搞債券的人肯定離不開對到期收益率、久期與凸性這些核心概念的理解，業務人員還好，刀尖上舔血，得靠這個掙錢。IT人員可就難瞭，有些概念理解不透徹的話，一段時間不弄對這些概念又變得模糊瞭。

所以，你應該能明白我看到“徹底搞懂到期收益率、久期與凸性的原理”這麼一篇文章的心情:-)

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到期收益率、久期與凸性是初學固定收益時必學的“三件套”。它的原理既不像初學者以為的那麼復雜，也不像有一定經驗的朋友們以為的那麼簡單。

對這三個最基本概念的完整理解，很大程度決定瞭固收學習的後勁。如果忽略瞭很多關鍵節點與細節，很可能學到後面又要重新回來補課。所以，我們認為所有學習的過程，“為什麼”比“是什麼”更重要，是理解的關鍵。今天我們一次性把這三個基本概念的“為什麼”與“是什麼”講清楚，下次課程將重點講解這三件套的實務應用與投資組合管理應用。

• 引言

要聊債券，就必須從最基本的利率，計息與貼現說起。

狹義的利率指資金的價格即資金利率，廣義的利率指固定收益類交易的收益率，包括資金利率、債券收益率、估值貼現率等。所以，在固收語境裡，利率、收益率、貼現率，三者可以互相替代。收益率就是利率，也是貼現率，反之亦然。離開固收，這個替代關系不成立。例如債券交易可以看成用現在的現金流支出換將來現金流收入的交易，那麼站在債券投資者的角度，債券投資的收益率自然也可以看成資金運用所獲得的利率。

• 計息

狹義的計息是計算資金利息，廣義的計息是將較早時點的錢換算到較晚時點。前年計息到去年，今年計息到明年，明年計息到後年，都是計息，計息起點不一定是現在。

利息的產生依賴計息方式與計息頻率。

計息方式有兩種：復利與單利。單利：利息的產生隻基於本金不基於利息。復利：利息不僅基於本金還基於利息，即利滾利。

計息頻率有年季月日時分秒瞬（瞬即連續復利）等。

• 貼現

貼現是計息的逆過程。把較晚時點的現金、資產等價值物的價格折算到較早時點，稱為貼現，不局限於折算到今天。去年折算到前年、明年折算到今年、後年折算到明年，都是貼現。貼現的英文是discount，所以我們一直認為把貼現翻譯成‘折算’更合理。

一、債券到期收益率

債券到期收益率是一個需要反復體會的概念，對它的理解一般會經過三個階段：收益率就是收益率→收益率不是收益率→收益率還是收益率。

第一個階段局限於並誤解瞭其字面意思，第二個階段發現它不是字面意思。第三個階段認為它還是字面意思，但能完整認識到它的合理性與優缺點，並開始結合不同收益率指標綜合運用。

債券到期收益率：假設投資者買入一隻債券並能順利持有到期的年化收益率，就是債券的到期收益率（Yield To Maturity，以下簡稱YTM）。

這是一個基於如下假設條件的收益率：

1. 發行人按時按量支付本息至債券到期。
2. 持有人生存並持有債券至到期。
3. 年化，而不是半年度化、季度化。年化的本質是平均，也就是把各年的收益率都平均成一個均值。
4. 對於債券定價，一年以上通常是復利貼現，一年及以下通常是單利貼現（衍生品另議），因為年化復利的意思就是計息間隔為年，年以下無復利隻有單利。
5. 持有人將收到的每一期票息，都能按照YTM的復利再投資直至到期。

n年期債券的期初定價公式：

買債券就是用今天的現金流支出換未來的一系列現金流收入，所以定價的思路就是‘未來現金流今天值多少錢’，即貼現。

面值×票息率=每期票息金額。固息債的票息率不變，浮息債現在無法確定每期票息率，每次付息前一段時間（如提前1天、5天等）再確定下期票息。

前文提到，既然買債券是現在的現金流支出換未來現金流收入，那麼其收益率也就可以類似看成付出資金的回報利率瞭，這也是為什麼固收語境下，收益率就是利率。所以，如果你在研報、新聞裡看到“XX債券的利率”，通常是指它的YTM，而不是票息率。隻有明確提到票面利率、票息（率）、息票（率）、Coupon (Rate)時，才是指票面利率。這在英文固收語境裡沒有歧義，到期收益率會寫清楚是Yield To Maturity, Yield, Redemption Yield（英國人喜歡這麼說）, Book Yield。票息率會寫清楚是Coupon Rate。中文的‘債券利率’容易有誤會或歧義，註意辨析。

qeubee終端中的債券報價的到期收益率：

Bid：對方買盤報價的YTM（你想賣時看這個）

Ofr：對方賣盤報價的YTM（你想買時看這個）

• 到期收益率、持有期收益率（Holding Period Return）和當期收益率（Current Yield）

和YTM相關聯的還有兩個概念：持有期收益率和當期收益率。

當期收益率又稱直接收益率，是指利息收入所產生的收益，通常每年支付兩次，它占瞭公司債券所產生收益的大部分。當期收益率=債券的年息/債券當前的市場價格，它並沒有考慮債券投資所獲得的資本利得或是損失，隻在衡量債券某一期間所獲得的現金收入相較於債券價格的比率。

持有期收益率是指你持有證券期間的買賣價差占買入價格的比率。持有期收益率是投資者投資於證券的綜合收益率。

如剛才說的債券（某投資者2008年初以95元價格買入一張面值為100元、4年後到期的附息債券，如果息票利率為8%，每年末付息），95元買入，如果隻持8個月，在市場上以100元賣出啦，那麼持有期收益率=（100-95）/95*(12/8)=7.9%，註意這裡因為一年才付息，沒有涉及票息的問題。再舉一個復雜例子：

例子：某種債券息票利率為7%，每半年支付一次利息，還有3年到期，當前的價格為101.2元。該債券的當期收益率是多少？如果投資者預期持有半年後能夠以101.5元的價格賣出，持有期收益率是多少？

當期收益率好算，=7%*100/101.2=6.92%

如果預期半年後以101.5賣出，由於半年內獲得瞭3.5元的利息收益和101.5-101.2=0.3元的價差收益，所以根據公式，持有期收益率為：（3.5+101.5-101.2）/101.2*0.5=7.51%

• 債券都是單利付息

對於債券，票息是單利支付，不按復利付息。看看1981年的國庫券，背後寫瞭四個大字“不計復利”。為什麼？因為當票息已經支付，持有人當然沒有理由就這筆目前已經收到的利息到瞭下一期還要再向發行人索取額外的利息。

• 債券的單利付息與復利貼現

既然票息是單利，那為什麼公式裡各項分母用復利貼現呢？

因為復利貼現隻是一種統一規范的思維方式，方便用一個理性、合理、一致的方式思考各類資產的回報率。貼現方式與資產本身有沒有現金回報、現金回報的形式都無關。比如黃金不產生任何現金流回報，我們計算它的回報率時仍然需要進行年化復利貼現，以方便與其它資產用相同的復利思考方式比較。比如10萬黃金兩年後升值到120萬，設年復利回報率為x，那麼我們通常計算為：

而不是20萬/2年/100萬=單利10%，以方便跨資產比較。

你說“我硬要用單利貼現行不行”？關起門來愛怎麼算那是你的自由，但是要開門做交易、提交監管報表，導致交易對手看不懂單利貼現價格雙方做不成生意、監管部門看到報表也一頭霧水，最後咱們還是得老老實實用復利貼現計算。不過也有例外，將來學習利率互換估值等衍生品定價的時候，即便合約期限超過一年也會涉及到單利貼現。

• 債券YTM的不合理之處

債券YTM是一個簡化到不合理、但是很方便的指標。不合理之處體現為：

1. YTM用同一個收益率去貼現不同時間點的票息，顯然是不合理的。因為一年後、兩年後等未來的利率水平肯定是波動的，怎麼可能恒定不變呢？所以說YTM是一種各年平均收益率，而不是各個時點具體的收益率，即把各年收益率都算成一個統一的收益率均值瞭。要追求更合理的話，應該用未來各個時點的市場收益率去貼現。問題是現在怎麼知道未來的收益率呢？我們又不是上帝。答案就是：算，或者談。自己算出來的就是隱含遠期利率，交易雙方談出來的就是遠期交易利率。這裡先不展開遠期利率，隻點到為止。各位先徹底搞懂YTM後，再通過我們今後的相關課程學習遠期利率，理解會更快更透徹。

2. YTM假設每一期票息的再投資收益率能完美地等於YTM。這怎麼可能呢？未來的市場環境一直在波動，每次拿到票息後的市場已經今非昔比。票息再投資能做到的實際收益率隻能取決於收到票息時的市場情況，實務中也從來沒有哪個領導要求你“小王，你把這隻債的每期票息去買別的債，收益率必須做到這隻債的YTM，否則你就準備躺平吧。”如果有這種領導，請把這篇文章給他看。

既然如此不合理，那為什麼它最普遍使用呢？因為方便交流、交易，否則如果計算過於復雜，交易效率急劇降低。不要小看效率這件事。為什麼當年意大利人斐波那契把阿拉伯數字引入歐洲，歐洲人就迅速接受它並拋棄瞭羅馬數字？因為羅馬數字神煩（例如，96.52，羅馬數字是XCVII，1256是MCCLVI，非常不直觀），阿拉伯數字簡單清晰。

• 首先要用業務邏輯理解業務，其次才是數學邏輯

由於YTM在定價公式的分母，分子是固定的票息和本金，那麼YTM越高，債券價格必然越低。所以債券的收益率與價格是反向的。這種方向關系和其它所有資產都不同。任何其它資產，股票、房地產等，一定是價格越漲（跌），收益率越高（低），二者同向變化。唯獨債券的價格與收益率是反向關系。如果你把一張普通固息債的價格與收益率作圖，則能明顯看到二者的反向關系而不是正向關系。

但如果想要徹底理解“債券價格與收益率反向變化”這一點，不要用數學的“分母越大分子不變則商越小”來說服自己、也不要用這張圖來說服自己。小學生也看得懂分數、看得懂圖，隻理解數學邏輯不是真理解，用業務邏輯說服自己才是真理解。

這個反向關系的業務邏輯就是：因為債券的現金流收入是提前約定的，好比一塊餅的大小已經固定瞭，成本就是100元。那麼你用90元買它，和用10元買它，哪個收益率高？當然是10元。所以，因為收入確定，所以成本價格越低，收益率越高，反之亦然。所以用不嚴謹但是易於理解的方式來說，債券是‘先收益後成本’，即先確定瞭收益，再去算成本。而其它資產是‘先成本後收益’，比如現定瞭500萬成本買這套房，看以後漲跌到多少再算收益率。這也是為什麼債券的收益率下行（收益率通常不說上漲下跌，而說上行下行），使得債券價格上漲，我們稱為債券牛市，反之亦然。

所以我們強調，數學隻是工具，業務才是目的。歸根結底，金融是社會科學，不是自然科學。不管使用的計算工具再怎麼復雜高深，也不是我們研究的目的本身，我們的目的是研究金融這種人的社會行為，所以一定要能從業務本身理解，而非局限於計算邏輯。

債券定價公式裡，面值、票息都是已知的，收益率是未知的、是自變量，價格是也是未知的、是因變量。所以債券價格的定價公式表達的是“債券價格是收益率的函數”，即債券價格隨著收益率的變化而變化，反之亦然。

綜上所述，完整嚴謹地說，債券的到期收益率YTM是假設雙方平安無事到期年化平均復利回報率。

• YTM與實際持有期回報率

不要把YTM和實際持有期回報率混為一談。YTM是假設的某一時點直至持有到期能實現的年化收益率，是一個假設收益率。實際持有期回報率是指這隻債買入賣出期間的實際回報率。如果持有人在到期前將債券賣出，那麼從買入到賣出的期間回報率，須根據年化後的買賣價差進行計算，得到期間的年化復利回報率。如果債券持有人真的順利持有至到期瞭、並且將每期票息的投資回報率做到瞭YTM，那麼YTM才等於實際持有期回報率。

• 價格等於面值的新發債票息率=YTM

一隻發行價格為100元的新發債的YTM與票息率是相等的。為什麼？例如，當票息率為6%，即每張債券每年支付6元，那麼用面值100購買這隻債券時，年化回報率自然就是6%。因為年化6%的意思就是“每年獲得6%的回報”。價格成本100，每年收到6元票息，YTM當然就是6%，和票息率是一回事。

所以，一隻價格超過面值100元的溢價債券的價格，可以進行如下拆分：

如果是價格低於100元的折價債券，也可以如此進行拆分，各位可以自行推導。

有一種特殊情況是，國債、政金債的續發制度，把一期債券的發行分散到多次發行，分為首發和續發。多次發行時間點雖然不一樣，但還是同一期債。這一期內的每次發行的債券的起息日都是同一天，盡管首發和每次續發的實際債券上市日都不一樣。由於每次續發時的債券剩餘期限已不足原始期限，而且屆時市場利率水平已變化，而且為瞭方便管理，發行人規定每次續發的票面利率須保持與首發一致，那麼發行價格自然就常常不一定是100元面值，而是隨行就市。而且往往隨著續發時剩餘期限比首發時的原始期限要短，通常收益率曲線是向右上方傾斜的，也就是期限越短收益率越低，那麼這使得較短期限的續發債券的價格往往高於100元、以使得實際發行收益率低於票面利率。當然，也不排除偶爾出現曲線倒掛而續發價格低於100元的現象。

比如200016這隻十年期國債，首發是2020年11月19日，確定瞭這一期的票面利率是3.27%。然後在2021年1月20日第二次續發，1月25日上市。由於票面利率已經鎖定，此時剩餘期限也不足十年期（比2020年11月19日首發的債券已經少瞭自那時起至2021年1月25日的67天，剩餘期限是9.82年），市場利率也已發生變化，既然票面利率已固定，那麼隻能通過改變發行價格來使此次發行債券的實際收益率符合此時的9.82年國債的市場實際利率，所以發行價格不再是100，而是101.67元。

二、久期（Duration，單位：年）

久期是一個折磨初學者的概念。作為一個在森浦Sumscope為全市場傳播固收知識的人，我過去、現在、未來，都很討厭這個誤人子弟的名字、生硬無趣的翻譯。在我看來，我們哪怕叫它彈性、敏感度、油門、檔位、變速箱，也比叫它久期更容易讓人理解。

所以，我們把它一次性講清楚，讓各位初學者這輩子都不再被這個概念折磨。

如下兩隻下蛋母雞，假設每個蛋相同大小，你更喜歡哪個？

通常大傢都喜歡黑雞：每天可以吃到一隻新鮮雞蛋。白雞前九天都不下蛋，讓人要擔心這九天它是不是生病瞭。一次性下10個蛋又不能當天吃完，隻能存起來，越來越不新鮮。

這種區分隻是一種粗淺的直覺，如何用數學來精確描述黑雞比白雞優秀多少呢？很簡單，計算平均吃到各個雞蛋需要等待的天數就可以瞭。

黑雞：(1+2+…+10)÷10=5.5天

白雞：(10+10+…+10)÷10=10天

有人可能會有疑問，對於黑雞，我吃完第一隻蛋後隻再等瞭一天就吃到第二隻蛋瞭，每隻蛋的間隔為1天，為什麼不是1+1…+1=10呢？

因為，如果也用這種方式算白雞，那麼吃到白雞的一隻蛋是等10天，剩下9顆蛋與這顆是同一天吃到，所以9顆蛋的間隔都是0天，10+0+…+0=10，這樣兩隻雞的時間都是10天，無法區分孰優孰劣。所以說，數學方法本身沒有對錯，重點在於何種方法能幫我們解決實際問題。

如果又來一隻黃雞，前九天下小蛋，第十天下大蛋，還是用原來的方法，平均得出來的天數也是5.5天。這樣，這個方法也已經沒法進一步區分勝負瞭。

所以，我們改進如下，把每個雞蛋占總雞蛋重量的權重加到各時間段：

黑雞的加權平均時間是5.5天，黃雞是8.2632天，黑雞還是贏瞭。

黃雞要怎麼贏呢？把大蛋下到第一天，平均每個蛋就是4.9517天，就能贏。

這種加權平均的思維方式，就是麥氏久期（Macaulay Duration），是一個加拿大經濟學傢麥考利發明的，它衡量的是一隻債券每筆現金流的加權平均回本時間（註意是平均而不是加總）。債券的每期現金流就好比每個雞蛋。

註意：

1. 麥氏久期是每筆現金流的回本平均時間，不是總時間，即債券的加權平均剩餘期限。
2. 麥氏久期是有單位的，一般是年。我們平時說的拉長久期、縮短久期，都是說的麥氏久期。
3. 隨著債券價格、收益率的波動、剩餘期限的逐日縮短，麥氏久期也會隨之變化。價格、收益率變化一次，久期就馬上跟隨變化。

例，對於如下債券：

計算這隻債當前的麥氏久期：

98元類似之前例子中的雞蛋總重量，紅藍綠紫四筆現金流貼現值類似每個雞蛋的重量，1、2、3類似每個雞蛋的時間段長度。

我們還可以用物理模型來解釋麥氏久期：如果現金流換成砝碼，時間軸換成天平（註意忽略天平橫杠本身的重量，隻考慮砝碼重量），那麼麥氏久期就是能使天平平衡時，左端到支點的長度。如下圖：

如果其他條件不變，票息變大，支點必須左移，那麼麥氏久期越短。

如果期限增加，麥氏久期越長。

對於無息債，因為兩邊都沒有砝碼，所以麥氏久期就等於其期限。反過來說，一個麥氏久期為2.9125的多筆現金流債券，平均回本時間就相當於一隻2.9125年的零息債。

這個解釋不僅在物理上是直觀的，在數學上也是精確的。如下圖，用貼現後的現值作為砝碼重量計算天平兩邊的力矩，剛好相等。

現金流越早，回本時間越短。現金流越大，回本也越短。所以，投資者用麥氏久期來衡量債券風險高低時，就是現金流早比晚好、大比小好。

在其它資產中，也有類似的回本時間的概念，比如股票的市盈率、房地產的租售比。股票靜態市盈率衡量的是股價等於多少倍的年度盈利，也就是投資者靠盈利回報能多少年收回買股票的成本。房屋租售比是月租金比房價，那麼租售比乘以12之後求倒數，就是靠租金需要多少年回本。當然，嚴格來說，股票市盈率不能算現金型回本指標，因為盈利並不一定都分給股東，這裡隻是供大傢拓寬思路，跳出固收看固收。

• 修正久期（Modified Duration）

麥氏久期僅僅是個回本平均時間指標，它並沒有揭示除此之外的任何其它特征。如果債券價格波動，如何度量它的風險呢？之前我們說過，債券的價格公式是價格與收益率的函數。收益率動，價格就動。於是經濟學傢們開始思考：如果債券收益率波動一個單位，債券價格波動多少個單位呢？

把債券價格公式進行一般化，P是債券價格，YTM是收益率，C、F、n是已知的票息、面值、期限。

我們關心的其實就是“自變量x變化一個單位數值，因變量y變化多少百分比”的問題。我們已經有很成熟的方法來解決“x變化一個單位數值時y變化幾個單位數值”這個問題，即求導數。對以上公式，求P對YTM的一階導數：

註意隻是算出來瞭當YTM變化一個微小單位時P變化的數值，我們需要度量的是變化幅度或者說百分比，而不僅僅是數值。所以要將兩邊同時除以P，然後再提取公因子，得到：

左邊紅色部分就是債券價格對收益率變化的敏感度。無巧不成書，右邊的藍色部分恰好就是麥氏久期，負號表示的是價格和收益率變化的反向關系。

由於這個數學關系，可以通過麥氏久期進行數學修正而得到，在數值上是修正的麥氏久期，所以債券價格對收益率變化的敏感度被稱為修正久期，但其實際業務出發點已經不是回本時間瞭，盡管數值上是接近麥氏久期的，那也隻是一種數學巧合。所以盡管業內都已普遍接受修正久期這個名字，但如果把它更名為價格收益率彈性、敏感度，更名副其實。

一年付息一次的固息債的修正久期，等於麥氏久期除以1+YTM。如果是付息m次的固息債，那麼等於麥氏久期除以1+YTM/m。如果m是無窮次，意味著連續付息，那麼YTM/m趨向於0，麥氏久期就等於修正久期瞭。

我們再來看數學的作圖解釋。從價格收益率曲線上看，修正久期是曲線的一階導數，即用直線去替代曲線來度量價格對於收益率變化的變化。例如下圖，當收益率從y1變化到y1+△y時，曲線從A點下滑到D點，債券價格從A下跌到B，但直接計算AB很不方便，我們用AC去近似AB。AC即修正久期。顯然，收益率變化幅度小時，切線和曲線很接近，近似效果較好。當收益率變化很大，則修正久期的近似效果越差，這時就要用到進一步的近似工具：凸性。後續凸性章節將專門介紹。

我們來看看兩隻不同債券的修正久期差異。假設有兩隻債券，票息率都是3%，A債期限3年，B債期限10年，債券的價格-收益率曲線如下圖：

兩隻債的價格-收益率曲線在收益率3%處相交。因為票息是3%，當X軸的收益率為3%時，Y軸價格等於面值100。

當兩隻債的收益率從3%下行1個BP到2.99%時，三年期債的價格上漲到100.028元，而十年期債券價格上漲到100.085，顯然十年期債的價格上漲更多。這從二者的曲線上也能看出來。

打開qeubee計算器，找到210210這隻十年國開債，假設結算日是2021年6月10日。那麼當收益率為3.40%時，價格為100.1111元，修正久期是8.3480。

當收益率下行1個BP到3.39%時，價格將變化為100.1111×(1+0.01×8.3480%)=100.1947，計算結果與qeubee計算器一致。此時的修正久期已經從8.3480上升到8.3494。這說明其它條件不變時，收益率越小，修正久期越大，反之亦然。

註意：

1. 修正久期與麥氏久期數值接近，擁有類似特點：其它條件不變時，修正久期與期限成正比，與票息、收益率成反比。如果一時回憶不起來瞭，那就用前面講過的天平模型去推理。
2. 價格與修正久期的快速計算：如果修正久期是X，那麼當收益率上行（下行）1個BP時，價格下跌（上漲）約萬分之X（即0.0X%）。比如假設十年國債修正久期為8.3，那麼收益率下行1個BP時，價格上升約萬分之8.3，1000萬市值則上漲8300元，反之亦然。這個8300元，即收益率變化1個BP時債券價格變化的金額，稱之為PVBP或者DV01。PBVP是Price Value per 1BP的縮寫。DV01是Dollar Value per 1BP的簡稱，因為美元最通用所以形成瞭國際慣例成為Dollar而已，不用糾結為啥不是RMB。
3. 修正久期是個百分比、萬分比的幅度概念，隻有高低大小，所以沒有單位，不可以說修正久期是多少年。
4. 當收益率變化幅度大時，修正久期的近似效果越差。請自行在qeubee計算器驗證。

所以，我們對比來看，麥氏久期像一把特殊的尺子，而是修正久期像汽車油門的檔位。為什麼呢？

因為期限越長，久期越大。那麼當債券牛市來臨，如果投資者認為長債、短債的收益率都將下行同樣幅度，那麼投資者傾向於將持有的債券換成長期限債券，獲得更大的久期，這樣將獲得更高的盈利，類似於高速公路開車就要掛高檔。反之，熊市來臨，如果投資者認為長債、短債的收益率都將上行同樣幅度，那麼投資者傾向於將持有的債券換成短期限債券，獲得更小的久期，這樣將獲得更低的虧損，類似於崎嶇小路開車就要掛中低檔。這就是所謂的“牛市加久期、熊市減久期”。這裡說的久期，並不特指麥氏久期或修正久期。不過，今後我們將學習到，這個牛熊市加減久期的口訣並不絕對成立，還要考慮長短端的上下行幅度、收益率的波動率大小等。

• 期限、久期的關系

對於平價債券、溢價債券、零息債等各類債券，它的久期與期限的關系如下圖。因為修正久期與麥氏久期特點一致，麥氏久期計算更簡便，所以作圖以麥氏久期為例。

例如，四類債券的票息率都是5%，當收益率為4%溢價，5%平價，6%折價時的期限-麥氏久期曲線如下。其中永續債的YTM也是5%。

麥氏久期的解析解公式如下：

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t是本付息期間已持有的時間，T是本期付息的實際天數，債券結算日至下一最近付息日之間的實際天數。如果是正好在付息日，那麼t/T=0。上圖中以該公式的期限為自變量，麥氏久期為因變量。

如果對期限求趨向無窮大時的麥氏久期極限，那麼：

所以上圖中，永續債因為期限是無窮大，YTM=5%，那麼麥氏久期就=1.05/0.05=21。修正久期=21/1.05=20。

如果票息依然為5%，YTM=30%，債券深度折價，那麼久期是先升後降。當期限趨近無窮大，麥氏久期極限為4.33。註意曲線形態是先達到極值後再緩緩下降接近極限。函數如下：

所以如果對比看，對於6%票息與YTM、6%票息3%YTM、3%YTM6%票息，零息債，關於期限和麥氏久期的函數，作圖如下。

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• 久期的跳躍

如果收益率保持恒定，那麼隨著債券剩餘期限的縮短，期間的債券久期總體是下降趨勢，但會在票息支付日發生明顯的跳躍，所以在恒定收益率時的久期圖形是鋸齒狀的。

這是因為麥氏久期的解析解計算公式後面有一個扣減項小尾巴t/T，t是上次付息距今的天數，T是每個付息期間的總天數。當付息的前一天，這個值一般是364/365，接近1。當付息日進行交易並當天結算，由於利息已經支付，所以t/T=0，使得扣減項從接近1降低到0。當然，由於剩餘期限縮短，久期會受此產生下降。扣減項縮小使得久期上升，期限縮短一天使得久期下降，兩相抵消，久期仍然表現為上升。

例如，債券210205在付息日3月1日前後當收益率保持為3.66%時的久期變化，明顯在3月1日久期發生瞭調升，然後繼續隨著剩餘期限的縮短而下降。而且，由於3月1日正好在付息日，債券價格沒有任何應計利息的增長，導致發生瞭從103.6498元到100元的顯著下跌。

註意：這個鋸齒跳躍的前提是收益率保持不變。如果收益率發生變化，那麼久期就會根據收益率的變化而變化，則這個特征就不一定存在瞭。比如，當收益率大幅上行，導致久期下降幅度較大，則可能完全抵消扣減項t/T降為0給久期帶來的增幅，使得久期最終仍體現為下降。

• 錯誤的“直覺”和“我以為”

我常常喜歡問一個問題：如果10年國債久期大約是8，那麼50年國債的久期是多少？絕大多新手第一反應就是50年期限是10年的5倍，那久期應該也是5倍左右也就是40左右。然而各位如果對於之前的期限-久期曲線有印象的話，應該能隱約感覺到這種推理的錯誤之處。

我們打開qeubee計算器，當全價為100元、結算日相同時，10年國債210009的修正久期是8.5147，50年國債的修正久期隻有22.1171。

現在各位再來看這張圖，對於紫紅綠三根曲線的非線性增長形態，應該有瞭更深的理解。

同時，期限越長，久期對於收益率變化的敏感度就越高（提示：這種敏感度就是後面我們將講到的凸性）。請看下表。

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收益率從4%上行到10%再到15%，50年國債的久期變化幅度明顯大於10年國債。甚至當收益率上行到15%時，50年國債的修正久期比10年國債的還要低！雖然根據歷史經驗，如此大的收益率變化幅度基本不可能發生，但舉這個例子是為瞭讓各位加深印象：久期的實際值和實際變化，需要實事求是地計算，切忌隻根據剩餘期限的長短而想當然。

• 曲線久期：有效久期、關鍵利率久期

如果你再仔細琢磨修正久期的定義，就會發現它的天然不合理之處——因為它是基於YTM的變化而計算的。既然我們之前強調過YTM的不合理，那麼修正久期自然也就不合理瞭：它度量的是基於YTM的一單位變化。但是YTM是各期的平均收益率，這等於把收益率曲線完全平坦成瞭一根水平直線，所以它就好比這隻債券自身的水平的收益率曲線上行或下行1個BP後，債券價格的變化幅度。

但實際上，債券的收益率曲線，既不是水平的，也很少發生長短端同時變化相同的幅度。

所以，有效久期與關鍵利率久期應運而生。

有效久期衡量的是無風險收益率曲線（而不再是這隻債的YTM的水平的收益率曲線）發生1個單位的平移後，債券價格的變化幅度。

關鍵利率久期衡量的是無風險收益率曲線（而不再是這隻債的YTM的水平的收益率曲線）在某一個關鍵期限的收益率上發生1個單位的變化後（而不是平移），債券價格的變化幅度。

顯然，它們度量的不再是債券價格對自身的收益率變化的敏感度，而是對收益率曲線變化的敏感度。所以這些久期指標又被稱為曲線久期。

由於這部分涉及到收益率曲線知識，我們隻在此點到為止。等我們把曲線內容講完之後，再來細聊這些更有意思的久期指標。它們在實務中的價值非常大。

三、凸性（Convexity）

由於久期隻能實現對債券的線性（切線）近似，如果想提高近似效果，就要用到凸性來實現二次方近似瞭，也就是價格對收益率的二階導數、“久期的久期”：當收益率變化一個單位時，久期的變化幅度。

凸性這個概念，由原高盛分析師Stanley Diller博士在1984 的文章Parametric analysis of fixed incomesecurities中在華裔數學學者Hon-Fei Lai博士的研究成果的基礎上完整引入。

如果說久期是速度，那麼凸性就是加速度。從圖形上看，就是用二次方曲線去近似收益率曲線。類似於，當用一次方的直線y=ax去近似這樣的高次方曲線，結果肯定不夠精確，那就用，效果當然更好。

你可能會猜想，當研究對象的次方越高，比如十年期債券，定價式子裡有這種高次方因子，那麼用的近似效果到底怎麼樣呢？實際其近似效果良好，能達到萬分位甚至更低的誤差。因此市場也普遍接受瞭“如果想追求比修正久期更好的近似效果，一次方的久期加上二次方的凸性就足夠瞭”。

收益率變化後，用“久期+凸性”近似得出的債券價格：

這個公式的近似效果良好，舉例如下：

某日十年國開債210210收益率3.8%，價格96.8841，修正久期8.2764，凸性83.0693。當收益率下行至3.7%，用qeubee計算器算得精確結果為97.6900。和這個精確結果相比，久期近似價97.686，誤差千分之四0.004。久期+凸性的近似價為97.6901，萬分之一0.0001。

誤差十年國開近似價計算過程久期近似千分之四 0.004原價96.8841×(1+久期8.2764×變化幅度10BP即0.001)= 97.6860，與精確結果97.6900誤差0.004。久期+凸性近似萬分之一 0.0001原價96.8841×[1+久期8.2764×降幅10BP即0.001+1/2×凸性83.0693×降幅的平方即(0.001)^2]=97.6901，與精確結果97.6900誤差隻有0.0001。

對於凸性的特點，我們總結為“久期是雙刃劍，凸性是心頭好”。也就是說，凸性是投資者非常喜歡的一種特點。因為當收益率下行上行相同幅度時，凸性大的債券價格漲得多跌得少。

另外，單從數值上看，雖然凸性的增長比久期要快很多，但是由於其對債券價格的影響是二階的而不是一階的，所以對債券價格的影響，久期仍然是一階的、影響力最大的，凸性是二階的、影響力其次的。

以上就是到期收益率、久期與凸性的基本原理。

原文鏈接：徹底搞懂到期收益率、久期與凸性的原理