周崇喜，中國科學院光電技術研究所微細加工光學技術國傢重點實驗室

摘要

本文首先分析瞭理想高斯光束的一些基本特性，如近場束腰和遠場發散角。接著重點分析瞭實際激光器由於系統口徑截斷的衍射受限導致的近場環圍能量下降和遠場發散角的展寬，並給出瞭相應計算方法。最後結合實際激光器的光束質量因子，進一步給出瞭實際激光器的遠場發散角或聚焦激光尺寸的計算方法。

高斯函數的奇妙之處

高斯函數是以德國大數學傢（德文Johann Carl Friedrich Gau β，英文Gauss）命名的初等函數，其一般表達式為（1）

（1）

這裡a,b,c,為常數，其中a>0。當a=1、b=0時，就過渡成為一個關於縱坐標軸對稱、標準方差為c的歸一化高斯函數。激光技術領域中某個截面光場的振幅通常為圓對稱函數分佈，此時采用一個二維歸一化高斯函數來表示，如式（2）

（2）

激光有三大特點：高單色性、高方向性及高亮度，其實歸結起來就一點，高相幹性。激光諧振腔在無像差及熱差的情況下，圓形口徑穩定腔出射的激光在垂直於傳輸光軸的任意截面上，其光場分佈是一個嚴格的圓對稱高斯函數，通常稱之為高斯激光光束(Gaussian Laser Beam)，簡稱高斯光束[1]。式（3）和（4）分別為高斯光束振幅及光強的表達式。圖2是一個束腰半徑為0.5 mm的典型高斯光束強度分佈情況，其中（a）、（b）、（c）分別為其三維分佈、xoy平面俯視圖及沿X軸或Y 軸方向的歸一化光強分佈。

圖1 束腰半徑為0.5 mm的典型高斯光束分佈（3）

（4）

這裡ω稱為高斯光束的束腰半徑。從式（4）和圖1可以看出，高斯光束的口徑是無限的，光斑中心光強最強，隨著半徑的增大，光強隨之降低。當光強降低到中心光強的1/e2=0.135倍時，對應的半徑即為激光光束的束腰半徑，也就是說該激光光束的直徑為d0=2ω。

近場高斯光束的截斷損耗、環圍能量和束腰口徑

實際上任何光學系統的直徑都是有限的，比如激光加工、激光通信領域的激光光學系統，則其光束口徑必然受到截斷，這不僅浪費瞭能量，而且被光闌截斷的能量將引起系統的溫升，從而降低系統的穩定性，最後光闌的截斷的衍射效應還將降低瞭其遠場傳輸光學特性，因此研究光闌的截斷很有意義。首先我們定義一個光學系統的截斷比因子T，即高斯光束的束腰直徑d0和光闌直徑Ｄ的比值[2]，見式（５）。

（5）

一般而言。高斯光束在垂直傳播方向截面的光強為二維分佈，為此引入兩個量：光闌邊緣處的歸一化截斷光強α和該光闌內的環圍能量比β，前者定義為光闌邊緣處的光強與中心最大光強的比值，後者為光闌內的包絡能量占整個高斯光束能量的比值，見式（６）和（７），物理表示見圖2。

（6）

（7-1）（7-2）（7-3）

註意：（7-3）中分母為1，就是說二維歸一化高斯光束的所有環圍能量總和為1，這是高斯光束的奇妙之一。同時比較（6）和（7-4）可以得到（8）

29b1a22754783c38d4fe830176a4754f（8）

從物理角度看，這兩個量是不能進行相加運算的，但從純粹數學角度來看確實是一種巧合，這是高斯光束奇妙之二。圖2（c）同時給出截斷光強值α和環圍能量比β在不同截斷值的值，可以看出，在任何截斷值T時二者之和恒為1。下面給出幾個特例

（a）歸一化截斷光強和環圍能量比示意圖e2f688df85674a961d5f03b82586d48f

（b）不同截斷比T時的截斷光強值α(2)=60%，α(1)=13.5%，α(0.8)=4.4%，α(2/3)=1.11%，α(0.5)=0.03%

（c）不同截斷比時的截斷光強和環圍能量β值

圖2 不同截斷比的高斯光束邊緣光強的歸一化值

• 光闌直徑與束腰直徑相等（即T=1 或D=2ω）時，α(1)=13.5%，β(1)=86.5%

從公式（６）可以可知，當光闌直徑和束腰直徑剛好相等時，其邊緣處的光強為中心最大光強的1/e2=13.5%，此時環圍能量比為86.5%。因此這也是後來成為一般激光光束口徑的評價標準之一，無論被測光束是否為嚴格的高斯光束，均可通過CCD采集被測激光光斑，計算得到不同直徑內的環圍能量，把其中占比為86.5%環圍能量時對應的直徑即認為是該光束的直徑d0。

• 光闌直徑為束腰直徑的1.5倍，即T＝2/3或D=1.5ω時，α(2/3)=1.1%，β(2/3)=98.89%

當束腰直徑為2/3×光闌直徑，即截斷比T=2/3時，其光闌邊緣處的光強下降到中心最大光強的1.1%，此時環圍能量比為98.89%。這是針對高功率激光應用時的一個後續光學系統光闌大小設置的常用方法。此時若再采用1/e2光強處的口徑作為光闌，其能量損耗太大，極有可能燒壞後續光學系統光闌或增加系統溫升，影響激光光學系統的質量。所以高功率激光器的光闌一般設置為1.5×束腰直徑，同時較大口徑的光闌能減小其衍射效應來提高遠場信噪比，因為這個尺寸的光闌已經非常接近無遮攔理想高斯光束的情況。

• 光闌直徑為束腰直徑的2倍，即T＝0.5或D=2ω時，α(1/2)=0.03%，β(1/2)=99.97%

當束腰直徑為0.5×光闌直徑即截斷比T=0.5時，其光闌邊緣處的光強下降到中心最大光強的0.03%，此時環圍能量比為99.97%，即可認為是完全無截斷高斯光束。

• 光闌直徑為束腰直徑的0.589倍，即T＝1.7或D=0.589ω時，α(1.69)=β(1.69)=50%

當束腰直徑為1.69×光闌直徑即截斷比T=1.69.5時，其光闌邊緣處的光強下降到中心最大光強的50%，此時環圍能量比為比也為50%，也就是FWHM(Full Width of Half Maximum)，FWHM通常用來表述半導體激光器（Laser Diode, LD）的特性，如發散角。

實際上，對任意一個光斑的尺寸測量，均不可能在無限空間進行，因此在激光性能如光斑尺寸的測量時，首先在一定區域內通過探測器掃描或通過如CCD等陣列器件，獲得最大功率時

，對應的位置坐標X0，再移動探測器到Xω位置使其強度或功率下降到1/e2

時，即可認為該被測光斑的半徑rω＝Xω－X0。或者通過CCD等探測器接收所測光斑，註意探測器光敏面尺寸大於觀測激光光斑直徑的2倍以上，至少也應該為1.5倍，因為這時所包絡能量已經接近理想的99.97%，通過運算獲得不同半徑包絡比時，當包絡比為86.5%的半徑即可認為是該激光光斑的束腰半徑ω。

遠場高斯光束：高斯光束的截斷衍射及遠場發散角

從傅立葉光學理論可知，當高斯光束傳輸到較遠的Fraunhofer面（近場xoy平面到傳輸距離Ｌ的遠場XOY平面，其中

<5L），見圖（3），其遠場截面的復振幅分佈可以簡化為其近場光場的傅立葉變換[3]，見式（9-1）。

圖3 高斯光束截斷及遠場衍射

根據高斯函數的積分性質可知，式（9-2）中的雙重積分值為1，其中ξ=X/Lλ及η=X/Lλ分別為光場在兩個方向的空間頻率，X,Y分別為遠場的空間坐標值，L為夫朗和費傳輸距離，λ為激光波長，其遠場光強為(10)

（10）

其中，

，從(10)式可以看出，無截斷理想高斯光束的遠場分佈仍然是高斯函數，或者說高斯光束的傅立葉變換仍然是高斯函數，這是高斯光束的奇妙之三。與近場光束相比，遠場光場的束腰由ω變為

c0feab462533b16175eb55b24fdd58c2

，它與近場束腰大小成反比，與激光波長和傳輸距離成正比。當光強下降到最大中心光強時的光斑半徑即認為是遠場激光半徑，即

，此時激光發散角（全角）可表示為[4]

（11）

實際上所有光束均不同程度地被截斷。不同截斷比的近場高斯光束在其遠場的分佈可以通過（9-1）式數值積分得到，通過數值計算我們獲得瞭束腰直徑為1 mm、波長為1 mm、傳輸距離為1 mm的近場高斯光束在幾種不同截斷比時的遠場歸一化光斑分佈，如圖4。按照光強下降到最大中心光強的

來確定其遠場光斑直徑，進而與傳輸距離L相比即可得到不同截斷比時的遠場光束發散角。這裡引入傳輸因子

來評價不同截斷時高斯光束遠場發散角

和波長

、近場束腰半徑ω的比值關系，見式（12）。

（12）圖５為不同截斷比時傳輸因子

與波長和近場束腰半徑的關系曲線。表1給出瞭不同截斷比時高斯光束的近場截斷光強、環圍能量比及對應的

因子，從中可以看出，隨著截斷比的減小或者說光闌直徑的增加，光闌截斷的衍射效應隨之減弱，高斯光束的傳輸越來越接近無截斷理想情況。當T小於2/3時，

因子與無截斷理想值2/π的差別約10%，當截斷比小於0.5，即光闌口徑為2倍束腰直徑時，誤差隻有1.6%，即可以認為是無截斷情況。因此一般激光光學系統的孔徑光闌應該不小於1.5倍的束腰直徑。

圖4 不同截斷比的高斯光束遠場光強分佈

（波長λ=1 mm、束腰直徑d0=1 mm、傳輸距離L=1 mm）

圖５不同截斷時高斯光束的遠場發散角因子

表1 不同截斷比時高斯光束在遠場的發散角

基於光束質量因子M2條件下的非理想高斯光束的遠場發散角

對於實際激光系統，由於諧振腔、激光介質熱透鏡效應等因素引入系統波像差後，其輸出激光束的光束質量將下降。通常采用光束質量因子M2來評價激光器的光束質量，其定義為任意激光光束的束參積（Beam Parameter Product，BPP）Q同理想高斯光束的Q0的比值[5]，見式（13）。這裡的束參積定義為光束直徑（光強下降到最大值1/e2）與其遠場發散角全角的乘積，見式（14）。光束直徑和發散角的單位通常用mm和mrad表示，因此束參積的單位一般為mm·mrad。

（13）

（14-1）

（14-2）

對於無截斷的理想高斯光束，根據式（12）和（14-2）即可計算得到其理想束參積

。例如對於波長為1.064 μm的激光，其理想束參數積為1.35 mm·mrad。對於一臺標稱輸出光束直徑為1 mm，光束質量因子M2為1.5的激光器，那麼其遠場發散角大約為2.0 mrad。當然，激光器輸出窗口的直徑一般應該大於1.25到1.5倍束腰直徑，也就是截斷比應小於0.8~0.67，如當一臺激光器標稱光束質量因子為M2、輸出窗口直徑為D、環圍能量比為β時，可根據表1獲得光束的束腰半徑ω及發散角因子

，通過式（15）即可計算其遠場發散角。

（15）

總結及結論

本文首先分析瞭理想高斯光束的一些基本特性，如近場束腰和遠場發散角。接著分析瞭實際激光器由於激光光學系統口徑的衍射受限導致瞭近場環圍能量的下降和遠場發散角的展寬，並給出瞭相應計算方法。

為瞭盡可能減少光闌受限的衍射影響，一般要求通光口徑不小於束腰直徑的1.5倍。在截斷因子大於0.67或孔徑光闌小於1.5倍束腰直徑的特殊應用場合，必須考慮其截斷效應，計算分析截斷光強α、能量環圍比β以及遠場發散角因子

等，才能精確給出瞭實際激光器的遠場發散角或聚焦激光尺寸，為激光測量、激光加工等激光應用領域提供理論和設計支撐。

參考文獻：

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[5]Roland Diehl, High-Power Diode Lasers: Fundamentals, Technology, Applications, Springer-Verlag Heidelberg, 2000.