi}^{pi}(theta-sintheta)^2cdot sintheta dtheta

displaystyle V_{2}=piint_{0}^{2a}x_{1}^{2}(y)dy

displaystyle =piint_{0}^{pi}x^2(theta)cdot y'(theta)dtheta

displaystyle =piint_{0}^{pi}[a(theta-sintheta)]^2cdot asintheta dtheta

displaystyle =pi a^3int_{0}^{pi}(theta-sintheta)^2cdot sintheta dtheta

therefore V_{y}=V_{1}-V_{2}

displaystyle =pi a^3int_{2pi}^{0}(theta-sintheta)^2cdot sintheta dtheta

displaystyle =(-pi a^3)int_{0}^{2pi}(theta-sintheta)^2cdot sintheta dtheta

displaystyle =pi a^3int_{0}^{2pi}(2theta sin^2theta-theta ^2sintheta-sin^3theta)dtheta

displaystyle =pi a^3[2int_{0}^{2pi}theta sin^2theta dtheta-int_{0}^{2pi}theta^2sintheta dtheta-int_{0}^{2pi}sin^3theta dtheta]

displaystyle =pi a^3[2int_{0}^{2pi}theta sin^2theta dtheta-int_{0}^{2pi}theta^2sintheta dtheta]

displaystyle =pi a^3[2I_{1}-I_{2}]

其中，

displaystyle I_{1}=int_{0}^{2pi}theta sin^2theta dtheta

displaystyle=int_{-pi}^{pi}(theta+pi) sin^2(theta+pi) dtheta

displaystyle=int_{-pi}^{pi}(theta+pi) sin^2theta dtheta

displaystyle=int_{-pi}^{pi}theta sin^2theta dtheta+2piint_{0}^{pi}sin^2theta dtheta

displaystyle =0+2picdot 2cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2}=pi^2

displaystyle I_{2}=int_{0}^{2pi}theta^2sintheta dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}(theta+pi)^2sin(theta+pi) dtheta

displaystyle =-int_{-pi}^{pi}(theta^2+pi^2+2pi theta)sintheta dtheta

displaystyle =-[int_{-pi}^{pi}theta^2sintheta dtheta+pi^2int_{-pi}^{pi}sintheta dtheta+2piint_{-pi}^{pi}theta sintheta dtheta]

displaystyle =-4piint_{0}^{pi}theta sintheta dtheta=4piint_{0}^{pi}theta d(costheta)

displaystyle=4pi(thetacostheta vert_{theta=0}^{theta=pi}-int_{0}^{pi}costheta dtheta)

displaystyle =-4pi^2

displaystyle therefore V_{y}=pi a^3[2pi^2-(-4pi^2)]=6pi^3a^3

注1：在计算V1与V2时，要注意θ上下限的问题。虽然二者在直角坐标系中都是从0到2a上积分，但两个积分的参数θ的上下限却截然不同，望读者好好品味此细节。

注2：在计算V2定积分，运用了华里士公式、定积分区间平移公式。

---

*NOTE→定积分区间平移公式：

简单来说就是，定积分上下限同时加或减多少，那么被积函数中对应的变量则反向加或减多少。

可能说得有点拗口，用公式表示为：

displaystyle int_{a}^{b}f(x)dx=int_{apm t}^{bpm t}f(xmp t)dx,tin R

这个公式理解起来也很简单，大家在草稿纸上比划比划就能明白。稍微比这个复杂一点的，就应该是区间再现公式。相信很多读者在大学期间学过区间再现公式了，那么对于区间平移公式，也不算太难理解。

其实，由区间平移公式再加上变量的负变换，就可以由区间平移实现区间再现。

displaystyle int_{a}^{b}f(x)dx=int_{0}^{b-a}f(x+a)dx

displaystyle =int_{-b}^{-a}f(a+b+x)dx

displaystyle =int_{a}^{b}f(a+b-t)dt(令x=-t)

---

这里就不再过多介绍区间再现公式的应用。回到刚才的话题，一般什么情况下会用到区间平移这一公式？

答：一般在计算定积分的过程中，若被积函数比较复杂，用了区间平移公式后，首先满足积分上下限在对称区间中；然后被积函数能拆开的若干子函数在对称区间里面具有奇偶性；并且若干子函数的定积分能通过奇偶性或其它方法得出其积分值。

举个例子，计算 displaystyle int_{0}^{6}x ^2sqrt{6x-x^2}dx

由区间平移公式得，

displaystyle I=int_{-3}^{3}(x+3)^2sqrt{6(x+3)-(x+3)^2}dx

displaystyle =int_{-3}^{3}(x^2+6x+9)sqrt{9-x^2}dx

运用公式后，发现 sqrt{9-x^2} 在[-3,3]这个对称区间中是偶函数，前面平方项打开后有x²、6x、9三项，然后此三项与根号项偶函数相乘形成被积函数的三个子函数。显然这三个子函数能通过奇偶性或其它简便方法得出积分值。例如，6x是奇函数，与后面的根号项偶函数相乘后形成的子函数在对称区间中是奇函数，于是这个子函数在对称区间的积分为0。因此，

displaystyle I=int_{-3}^{3}(x^2+9)sqrt{9-x^2}dx

然后剩下的两个子函数，都可以通过换元与定积分的几何意义算出其值。

除了这个例子外，也常用于被积函数是一个多项式与正余弦函数相乘的定积分计算中。比如上述在计算Vy时，出现的I1与I2两个定积分。

这里就不再过多去阐述，详细过程都展示在计算Vy的过程之中。

②法二：柱壳法

displaystyle V_{y}=2piint_{0}^{2pi a}xleft| y(x) right|dx

displaystyle=2piint_{0}^{2pi }x(theta)left| y(theta) right|x'(theta)dtheta

displaystyle=2piint_{0}^{2pi }a(theta-sintheta)left| a(1-costheta) right|a(1-costheta)dtheta

displaystyle=2pi a^3int_{0}^{2pi }(theta-sintheta)(1-costheta)^2dtheta

displaystyle=2pi a^3int_{0}^{2pi }(theta+theta cos^2theta-2theta costheta-sintheta-sintheta cos^2theta+sin2theta)dtheta

displaystyle=2pi a^3int_{0}^{2pi }(theta+theta cos^2theta-2theta costheta)dtheta

displaystyle=2pi a^3(2pi^2+int_{0}^{2pi}theta cos^2theta dtheta-2int_{0}^{2pi}theta costheta dtheta)

displaystyle=2pi a^3(2pi^2+I_{2}-2I_{1})

其中，

I_{1}=displaystyleint_{0}^{2pi}theta costheta dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}(theta+pi)cos(theta+pi)dtheta

displaystyle=-int_{-pi}^{pi}(theta+pi)costheta dtheta

displaystyle=-int_{-pi}^{pi}theta costheta dtheta-2piint_{0}^{pi}costheta dtheta

=0

displaystyle I_{2}=int_{0}^{2pi}theta cos^2theta dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}(theta+pi)cos^2(theta+pi)dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}(theta+pi)cos^2theta dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}theta cos^2theta dtheta+2piint_{0}^{pi}cos^2theta dtheta

displaystyle =2picdot2cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2}=pi^2

displaystyle therefore V_{y}=2pi a^3(2pi^2+pi^2-0)=6pi^3a^3

5.旋转表面积

这里还是得分两种情况讨论

5.1情况一

记图5区域D绕x轴旋转一周形成的图形表面积为Sx，则

displaystyle S_{x}=2cdot2piint_{0}^{pi a}left| y(x) right|sqrt{1+[y'(x)]^2}dx

displaystyle=4piint_{0}^{pi }left| y(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=4piint_{0}^{pi }left| a(1-costheta) right|sqrt{[a(1-costheta)]^2+[asintheta]^2}dtheta

displaystyle=4sqrt{2}pi a^2int_{0}^{pi }(1-costheta)sqrt{1-costheta}dtheta

displaystyle=4sqrt{2}pi a^2int_{0}^{pi }2sin^2frac{theta}{2}cdot sqrt{2}left| sinfrac{theta}{2} right|dtheta

displaystyle=16pi a^2int_{0}^{pi }sin^3frac{theta}{2}dtheta

displaystyle=32pi a^2int_{0}^{frac{pi}{2} }sin^3udu

displaystyle=frac{64pi}{3}a^2

5.2情况二

[0,2πa]上的摆线绕y轴旋转一周形成的图形的表面积情况较复杂，得分成两部分去计算。

事实上，只需要一步计算。但这里分成两部分只是为了说明一个细节问题。

图9

第一部分： displaystyle thetain[0,pi]，表面积为S1，

在图9中为蓝色部分。

第二部分： displaystyle thetain[pi,2pi] ，表面积为S2，

在图9中为红色部分。

displaystyle S_{1}=2piint_{0}^{2a}left| x_{1}(y) right|sqrt{1+[x_{1}'(y)]^2}dy

displaystyle=2piint_{0}^{pi}left| x(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=2piint_{0}^{pi}left| a(theta-sintheta) right|sqrt{[a(1-costheta)]^2+[asintheta]^2}dtheta

displaystyle=2sqrt{2}pi a^2int_{0}^{pi}(theta-sintheta)sqrt{1-costheta}dtheta

displaystyle=4pi a^2int_{0}^{pi}(theta-sintheta)left| sinfrac{theta}{2} right|dtheta

displaystyle=4pi a^2int_{0}^{pi}(theta-sintheta) sinfrac{theta}{2}dtheta

displaystyle=4pi a^2(4-frac{4}{3})

displaystyle =frac{32pi}{3}a^2

这里重点说一下S2计算方面的问题，若直接用参数形式求表面积会导致出错，即

displaystyle S_{2}=2piint_{0}^{2a}left| x_{2}(y) right|sqrt{1+[x_{2}'(y)]^2}dy

displaystyle=2piint_{2pi}^{pi}left| x(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=…

displaystyle=4pi a^2int_{2pi}^{pi}(theta-sintheta)left| sinfrac{theta}{2} right|dtheta<0

为什么算出来是小于0呢？其实也不难理解，大家发现没有，在计算旋转表面积时，表达式中有弧微分的形式在被积函数中。因此，不管积分区间从几到几，必须保证弧微分恒大于0。在摆线参数形式中，当θ增大时，摆线的弧长也随着θ的变大而变长，此时弧微分大于0；而S2第一个等号后积分区间为[0,2a]，对应的参数θ则从2π到π，与弧长变长背道而驰，此时弧微分小于0。因此，算S2积分时得在前面加个负号。

可能说得比较模棱两可，实在不理解的话，直接用"微元法"即可。还是拿计算S2为例，

第一步，首先将参数θ从π到2π的摆线L任意分成若干小段，见图10所示。

图10

第二步，选取其中的一段作为研究对象，让这一小段弧绕y轴旋转一周，见图11。

图11

在这段弧上，再任意选取一点A，记点A到y轴的距离为h=|AB|=x₂(y)。

记这段弧长为s，于是可近似认为这段弧的旋转表面积为，

Delta Sapprox 2pi hcdot s

第三步，当这段弧足够小时，见图12。

图12

我们就认为这弧上的任意点到y轴的距离可由h=|AB|所代替。把这足够小段的弧长记为ds，那么就得到其绕y轴旋转图形的面积元素，

dS=2pi hcdot ds

于是，图10的曲线L绕y轴旋转的表面积为，

displaystyle S=intlimits_L 2pi h mathrm{ds}=intlimits_L 2pi x _{2}(y)mathrm{ds}

其中h表示曲线L上的点到旋转轴(y轴)的距离，ds是弧长元素。于是，将此例推广到一般情况。

设一曲线y=f(x)，x∈[a,b]，若曲线绕直线L旋转一周，则形成的图形表面积为

displaystyle S=intlimits_L 2pi h mathrm{ds}=intlimits_L 2pi h mathrm{sqrt{1+(y')^2}}dx

特别地，当L的直线方程为Ax+By+C=0，则

displaystyle h=frac{|Ax+By+C|}{sqrt{A^2+B^2}}

若直线L是x轴，则h=|y|=|f(x)|;

这就说明曲线的旋转表面积是由第一型曲线积分得到的，而第一型曲线积分与方向无关。还是回到刚才那个话题，在图10中，计算参数θ从[π,2π]的摆线L绕y轴旋转的表面积S2，是考虑摆线L长度上的积分，即弧长元素ds，而长度不会因方向变化而改变。因此不管从A到B还是从B到A，弧长元素ds都必须大于0。

于是，

displaystyle S_{2}=2piint_{pi}^{2pi}left| x(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=……

displaystyle=4pi a^2int_{pi}^{2pi}(theta-sintheta)left| sinfrac{theta}{2} right|dtheta

displaystyle=4pi a^2int_{pi}^{2pi}(theta-sintheta) sinfrac{theta}{2}dtheta

displaystyle=4pi a^2(4pi-frac{8}{3})

displaystyle therefore S_{y}=S_{1}+S_{2}=16pi^2a^2

事实上，计算旋转表面积Sy，就是在计算曲线积分displaystyleintlimits_L 2pi x mathrm{ds}

其中L为图1中摆线相应于θ从0到2π的一段弧。

displaystyle S_{y}=intlimits_L 2pi x mathrm{ds}

displaystyle=2piint_{0}^{2pi}left| x(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=4pi a^2int_{0}^{2pi}(theta-sintheta) sinfrac{theta}{2}dtheta

=16pi^2a^2

6.形心

这里考虑图5中区域D的形心。关于形心的相关知识前两期已经介绍过了，这里不再过多阐述。

首先图5中区域D关于x=πa对称，于是 bar{x}=pi a

displaystyle A_{D}=3pi a^2

为了得出bar{y}, 这里就要计算displaystyle iintlimits_{D} y mathrm{dxdy}，其中

displaystyle D=left{ (x,y)|x=a(theta-sintheta),y=a(1-costheta),thetain[0,2pi]right}

displaystyle I= iintlimits_{D} y mathrm{dxdy}

displaystyle=int_{0}^{2pi a}dxint_{0}^{y(x)}ydy

displaystyle=frac{1}{2}int_{0}^{2pi a}y^{2}(x)dx

displaystyle=frac{1}{2}int_{0}^{2pi }y^{2}(theta)x'(theta)dtheta

displaystyle=frac{1}{2}int_{0}^{2pi}a^3(1-costheta)^3dtheta

displaystyle=frac{a^3}{2}int_{0}^{2pi}(1-3costheta+3cos^2 theta-cos^3theta)dtheta

displaystyle=frac{a^3}{2}(2pi+3cdot4cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2})

displaystyle =frac{5pi}{2}a^3

displaystyle thereforebar{y}=frac{ iintlimits_{D} y mathrm{dxdy}}{A_{D}}=frac{5a}{6}

因此，图5中摆线在[0,2πa]一拱的区域D形心为

displaystyle (pi a,frac{5a}{6})

7.总结

到这里，有关摆线的相关数据就整理至此。至此，关于高等数学常用的三种摆线就全部介绍完毕。

从第一期到第三期篇幅中，大多数曲线的计算都结合了华里士公式，望读者将华里士公式铭记于心，熟用于题。

至于"内容概要"中提到的常用曲线，若还有关于曲线的其它性质，请广大网友在评论区留言，本人看到后会选择性对文章进行补充。

望网友补充的曲线性质与曲线的相关数据尽量与考研数学方面相关。

由于篇幅过长，本系列将分成若干篇幅去汇总。

文中若有错误的地方，恳请广大读者、网友们在评论区指正，在下表示万分感谢。

In The End.

Thanks for reading!