我们知道,即使函数在区间上可导,导函数也未必连续。为了理解这个事实,我们只需要稍微回顾这样一个经典反例:
f(x)=begin{cases}x^2sinfrac{1}{x},&x neq 0/0,&x=0end{cases}/
在这里 f(x) 在包括 x=0 在内的整个 mathbb{R} 上都是可导的,但是容易验证,其导函数 f'(x) 在 x=0 不连续。
然而,有人给出这样一个论证,要向我们表明所有如果函数处处可导、则导函数处处连续。
证明过程大致是这样。对于任意的 x_0 in mathbb{R}, 因为 f'(x_0) 存在,则依定义有
f'(x_0)=lim_{x to x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}tag1
又依Lagrange中值定理
frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(xi),~~~~~x_0gtrlessxi gtrless xtag2
将 (2) 代入 (1) ,得
f'(x_0)=lim_{x to x_0}f'(xi)tag3
注意到 x_0gtrlessxi gtrless x ,则 x to x_0 将逼迫 xi to x_0 ,于是将 (3) 中的自变量趋限过程稍作转化,即得
color{red}{f'(x_0)=lim_{xi to x_0}f'(xi)}tag4
于是断定,(4) 表明了 f'(x) 在 x=x_0 连续,又由 x_0 的任意性,知 f'(x) 处处连续。
这个证明确实很有迷惑性,但根本上仍是错误的。但是,错误在哪里呢?亲爱的读者,您能指出来吗?
(未完待续)
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