我们知道，即使函数在区间上可导，导函数也未必连续。为了理解这个事实，我们只需要稍微回顾这样一个经典反例：

f(x)=begin{cases}x^2sinfrac{1}{x},&x neq 0/0,&x=0end{cases}/

在这里 f(x) 在包括 x=0 在内的整个 mathbb{R} 上都是可导的，但是容易验证，其导函数 f'(x) 在 x=0 不连续。

然而，有人给出这样一个论证，要向我们表明所有如果函数处处可导、则导函数处处连续。

证明过程大致是这样。对于任意的 x_0 in mathbb{R}, 因为 f'(x_0) 存在，则依定义有

f'(x_0)=lim_{x to x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}tag1

又依Lagrange中值定理

frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(xi),~~~~~x_0gtrlessxi gtrless xtag2

将 (2) 代入 (1) ，得

f'(x_0)=lim_{x to x_0}f'(xi)tag3

注意到 x_0gtrlessxi gtrless x ，则 x to x_0 将逼迫 xi to x_0 ,于是将 (3) 中的自变量趋限过程稍作转化，即得

color{red}{f'(x_0)=lim_{xi to x_0}f'(xi)}tag4

于是断定，(4) 表明了 f'(x) 在 x=x_0 连续，又由 x_0 的任意性，知 f'(x) 处处连续。

这个证明确实很有迷惑性，但根本上仍是错误的。但是，错误在哪里呢？亲爱的读者，您能指出来吗？

（未完待续）