单纯复合形

单纯同调群理论中，通过单纯剖分来构造链群。实仿射空间 A_mathbb R^n 中的 q leq n 维单形(simplex)，是由 (q+1) 个顶点{a_0, dots, a_q}围成的凸集

begin{align} A_mathbb R^n times cdots times A_mathbb R^n &to A_mathbb R^n nonumber / (a_0, dots, a_q) &mapsto sigma^q = left{ x = sum_i lambda_ia_i mid lambda^i geq 0,quad sum_i lambda_i = 1 right} nonumber / end{align} tag{1}

构成单形的顶点有初始给定的排列顺序，这给出了一个定向(orientation)。在​ q -单形中，令有整数 r ​使得 0 leq r leq q ​，取​个 (r+1) 顶点​ {a_{i_0}, dots, a_{i_r}} 构成​ r -单形​ sigma^r subset sigma^q ，称为​ r -面(face)。

令拓扑空间 X in textbf{Top} 为平面圆环，其典型的单纯剖分如下：

右图构成仿射空间中的单纯复合形(simplicial complex)或复形(complex)，记为

K = { sigma_i mid i in I} tag{2}

它是规则相处的单形 sigma_i 的有限集合。复形 K 的定义要求若 forall sigma^q in K 的任意一个 r ​-面​ sigma^r subset sigma^q 也属于 K 。

[wiki]

在仿射空间中构造复形，规则相处的条件约束了三角剖分的方式，我们转向更灵活的方式描述拓扑性质——开覆蓋。

好覆蓋

令 mathcal U = {U_i | iin I} 为 X 的开覆蓋，假设其中的开集都是单连通的， I 为抽象指标集。开覆蓋作为开子集族，蕴含了拓扑的信息。为了让交集单连通，通常要求加细覆蓋。更准确地说有好覆蓋(good cover)的要求，即任意非空的有限交集可收缩：

用两个开半球面来覆蓋 S^2 ，其交集为带状环面，不可收缩，因此它不是好覆蓋。这一现象是由 S^2 的拓扑性质决定的。将其中一个半球剖开成为两个开集，这样整体上就构成了好覆蓋，这种方式就是覆蓋的加细：

下半球剖开加细，成为好覆蓋

开覆蓋的单纯形

令 mathcal U = {U_i | iin I} 为 X 的开覆蓋，假设其中的开集都是单连通的， I 为抽象指标集。开覆蓋作为开子集族，蕴含了拓扑的信息。以平面上同胚于圆环的拓扑空间 X 为例，下图给出了一个开覆蓋

mathcal U = {U_i | iin I} = {U_1,U_2,U_3} tag{3}

分别用红、蓝、黄表示：

上图将覆蓋所体现的拓扑信息提取为一个单形，单形的名字可以类比于单纯同调群理论中的单形：具体而言，过去我们熟悉的单形为：

在开覆蓋的情况，类似地：

• 点： 1 个指标 i 对应开覆蓋中的任意一个单连通开集 U_i ，在其中取任意点可代表 0 -单形；
• 线： 2 个指标 i,j 对应非空交集 U_i cap U_j neq varnothing ，在交集中取任何点可代表 2 个 0 -单形之间的连线，即 1 -单形；
• 面： 3 个指标 i,j,k 对应非空交集 U_i cap U_j cap U_k neq varnothing ，在交集中取任何点可代表 3 个 1 -单形围成的面，即 2 -单形；

于是对于所有的有限交都可以构造有限维单形，显然它是可以由有序指标集得到定向。

脉络

开覆蓋中开集之间的交集蕴含着 X 中的拓扑信息，具体就是开覆蓋中某些交集是否为空的问题。在前面的讨论中，如果红色和蓝色不相交，图形会断开，改变拓扑性质，因此交集 cap U_J = U_1 cap U_2 是否为空是重要的拓扑信息。

令 N 为 I 的有限子集构成的有限抽象指标集族。若 forall J in N 按照(3)都能得到开覆蓋中的有限开子集族 U_J ，且其交 cap U_J neq varnothing ，则称 N 为 I 的脉络(nerve)。换言之，以上对开覆蓋成员之间的非空交集构造单形的方法，在开覆蓋的开集及其交集上取代表点指标化，将连续的开覆蓋问题提取为指标表示的代数问题，就像在叶子上画出脉络，称为开覆蓋的脉络(nerve)。通过脉络，开覆蓋所体现的拓扑现象被简化为类似于单纯性形的可以用抽象指标研究的结构，从而使得拓扑问题容易代数化处理。

[wiki]

以上对任意集合的集族定义了抽象单纯复合形(abstract simplicial complex)，使得子集族的非空有限交有了代数的描述，为同调代数方法的应用建立了基础。在这样的背景下就可以讨论Čech上同调。