下面将介绍一种求与数列和式的同阶参考式的方法：Euler—Maclaurin 公式，以此来替代数列中的积分裂项法。注意，此章为拓展内容，高考不会出现，如果您不需要那么此处就可以直接跳过了。

各位读者不妨先来了解一下什么是 Euler—Maclaurin 公式（推导繁杂且超纲，从略）：

sum_{k=a}^{b} f(k)=int_{a}^{b} f(t) d t+int_{a}^{b}(t-[t]) f^{prime}(t) d t=f(x)([x]-x)-f(y)([y]-y)

此为广义的 Euler—Maclaurin 公式，与高斯取整函数 [x] 有关。但是这个形式用于分析数列是没有因地（灵）制宜（魂）的，所以我们用点方法导出了如下余项的 Euler—Maclaurin 公式：

若 f(x) 在 [a, b](a, b in N) 上连续且 2 s-1 次次（ s geq 1 ）可微，那么级数 sum_{k=a}^{b} f(k) 可被表征为：

sum_{k=a}^{b} f(k) sim int_{a}^{b} f(x) d x+frac{f(a)+f(b)}{2}+sum_{s=1}^{infty} frac{B_{2 s}left[f^{2 s-1}(b)-f^{2 s-1}(a)right]}{(2 s) !}

其中 sum_{s=1}^{infty} frac{B_{2 s}left[f^{2 s-1}(b)-f^{2 s-1}(a)right]}{(2 s) !} 为此 Euler—Maclaurin 公式的伯努利余项，Euler—Maclaurin公式原本的伯努利余项经过递推公式和分部积分后，分解出的结果即是此处公式中的 frac{f(a)+f(b)}{2}

公式中的 f^{2 s-1}(x) 指 2 s-1 阶导数。这个公式之所以适用于我们这里，是因为伯努利数 B_{2 s} 有数值表，且最关键的是伯努利余项舍弃任意高阶的余项和之后，结果仍然与级数 sum_{k=a}^{b} f(k) 同阶。

说了大堆抽象话，那么现在我们来看一些实际点的，先说下伯努利数的定义： sum_{s=0}^{infty} frac{B_{s}(x)}{s !} t^{s}=frac{t e^{t x}}{e^{t}-1} ，这个应该对大家没啥用，所以下面来说下伯努利数B_{2 s}的数值表： B_{0}=1, B_{1}=-frac{1}{2}, B_{2}=frac{1}{6}, B_{4}=-frac{1}{30}, B_{6}=frac{1}{42}, B_{8}=-frac{1}{30}, B_{2 t+1}=0(t geq 1)

除了 1 之外，奇数次的伯努利数均为 0，偶数的一般最高用到 4（大学竞赛），更高次的用不上。

那么，关键是这个东西到底怎么在高中数列里发挥用处呢？其实 Euler—Maclaurin 公式是积分的加强版，也就是说能分割面积求积分做的题目，用 Euler—Maclaurin 公式也可以做。另外如果我们想去找到一个数列的一种最佳拟合形式，那 Euler—Maclaurin 公式将会有巨大的作用。

下面来看一道经典问题，证明： sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}>ln n+frac{1}{2 n}+frac{1}{2}

左边我们都知道是个调和级数，那么右边呢？相信不少读者都知道，欧拉常数 gamma 的定义是： gamma=lim _{n rightarrow infty}left[sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}-ln nright] approx 0.57721 ，如果我们对 sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}>ln n+frac{1}{2 n}+frac{1}{2} 两侧取极限，那么得到： lim _{n rightarrow infty}left[sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}-ln nright]=gamma>lim _{n rightarrow infty}left(frac{1}{2 n}+frac{1}{2}right)=0.5 ，把欧拉常数估计到了 0.5，还是比较合理的结论。

现在来讲述一下 sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}>ln n+frac{1}{2 n}+frac{1}{2} 的证明方法，第一种就是我们熟悉的积分法了：

我们把 y=frac{1}{x} 的图像用一个矩形划为两部分，曲线下方的是实际面积，即牛顿——莱布尼兹公式算出来的面积。现在在每隔 1 个单位点的地方（即 x=1,2,3 ldots ）分别取点，然后两两连接，曲线上方会形成一个图形，这个图形和曲线下方的图形构成了一个梯形。

现在我们打算用梯形的面积和牛顿——莱布尼兹公式算出来的面积比较。可以看到随着 x 增大，上方划出来的面积越来越小，梯形的面积也会越来越接近牛顿——莱布尼兹公式算出来的面积。现在计算所有梯形的面积是： S_{1}=frac{left(1+frac{1}{2}right) cdot(2-1)}{2}+frac{left(frac{1}{2}+frac{1}{3}right) cdot(3-2)}{2}+cdots+frac{left(frac{1}{n-1}+frac{1}{n}right) cdot(n-n+1)}{2}

牛顿——莱布尼兹公式算出来的面积是： S_{2}=int_{1}^{2} frac{1}{x} d x+int_{2}^{3} frac{1}{x} d x+cdots+int_{n-1}^{n} frac{1}{x} d x=ln n

从图形看出： S_{1}=frac{1}{2}+left(frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdots+frac{1}{n-1}right)+frac{1}{2 n}=sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}-frac{1}{2 n}-frac{1}{2}>S_{2}=ln n

整理一下即可得到： sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}>ln n+frac{1}{2 n}+frac{1}{2} ，便是我们开始的结论了。

可以看到，这里利用梯形和牛顿——莱布尼兹公式算出来的面积相比，得到的结果是比较接近欧拉常数的。之所以有 0.08 左右的误差，是因为开始梯形的面积和牛顿——莱布尼兹公式算出来的面积相差的比较多。而后面的精度就算有 n 个面积加起来，误差也只有 0.08，可见后期逼近是很好的。

如果不用积分法，那么第二种方法就是我们上面所说的非求和项直接作差法（数学归纳法）了。

一般地，我们现在尝试证明： n>1 时， frac{1}{n}>ln n+frac{1}{2 n}-ln (n-1)-frac{1}{2(n-1)}

构造： f(x)=frac{1}{x}-left[ln x+frac{1}{2 x}-ln (x-1)-frac{1}{2(x-1)}right] ，求导得： f^{prime}(x)=-frac{1}{2 x^{2}(x-1)^{2}}<0

所以 f(x) 递减，现在要看无穷处的极限是多少，我们计算一下极限即可得到： f(x)>lim _{x rightarrow infty}left[frac{1}{x}-ln frac{x}{x-1}-frac{1}{2 x}+frac{1}{2(x-1)}right]=0 ，单项成立，所以从 2 开始逐项相加可以得到： frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdots+frac{1}{n-1}+frac{1}{n}>ln 2-ln 1+frac{1}{4}-frac{1}{2}+cdots+ln n-ln (n-1)+frac{1}{2 n}-frac{1}{2(n-1)}=ln n+frac{1}{2 n}-frac{1}{2}

然后两边加个 1 得到： sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdots+frac{1}{n-1}+frac{1}{n}>ln n+frac{1}{2 n}+frac{1}{2} ，成立。

可以看到，第二种方法更为简洁一点，把数列化成了函数问题。做完这个，我们想到，很明显

0.5 还不是最接近欧拉常数的形式，那还能不能得到更强的式子呢？

这个时候便可以用到 Euler—Maclaurin 公式了，我们先看看上面的 ln n+frac{1}{2 n}+frac{1}{2} 如何得到。

在 sum_{k=a}^{b} f(k) sim int_{a}^{b} f(x) d x+frac{f(a)+f(b)}{2}+sum_{s=1}^{infty} frac{B_{2 s}left[f^{2 s-1}(b)-f^{2 s-1}(a)right]}{(2 s) !} 中，令 f(k)=frac{1}{k}, a=1 以及 b=n ，代进去得到： sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} sim int_{1}^{n} frac{1}{x} d x+frac{frac{1}{n}+1}{2}=ln n+frac{1}{2 n}+frac{1}{2} ，可见，所得参考式正好是右侧。

上面我们舍弃了所有的伯努利余项，得到了第一个结果，那么保留一个伯努利余项的话呢？

于是令 s=1 保留 2 阶伯努利余项： sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} sim int_{1}^{n} frac{1}{x} d x+frac{frac{1}{n}+1}{2}+frac{B_{2}}{2 !}left[f^{prime}(n)-f^{prime}(1)right]

由伯努利数值表可以知道： B_{2}=frac{1}{6} ，于是便有如下的伯努利余项式： sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} sim ln n+frac{1}{2 n}+frac{1}{2}+frac{1}{12}left(1-frac{1}{n^{2}}right)=ln n+frac{1}{2 n}-frac{1}{12 n^{2}}+frac{7}{12} ，把欧拉常数估计到了 frac{7}{12} approx 0.583

由于参考式不具有方向，所以我们需要自己去证明一下。这里依然是采用数学归纳法，即构造单项比较函数： f(x)=frac{1}{x}-left[ln x+frac{1}{2 x}-frac{1}{12 x^{2}}-ln (x-1)-frac{1}{2(x-1)}+frac{1}{12(x-1)^{2}}right] ，求导得到： f^{prime}(x)=frac{1}{6 x^{3}(x-1)^{3}}>0 ，所以 f(x) 递增，还是看无穷处的极限，也即得到： f(x)<lim _{x rightarrow infty}left[frac{1}{x}-ln frac{x}{x-1}-frac{1}{2 x}+frac{1}{12 x^{2}}+frac{1}{2(x-1)}-frac{1}{12(x-1)^{2}}right]=0 ，说明这是个上界，所以： sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}<ln n+frac{1}{2 n}-frac{1}{12 n^{2}}+frac{7}{12} ，这个逼近是比较好的，笔者为大家作出图像如下：

以上便是一点 Euler—Maclaurin 公式的一点应用了，注意 Euler—Maclaurin 公式得到的一定只能是同阶参考式（也可能是同形式下的最佳参考式），必须在数归证明得出来的前提下才能标出方向。