本书介绍的与前一册不同，主要是几何方面的问题。在初中，我们已经学习过欧几里得体系下的平面几何。让我们从类似体系的立体几何开始，即三维空间的几何学。

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1.1 立体几何基本公理

平面几何的研究都在某个平面上进行。这时候我们针对的是点，直线以及它组成的平面图形。到了立体几何中，舞台变成了“空间”，所以平面也将会成为我们的研究对象。

先进行一些画图和记号上的约定。因为我们绘图用的纸是平面，所以我们要表达立体几何中的平面对象时需要做一些变通。比如，如果要表示摆在我们面前的一个平面，则使用一个平行四边形表示，如下：

虽然平行四边形是有限大，但是平面实际上是无限延伸的。

平面可以用希腊字母标记，比如图中的平面 alpha ，平面 beta 。也可以用它上面的点表示，如平面 ABCD 。

在平面几何的学习中，一切命题的证明都是从公理开始的，如”两点确定一条直线”，“不在同一直线上的三点确定一个圆”等。这里也将会从公理开始。

公理1.1 过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。

下面这个图验证了公理。这样的话也可以说“不共线的三个点唯一确定一个平面”。图中平面 alpha 也可以称为平面 ABC ，因为这三个点唯一确定平面 alpha 。

如果一个点 A 在平面 alpha 内，则记为 Ainalpha ；否则记为 Anotinalpha 。如果点 B 在直线 l 内，则记为 Bin l ；否则记为 Bnotin l 。

公理1.2 如果一条直线上的两个点都在某平面内，则直线上的所有点都在某平面内。

如图，如果直线 l 的所有点都在平面 alpha 内，记为 lsubsetalpha 。否则，记为 lnotsubsetalpha 。

公理1.2可以用形式化的语言表示为：

Ain l,Bin l,Ainalpha,BinalphaRightarrow lsubset alpha 。

考察这两个公理，我们在平面上找到一个三角形，这个三角形唯一确定了平面。这样的话平面可以表示为任意两个三角形边上的点连成的直线的并集。

我们可以通过这两个公理得到推论：

推论1.1 (1)经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面；

(2)经过两条相交直线有且只有一个平面；

(3)经过两条平行直线有且只有一个平面。

证明：(1)设是直线 l 和点 A 。在直线 l 上取两点 B,C ，由公理1.1知道 A,B,C 三点确定唯一的平面 alpha 。这时候 A,B 在平面 alpha 内。由公理1.2， lsubset alpha ，所以平面 alpha 确实经过点 A 和直线 l 。 square

另外两个结果证明留作习题。

两条直线有公共点称为相交。两条直线无公共点且在同一平面内称为平行。两条直线无公共点且不在同一平面内称为异面。

公理1.3 如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且仅有一条过该点的公共直线，称为两个平面的交线。

用图示表示如下。平面 alpha,beta 的交线是直线 l ，记为 alphacapbeta=l 。

两个没有公共点的平面称为平行。平面 alpha,beta 平行记为 alpha/!/beta 。

另外，我们还需要考察平面与直线的位置关系。如果直线与平面没有公共点，称它们平行。直线 l 与平面 alpha 平行记为 l/!/alpha 。

如果直线 l 既不在平面 alpha 内，又不与平面 alpha 平行，则称直线与平面相交。

定理1.2 设直线 l 与平面 alpha 相交，则 l 和 alpha 有唯一的交点。

证明：由相交知道不平行，所以交点是存在的。用反证法，假设交点不是唯一的，设为 P,Q 。则 P,Qinalpha,P,Qin l 。由公理1.2这推出 lsubsetalpha ，但是这与相交的定义矛盾。所以交点唯一。 square

直线 l ，平面 alpha 的交点是 P ，记为 lcapalpha=P 。直线与平面相交或者平行，统称为在平面外。

这就是立体几何独有的三大基本公理。另外，在初中学习的平行公理，在立体几何中依然适用。这里我们作为强调再次写出它来。

公理1.4 设 l 为直线， P 为空间中直线 l 外的一点。则存在唯一的直线 m 经过 P 且与 l 平行。

它有一个比较好用的推论，就是下面的定理：

定理1.3 若直线 l,m,n 满足 l/!/m,l/!/n ，则 m/!/n 。

我们稍后再证明这个定理。

• 练习题1.1

1.用形式化语言写出公理1.3。

2.设平面 alpha 与直线 AB 满足 ABcapalpha=B,Anotinalpha ，直线 lsubsetalpha,Bnotin l 。证明 AB,l 两条直线异面，并画出图示。

3.设三角形 ABC 在平面 alpha 外， ABcapalpha=P,BCcapalpha=Q,CAcapalpha=R ，这三点两两不同。证明 P,Q,R 三点共线，并画出图示。

4.设直线 l,m,n 满足 m/!/ n ，且直线 l 与直线 m,n 都相交。证明 l,m,n 三线共面。

5.下面是某个正方体的展开图。判断展开图重新合上为一个正方体后，各蓝色直线彼此的位置关系。

6.假设我们只知道平行公理在平面内成立。证明公理在空间中都成立。

7.证明推论1.1的(2)(3)。

8.设长方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中， O,E,F,G,H,O_1 六个点分别是侧面 ABCD,ADD_1A_1,BCC_1B_1,ABB_1A_1,DCC_1D_1 的中心。证明：

triangle OEGcongtriangle O_1FH 。

1.2 平行关系的判定与性质定理

1.2.1 直线与直线平行

直线与直线平行在平面几何中已经讲了很多了，这里与立体几何较为相关的判定定理只有定理1.3。下面我们只是证明有关的一个性质。

定理1.4 设两个角(在 [0,2pi) 中)的边分别对应平行，则这两个角相等或互补。

证明：设两个角是 angle AKB,angle CLD ，满足 AK/!/ CL,KB/!/LD 。不妨设 |AK|=|CL|,|KB|=|LD| 。假设 AK,CL 的方向相同。下面有两种情形：

(1) KB,LD 的方向也相同。

这时候我们得到 AK,CL 平行且相等，得到 AKLC 是一个平行四边形。所以 AC,KL 平行且相等。同理， BD,KL 平行且相等。由定理1.3得到 AC,BD 平行且相等，所以 ABDC 也是平行四边形。这得到 |AB|=|CD| 。又 |AK|=|CL|,|KB|=|LD| ，所以三角形 AKB 与三角形 CLD 全等，从而 angle AKB=angle CLD 。

(2) KB,LD 方向相反。这个留给大家证明两个角互补。

square

顺便这个证明也给出了判断究竟是相等还是互补的一种方法。

例1 设四面体 A-BCD 中， E,F,G 分别为棱 AB,AC,AD 上的点。如果

EF/!/BC,FG/!/CD,GE/!/DA ，

证明： triangle EFGsimtriangle BCD 。

证明：条件表示 EF,BC;FG,CD;GE,DA 这三组的方向都相同。又注意到平行条件，所以由定理1.4可知

angle GEF=angle DBC,angle EFG=angle BCD 。

所以 triangle EFGsimtriangle BCD 。 square

1.2.2 直线与平面平行

根据定义，一条直线与平面平行就是直线与平面没有公共点。但是这似乎有点难以判断。好在我们还有下面的判定定理。

定理1.5 如果平面外一直线与平面内另一条直线平行，则直线与平面平行。

用形式化语言书写就是：

lnotsubset alpha, msubsetalpha,l/!/mRightarrow l/!/alpha 。

证明：用反证法。假设 lcapalpha=P 。由推论1.1的(3)，直线 l,m 确定一个平面 beta 。这样 m=alphacapbeta 。注意到 lsubsetbeta,msubsetalpha ，所以 Pin alphacapbetaRightarrow Pin m 但是这表明 lcap m=P ，与平行矛盾。 square

这定理使得证明直线与平面平行变得十分方便。事实上只要在平面里找到一条与直线平行的直线就可以了。

下面是直线与平面平行的性质定理，可以得到直线与直线平行。

定理1.6 如果直线与一个平面平行，且经过直线的某一平面与该平面有交线，则直线与交线平行。

用形式化语言书写就是：

l/!/alpha,lsubsetbeta,alphacapbeta=mRightarrow l/!/m 。

证明：由于 l/!/alpha ，所以 lcapalpha=varnothing 。而 msubsetalpha ，所以 lcap m=varnothing 。注意到 l,msubsetbeta ，由平行的定义知 l/!/m 。 square

现在我们可以证明定理1.3了。

定理1.3 若直线 l,m,n 满足 l/!/m,l/!/n ，则 m/!/n 。

证明：设 l,m 确定平面 alpha ， l,n 确定平面 beta 。不妨设 alpha,beta 不是同一个平面，则 mnotsubsetbeta 。用反证法，假设 m,n 不平行。

(1)如果 m,n 共面，则一定相交。此时设 mcap n=P 。注意到 alphacapbeta=l ，且 Pin mRightarrow Pinalpha,Pin nRightarrow Pinbeta ，则 PinalphacapbetaRightarrow Pin l ，这样 l,m,n 三线共点，这与平行的条件矛盾。

(2)如果 m,n 异面，注意到 m/!/l,lsubsetbeta,mnotsubsetbeta ，由定理1.5得到 m/!/beta 。任取点 Qin n ，则直线 m 和点 Q 确定一个平面 gamma 。设 k=betacapgamma ，则 Qin k ，且由定理1.6知 m/!/k 。注意到 m/!/l ，如果 l,k 相交，则化归为(1)的情况，矛盾。所以 l/!/k 。由于 m,n 异面，所以 n,k 必不是同一条直线。这说明过一点 Q 可以作 l 的两条平行线 n,k ，与公理1.4矛盾！

所以 m/!/n 。 square

例2 设直线 a,b,c 和平面 alpha,beta 满足 alphacapbeta=a,bsubsetalpha,csubsetbeta 。如果 b/!/c ，证明 a/!/b/!/c 。

证明：条件表示 bnotsubsetbeta 。而 csubsetbeta,b/!/c ，所以由定理1.5， b/!/beta 。注意到 bsubsetalpha,a=alphacapbeta ，由定理1.6得 b/!/a 。而 b/!/c ，由定理1.3得 a/!/b/!/c 。 square

定理1.6还可以是生活中一种生成平行线的方式。因为有些物体的表面自带平行的平面，所以通过切割就能生成一些平行线。

3.平面与平面平行

根据平面与平面平行的定义，两平面平行也就是它们没有公共点。而平面可以视为一些直线的并集，所以这又等价于一个平面内的所有直线与另一个平面平行。但是这依然不容易判断。实际上，并不需要这么多直线。我们有下面的判定定理：

定理1.7 设两个平面的其中一个上有两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。

用形式化语言表述就是：

asubsetbeta,bsubsetbeta,acap b=P,a/!/alpha,b/!/alphaRightarrow alpha/!/beta 。

证明：用反证法。假设 alpha,beta 不平行，设 alphacapbeta=l 。如果 a,b 中有一个与 l 相交，设不妨设 acap l=Q 。注意到 Qin lRightarrow Qinalphacapbeta ，所以 acapalpha=Q 。这与 a/!/alpha 矛盾。

如果 a/!/l,b/!/l ，则过一点 P 可以作 l 的两条平行线 a,b ，矛盾。

所以必须 alpha/!/beta 。 square

这就摆脱了需要找无穷多直线的困扰。另外，如果两直线平行是不行的。这可以轻松地举出反例：设直线 a 和平面 alpha 满足 a/!/alpha ，作平面 beta 经过 a 与 alpha 相交，并在 beta 上作直线 b/!/a ，且 bnotsubsetalpha 。请大家画出图示。

推论1.8 如果两个平面各有一组相交直线，它们对应平行，则这两个平面平行。

证明留作习题。

定理1.7在生活中是有应用的。木工师傅把水平仪在桌面上交叉放置两次，如果两次水平仪的气泡都位于中央，这就说明桌面与地面平行，从而是水平的。

水平仪

现在讨论平面与平面平行的性质。首先下面的结果已经说过并且是显然的，但是我们这里作为强调说明一下：

定理1.9 设两平面平行，则其中一个平面上任意一条直线与另一个平面平行。

这是平面与平面平行，推出直线与平面平行。还可以直接推导出直线与直线平行：

定理1.10 设两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交，则两条交线平行。

用形式化语言表述就是：

alpha/!/beta,gammacapalpha=a,gammacapbeta=bRightarrow a/!/b 。

证明：注意到 alpha/!/beta ，这说明 alpha,beta 没有公共点；而 asubsetalpha,bsubsetbeta ，这说明 acap b=varnothing 。而 a,bsubsetgamma 在同一平面内，所以由平行的定义知 a/!/ b 。 square

例3 证明夹在两平行平面之间的平行线段相等。或者说，设平面 alpha/!/beta ，点 Ainalpha,Binbeta,Cinalpha,Dinbeta ，满足 AB/!/CD 。证明： |AB|=|CD| 。

证明：由于 AB/!/CD ，所以直线 AB,CD 确定了平面 gamma 。这时候 gammacapalpha=AC,gammacapbeta=BD ，而 alpha/!/beta ，由定理1.10得 AC/!/BD 。而 AB/!/CD ，所以 ABDC 是一个平行四边形。这样就有 |AB|=|CD| 。 square

• 练习题1.2

1.判断下列说法的正误。正确的给出证明，错误的举出反例。

(1)如果直线 a 和平面 alpha 满足 a/!/alpha ，则任取直线 bsubsetalpha 都有 a/!/b 。

(2)如果直线 a,b 和平面 alpha 满足 a/!/alpha,b/!/alpha ，则 a/!/b 。

(3)如果平面 alpha 内存在无穷多条直线与平面 beta 平行，则 alpha/!/beta 。

(4)设一条直线与两个平行平面中的一个相交，则一定与另一个也相交。

2.总结一下定理1.4中何时相等，何时互补。

3.正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中， E 为 DD_1 中点。证明 BD_1/!/ 平面 AEC 。

4.正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，设 M,N,E,F 分别为四条棱 A_1B_1,A_1D_1,B_1C_1,D_1C_1 的中点。作出图示并证明平面 AMN/!/ 平面 DBEF 。

5.证明：若平面 alpha,beta,gamma 满足 alpha/!/beta,alpha/!/gamma ，则 beta/!/gamma 。

6.设直线 l,m 和平面 alpha 满足 l/!/alpha,l/!/m 。证明 m/!/alpha 。

7.证明：过平面外一点能且只能作一个平面与已知平面平行。

8.设四面体木块 V-ABC 中，点 P 为三角形 VAC 内的点。现在要把木块锯开，使得截面平行于直线 VB,AC 。作出这个平面的图示并证明确实如此。(写作法)

9.设平面 alpha,beta,gamma 满足 alpha/!/beta,alpha/!/gamma 。直线 a,b 与 alpha,beta,gamma 的交点分别为 A,B,C 和 D,E,F 。证明 dfrac{|AB|}{|BC|}=dfrac{|DE|}{|EF|} 。

10.证明定理1.4的情况(2)。

11.证明推论1.8。

12.设直线 AA',BB',CC' 交于一点 O ，三线不共面。如果 dfrac{|AO|}{|A'O|}=dfrac{|BO|}{|B'O|}=dfrac{|CO|}{|C'O|} ，证明：

(1) triangle ABCsimtriangle A'B'C' ；

(2)平面 ABC/!/ 平面 A'B'C' 。

13.设两个全等的矩形 ABCD,ABEF 不在同一平面内， P,Q 分别为线段 AE,BD 上的点，满足 |AP|=|DQ| 。证明 PQ/!/ 平面 CBE 。

14.绘制定理1.3各种情况证明的图示。

15.设 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点。过直线 AC 作平面 alpha ，满足 PD/!/alpha 。设 M=alphacap PB 。证明 M 为 PB 中点。

16.设梯形 ABCD 中， AD,BC 是底边， E,F 为平面 ABCD 外两点，满足 AE/!/CF 。证明 BF/!/ 平面 ADE 。

17.设 a,b 为异面直线，平面 alpha,beta 满足 asubsetalpha,bsubsetbeta,a/!/beta,b/!/alpha 。证明 alpha/!/beta 。

1.3 垂直关系的判定与性质定理

1.3.1 直线与直线垂直

在平面几何中直线与直线的夹角可以直接刻画：相交得到的四个角中不大于 fracpi2 的那个。然而在立体几何中有异面直线的存在，使得我们不能简单地规定它们的夹角。好在根据平行公理，我们可以对直线进行平移。

设 a,b 是异面直线。在直线 a 上取一点 A 。根据平行公理，存在唯一的直线 b' 经过 A 且有 b'/!/b 。

平移

如此，我们规定异面直线 a,b 的夹角是相交直线 a,b' 的夹角。夹角大小是与点 A 的选取无关的，这个证明留作习题。

规定平行直线的夹角是 0 。如果两直线 a,b 的夹角是 fracpi2 ，则称两直线垂直，记为 abot b 。这样两直线所成角的范围是 left[0,fracpi2right] 。

从夹角的定义可以发现，求夹角的古典方法就是平移，把异面的直线平移成为共面的直线，然后使用平面几何方法求夹角。

例1 设正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中， O_1 为正方形 A_1B_1C_1D_1 的中心。证明 AO_1bot BD 。

证明：联结 B_1D_1,AB_1,AD_1 。

注意到正方体的性质， B_1B,D_1D 平行且相等，故 BDD_1B_1 是平行四边形。所以 BD/!/B_1D_1 。注意到 AB_1=AD_1 ，且 O_1 为 B_1D_1 的中点，所以 AO_1bot B_1D_1 ，从而得到 AO_1bot BD 。 square

1.3.2 直线与平面垂直

旗杆竖立在地面上，我们称旗杆与底面垂直。一般地，如果直线与平面内任何一条直线都垂直，则称直线与平面垂直。直线 l 与平面 alpha 垂直记为 lbotalpha 。显然这时候 l,alpha 有交点，设 lcapalpha=P ，称 P 为垂足。

接下来讨论一下直线与平面垂直如何判定。同样，判定所有直线垂直似乎有点太麻烦了。事实上我们只需要两条相交的直线，也就是：

定理1.11 如果直线与平面上两条相交的直线都垂直，则直线与平面垂直。

用形式化的语言表示为：

lbot a,lbot b,asubsetalpha, bsubsetalpha,acap b=PRightarrow lbotalpha 。

证明：把直线都平移到一起来，尽量转化为平面几何问题。

不妨设 l 经过点 P ，否则可以作平移。现在以 P 为圆心，任意长度为半径作一个圆，与 a 交于点 A,C ，与 b 交于点 B,D 。不妨设点在圆上按 A,B,C,D 顺序排列。任取点 Ein l 。这时候有

|PA|=|PB|=|PC|=|PD| ，

以及 angle EPA=angle EPB=angle EPC=angle EPD=fracpi2 ，这是条件。这样四个三角形 EPA,EPB,EPC,EPD 都全等。这样得到

|EA|=|EB|=|EC|=|ED| ，

并由圆的性质得到 |AB|=|CD|,|AD|=|BC| 。

任取直线 csubset alpha ，通过平移可以令 Pin c 。这时候不妨设 c 与线段 AB,CD 相交，交点分别为 K,L 。

注意到 ABCD 是矩形，所以 AB/!/ CD 。这时候有比例关系

dfrac{|AK|}{|LC|}=dfrac{|KP|}{|PL|}=dfrac{|AP|}{|PC|}=1 ，

得到 |AK|=|CL|,|KP|=|PL| 。因为 AEB,DEC 是全等的等腰三角形，所以 angle EAK=angle ECL 。而 |EA|=|EC| ，所以

triangle EAKcong triangle ECL 。

这说明 |EK|=|EL| 。而 |PK|=|PL| ，所以 triangle EPKcongtriangle EPL ，故 angle EPK=angle EPL=dfracpi2 。从而 lbot c 。

由 c 的任意性， lbotalpha 。 square

下面证明的结果基础而重要。

定理1.12 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

证明：存在性 假设 P 为平面 alpha 外一点，任取直线 lsubsetalpha 。现在过 P 作 l 的垂线，垂足为 Q ；过点 Q 在平面 alpha 上作直线 l 的垂线 m ；过 P 做直线 m 的垂线，垂足为 R 。我们证明 PRbotalpha 。注意 PQbot l,QRbot l ，所以 lbot 平面 PQR 。这导致 lbot PR 。而 PRbot m ，且 l,msubsetalpha,lcap m=Q ，所以得到 PRbotalpha 。存在性得证。

唯一性 留作习题。 square

定理对平面内的点也成立。

现在作点 P 到平面 alpha 的唯一垂线，垂足为 R 。则线段 PR 称为 P 到平面 alpha 的垂线段， |PR| 称为点 P 到平面 alpha 的距离。

设 l 是与平面 alpha 相交但不垂直的直线，它称为平面 alpha 的斜线。交点 A 叫做斜足。过斜线上一点 P 作 PObotalpha ，垂足是 alpha ，则 angle PAO 叫做直线 l 与平面 alpha 所成的角。这样，求直线与平面所成的角其实就是解直角三角形。

直线 OA 称为直线 l 在平面 alpha 上的射影。

如果 lbotalpha ，称直线 l 与平面 alpha 所成的角为 dfracpi2 ；如果 l/!/alpha ，称直线 l 与平面 alpha 所成的角为 0 ；所以直线与平面所成角的范围是 left[0,dfracpi2right] 。

例2 在正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，求直线 A_1B 与平面 A_1DCB_1 所成的角。

解：第一步，作或者寻找平面的垂线。

联结 BC_1 ，与 B_1C 交于点 E 。则 BC_1bot B_1C ，且 E 是正方形 BCC_1B_1 的中心。另一方面，正方体的性质告诉我们 A_1B_1bot 平面 BCC_1B_1 。所以 BC_1bot A_1B_1 。注意到 A_1B_1,B_1C 相交，且都包含于平面 A_1DCB_1 ，由定理1.11， BC_1bot 平面 A_1DCB_1 ，垂足是 E 。

第二步，找到要求的角并求出来。

联结 A_1E 。注意到 A_1Esubset 平面 A_1DCB_1 ，所以 BC_1bot A_1E 。这说明 angle A_1EB=dfracpi2 。要求的角是 angle EA_1B 。我们有

sinangle EA_1 B=dfrac{|EB|}{|A_1B|}=dfrac12 ，

从而 angle EA_1B=dfracpi6 。所以直线 A_1B 与平面 A_1DCB_1 所成的角为 dfracpi6 。

有时候垂线并不在已有的图形里，这可能使得我们需要自己作垂线并刻画垂足的性质。这会比较辛苦。然而，在后面的章节中会教授更方便的做法，也就是借助解析几何的力量。

接下来是直线与平面垂直的性质。

定理1.13 垂直于同一平面的两条直线平行。

用形式化语言表述：

mbotalpha,nbotalphaRightarrow m/!/n 。

证明：用反证法，假设 m,n 不平行。设 ncapalpha=P ，作直线 m' 经过 P 且 m'/!/m ，则 m'cap n=P 。设它们确定的平面是 beta ，并设 l=alphacapbeta 。这时候有 m'bot l,nbot l ，且 m',n,l 同在一个平面 beta 内。这导致 m'/!/n ，矛盾。 square

请大家自己画出证明的图示。

1.3.3 平面与平面垂直

(1)二面角

上面这个图是过氧化氢( ce{H2O2} )的分子结构图。两个氧原子在中间，两个氢原子分别通过化学键与两个氧原子相连，两个平面形成大约 94^circ 的角度。这个角度就是两个氢-氧-氧平面的二面角。

一般地，一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做一个半平面，直线叫做半平面的边界。一条直线与以它为边界的两个半平面组成的图形叫做一个二面角。这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。

二面角有两种记法，一是如果二面角的棱是直线 l ，两个半平面分别是 alpha,beta ，则二面角记为 alpha-l-beta ；二是如果二面角的棱是直线 AB ，两个半平面上分别有点 C,D ，则二面角记为 C-AB-D 。

在二面角 alpha-l-beta 的棱上取点 O ，并分别在半平面 alpha,beta 上作射线 AObot l,BObot l 。则 angle AOB 的大小被称为二面角的大小。这个角叫做二面角的平面角。

大小是 dfracpi2 的二面角叫做直二面角。另一方面，两个平行的平面也被视为二面角，其大小规定为 0 。所以二面角大小的取值范围是 [0,pi] 。

由此可见，求二面角的大小就是求它的平面角的大小。我们求二面角时，需要做的是首先作出要求的两条直线以指出二面角的平面角；然后通过解三角形等技术求解平面角。

(2)平面与平面垂直

两个平面相交，一共形成四个二面角。如果平面 alpha,beta 形成的二面角中有一个大小是 dfracpi2 ，则称平面 alpha,beta 垂直，记为 alphabotbeta 。

接下来介绍平面与平面垂直的判定。首先，直二面角为 dfracpi2 是最直接的判定方法。

其次：

定理1.14 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么两个平面垂直。

用形式化语言表述为：

lbotbeta,lsubsetalphaRightarrow alphabotbeta 。

证明：回归定义。设 m=alphacapbeta ，则 msubsetbeta 。这时由 lbotbeta 得到 lbot m 。设 lcap m=O ，过 O 在平面 beta 上作 m 的垂线 n ，由 lbot beta 得到 lbot n 。这时候 l,n 的夹角为 dfracpi2 ，这就是 alpha,beta 形成的其中一个二面角的大小。 square

例3 在正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，证明平面 A_1BDbot 平面 ACC_1A_1 。

证明：正方体的条件告诉我们 AA_1bot 平面 ABCD ，所以 BDbot AA_1 ；另一方面， ABCD 是正方形，所以 BDbot AC 。而 AA_1,AC 相交，这样 BDbot 平面 ACC_1A_1 。而 BDsubset 平面 A_1BD ，故平面 A_1BDbot 平面 ACC_1A_1 。 square

下面是平面与平面垂直的性质。

定理1.15 设两个平面垂直，其中一个平面上有一条直线垂直于两个平面的交线。则这条直线垂直于另一个平面。

用形式化语言表述：

alphabotbeta,alphacapbeta =l,asubsetalpha,abot lRightarrow abotbeta 。

证明：设 acap l=P 。过点 P 在平面 beta 上作 l 的垂线 b 。这样 a,b 的夹角为直二面角的大小 fracpi2 ，即 abot b 。而 abot l,lcap b=P,l,bsubsetbeta ，故 abotbeta 。 square

例4 设平面 alpha,beta 和直线 a 满足 abotbeta,anotsubsetalpha,alphabotbeta 。证明 a/!/alpha 。

请大家自己绘制图示，并指出证明使用了哪些定理。

证明：作直线 bsubsetalpha,bbot l ，其中 l=alphacapbeta 。因为 alphabotbeta ，所以 bbotbeta 。而 abotbeta ，所以 a/!/ b 。因为 bsubsetalpha,anotsubsetalpha ，所以 a/!/alpha 。 square

• 练习题1.3

1.证明之前1.3.1说到的结果：夹角大小是与点 A 的选取无关的。

2.设直线 l,m,n 满足 lbot m,lbot n 。

(1)证伪 m/!/n ；

(2)设 m,n 共平面 alpha ，且 l/!/alpha ，证明 m/!/n 。

3.设正三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中， AB=AA_1 ， D 为 AC 中点。证明 BDbot AC' 。

4.证明定理1.12中的唯一性部分。

5.设直线 l,m 和平面 alpha 满足 l/!/m,lbotalpha 。证明 mbotalpha 。

6.(三垂线定理)设有两条直线，一条在平面上，一条是平面的斜线。证明，平面上的直线与斜线垂直的充要条件是它与斜线在平面上的射影垂直。

7.(三余弦定理)证明：平面上一条直线与平面的一条斜线夹角的余弦值，等于斜线与平面所成角的余弦值，乘以平面上的直线与斜线在平面上射影直线夹角的余弦值。

8.设 ABCD 是正方形， S 为平面 ABCD 外一点，满足 SDbot 平面 ABCD 。证明 ACbot 平面 BSD 。

9.(1)设直线 l 和平面 alpha 满足 l/!/alpha 。证明直线 l 上的点到平面 alpha 的距离都相等。这个距离叫做直线到平面的距离。

(2)设平面 alpha,beta 满足 alpha/!/beta ，证明平面 beta 上的点到平面 alpha 的距离都相等。这个距离叫做平行平面之间的距离。

10.证明垂直于同一条直线的两个平面平行。

11.求正四面体 ABCD 中，直线 DA 与平面 ABC 所成的角。

12.设平面 alpha,beta 满足 alphacap beta=l 。直线 msubsetalpha,nsubsetbeta 满足 mbot l,nbot l,mbot n 。证明 alphabot beta 。

13.设直线 a 和平面 alpha,beta 满足 a/!/alpha,abotbeta ，证明 alphabotbeta 。

14.已知一条直线和一个平面。证明过直线可以作唯一的平面与已知平面垂直。

15.设 A,B,C 为圆上三点， AB 为圆的直径。平面 ABC 外一点 P 满足 PAbot 平面 ABC 。证明平面 PACbot 平面 PBC 。

16.工人师傅用铅锤检测墙面是否与地面垂直。系著铅锤的细线悬挂在墙上，待其摇动平息之后观察，如果紧贴墙面则墙面垂直于地面。简述这个的原理。

17.设四面体 ABCD 中， ABbot BC,ABbot BD,BCbot CD 。找出结构中所有垂直的平面。

18.设平面 alpha,beta 满足 alphabotbeta ，设 alphacapbeta=l 和点 Oin l 。过 O 作直线 mbotbeta 。证明 msubsetalpha 。

19.(三正弦定理)设二面角 alpha-l-beta 的大小为 x 。设半平面 alpha 上一条直线与 l 的夹角是 y ，与平面 beta 所成的角是 z 。证明 sin z=sin xsin y 。

20.设四面体 P-ABC 中， PAbot 平面 ABC ，平面 PABbot 平面 PBC 。证明 BCbot 平面 PAB 。

21.设平面 alpha,beta 满足 alphabotbeta ，设 l=alphacapbeta 。如果直线 m 满足 m/!/alpha,mbot l ，证明 abotbeta 。

22.设平面 alpha,beta,gamma 满足 alphabotgamma,betabotgamma 。设 l=alphacapbeta ，证明经过 l 的任何平面与 gamma 垂直。

23.在直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中， angle ABC=dfracpi2 ， |AA_1|=|AB| 。证明 A_1Cbot AB_1 。

24.证明三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

25.设 ABCDABCD 是正方形， S 是平面 ABCD 外一点， |SA|=|SB|=|SC|=|SD|=sqrt 2|AB| 。设 P 为线段 SD 上的点，满足二面角 P-AC-D 的大小为 dfracpi 6 。证明 SDbot 平面 PAC 。

• 问题1.3

1.设四面体 P-ABC 中， PAbot PB,PBbot PC 。证明 PCbot PA 。

2.设边长为 2 的正方形纸片 ABCD 中， E,F 分别是 AB,BC 的中点。把两个三角形 DAE,FCD 分别沿着直线 DE,DF 折叠，使得点 A,C 重叠于一点 P 。求：

(1) BP 的长；

(2)二面角 B-PD-F 的大小。

3.证明面积射影定理：设二面角 alpha-l-beta 的大小是 thetainleft[0,dfracpi2right] ，半平面 alpha 上一个区域 Omega 的面积为 S>0 。过区域 Omega 的每一点作半平面 beta 的垂线，垂足组成图形 Omega' ，称为区域 Omega 在平面 beta 的射影。如果区域 Omega' 的面积是 S' ，则 costheta=dfrac{S'}{S} 。

1.4 空间几何体的性质(1)

以上的小节讨论的都是最基本的几何对象：点，直线，平面之间的关系。在这一小节我们要更上一层楼，讨论几何体。首先我们要认识几何体，然后根据几何体的定义讨论其性质。

1.4.1 认识空间几何体

空间几何体无穷无尽，但是我们还是可以从中找到一些特殊，具有较高研究价值的对象。

(1)多面体

多面体是指边界由若干个平面多边形组成的几何体。这些平面多边形叫做多面体的面，互相之间的公共线段叫做多面体的棱，棱的公共点叫做多面体的顶点。

一个多面角是指有公共端点的 n(ngeq 3) 条射线，以及相邻两条射线之间的平面区域构成的图形。这样多面体本身可以形成很多多面角。射线叫做多面角的棱，公共点叫多面角的顶点，平面区域叫做多面角的面。有 n 条棱的多面角叫 n 面角。相邻两条棱的夹角叫做多面角的平面角，相邻两个平面区域的夹角叫做多面角的二面角。显然，多面角全等可以推出它们的平面角和二面角都相等。

多面角

如果多面体所有的面都是全等的正多边形，且所有多面角都全等，则称多面体为正多面体。正多面体只有五种：正四面体，正六面体(正方体)，正八面体，正十二面体，正二十面体。它们的形状分别如下图所示。

五种正多面体

接下来介绍一些特殊的多面体。

a.棱柱

棱柱是指有两个面平行且全等，其余的面都是四边形，且这些四边形面的公共边互相平行的多面体。长方体就是棱柱。下面是另一种棱柱的图。

棱柱

两个平行的平面叫做棱柱的底面，其他的四边形面叫做侧面。四边形之间的公共边叫做棱柱的侧棱。可以发现侧面都是平行四边形。

侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；否则叫斜棱柱。

如果底面是 n 边形，就叫 n 棱柱；底面是正 n 边形的直棱柱叫做正 n 棱柱。底面是平行四边形的棱柱叫平行六面体。上面那个图是斜 5 棱柱，而下面的是平行六面体。

平行六面体

棱柱用底面来表示。假设某个棱柱的两个底面分别是 n 边形 A_1A_2cdots A_n,B_1B_2cdots B_n ，其中 A_k,B_k 之间有侧棱联结，那么棱柱表示为 A_1A_2cdots A_n-B_1B_2cdots B_n 。

b.棱锥

棱锥是多面角被一个平面所截得到的有限图形的内部和边界。平面被多面角截出的区域称为棱锥的底面，其余的面叫做棱锥的侧面，侧面的公共点叫做棱锥的侧棱，多面角的顶点叫做棱锥的顶点。

棱锥

如果底面是 n 边形，则称为 n 棱锥。特别地，底面是三角形的棱锥称为四面体。如果底面是正 n 边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称为是正 n 棱锥。

所有棱长相等的四面体叫正四面体。

棱锥用顶点和底面表示。如果顶点是 P ，底面是 n 边形 A_1A_2cdots A_n ，则棱锥记为 P-A_1A_2cdots A_n 。四面体的四个顶点都可以作为棱锥的顶点，所以四面体还有另一种记法。设一个四面体的四个顶点是 A,B,C,D ，则四面体记为 ABCD 。

c.棱台

用与棱锥底面平行的平面截棱锥，平面与底面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。侧面，侧棱的概念请大家自行写出。

下面是一张棱台的图。

棱台

底面和截面如果是 n 边形，则叫 n 棱台。上面的图是一个四棱台。

棱台也可以用两个底面表示，这和棱柱是一样的；为了区分在字母前面加上“棱柱”“棱台”的字样。

(2)旋转体

旋转体是指平面图形绕某一条直线旋转一周扫过的几何体。这条直线叫做旋转体的轴。下面介绍几种特殊旋转体。

a.圆柱

圆柱是指矩形绕其一边旋转一周扫过的几何体。这条边所在直线叫做圆柱的轴，垂直于轴的边扫过的部分叫做圆柱的底面，平行于轴的边扫过的部分叫做圆柱的侧面，这条平行于轴的边旋转得到的任何线段都叫做圆柱的母线。请大家在下面的图中画出或标出这些。

圆柱

圆柱用底面的圆心来标记。如果底面圆心分别为 O_1,O_2 ，则圆柱可以称呼为圆柱 O_1O_2 。

无论是圆柱还是棱柱都是柱体。柱体是指一个平面图形按照某一不在平面内的方向平移扫过的几何体。如果这个方向与平面垂直则叫正柱体，否则叫斜柱体。两个底面之间的垂线段叫做柱体的高。圆柱的母线和高一样长。

b.圆锥

圆锥是指直角三角形绕其一条直角边旋转扫过的几何体。这条直角边所在直线叫做圆锥的轴，其非直角顶点叫做圆锥的顶点。另一条直角边扫过的平面区域叫做圆锥的底面，斜边扫过的区域叫做圆锥的侧面。斜边旋转得到的每一条线段叫做圆锥的母线。直角边本身叫做圆锥的高。容易证明，圆锥的高垂直于底面。请大家在下面的图中标出这些。

圆锥

圆锥用顶点和底面圆心表示。如果圆锥的顶点是 S ，底面圆心是 O ，则圆锥记为 SO 。

无论是棱锥还是圆锥都是锥体。锥体是指平面图形上的点与平面外一点所连线段的并集。过这一点做的平面的垂线叫做锥体的高。

c.圆台

圆台是指圆锥被与底面平行的平面所截，底面与截面之间的部分。容易证明，截面依然是圆。请大家自行定义圆台的两个底面，侧面，母线并标注出它们。

圆台

圆台用两个底面圆的圆心标注，与圆柱类似。

一般的台体是指锥体被与锥体底面平行的平面所截，底面与截面之间的部分，台体的高则是指两个底面之间的垂线段。

d.球

三维空间中到一定点距离为定常数的点的集合叫做球。这个顶点叫做球心，定常数叫做球的半径。它也可以用旋转体来定义：一个半圆盘绕着它的直径旋转一周扫过的几何体。这两个定义显然等价。

球

球用球心表示。如果一个球的球心是 O ，则一般这个球就叫球 O 。

一个与球内部相交的平面把球分成两个部分，每个部分都叫做球缺，截面叫做底面。球缺的球面与底面的最远距离叫做球缺的高。

这些就是主要的几何体，我们对古典立体几何的讨论限于这些几何体和它们的组合体。

1.4.2 空间几何体的表面积和体积

这一节我们将会推导主要几何体的表面积和体积。需要的基本结果，一是长方体的体积公式

V=abc ，

其中 a,b,c 为三条棱长；二是下面的原理。

(1)祖暅原理

在公元 6 世纪，刘徽发现了我国数学著作《九章算术》中的一个错误。当时认为球的体积是同等高度和底面半径圆柱体体积的 dfrac 34 ，但是刘徽通过构造“牟合方盖”证明了这是错误的。然而，刘徽无法计算“牟合方盖”的体积，所以还是无法计算球的体积。

半个牟合方盖

祖暅解决了他的问题，计算出了牟合方盖的体积，更是得到了导出各种几何体体积的通法。这就是他的原理：

定理1.16(祖暅) 考察两个几何体。如果在这两个几何体的某种摆放方式下，作一系列平行的平面族，这些平面截两个几何体得到的平面区域的面积总是相等，且平面平行移动时截面同时出现同时消失，则这两个几何体体积相等。

考察几何体被平面所截，平面平行移动时有截面刚好出现和消失的平面，这两个平面的距离叫做几何体的势。上面的第二个条件的意思就是两个几何体的势相等。祖暅本人的原文是“幂势既同，则积不容异”，其中幂是指截面积。

这个原理需要使用微积分才能解释，这里暂且不表。这个原理好处在于，把我们所知不多的体积问题变成了熟悉的面积问题。关于牟合方盖和球的问题稍后再使用祖暅原理来讨论。

(2)柱体，锥体，台体的体积公式

我们从柱体开始。因为长方体就是特殊的柱体，所以可以利用长方体体积求出柱体体积来。

定理1.17 设柱体的底面积是 S ，高是 h 。则柱体的体积

V=Sh 。

证明：如图所示，作一个与柱体的底面积和高都相等的长方体。具体而言，设柱体的底面积是 S 。在底面所在平面作一个边长为 sqrt S 的正方形，并过四个顶点作底面的垂线，与另一个底面交于四个点。这四个点当然也组成正方形，得到长方体。

根据柱体的定义，任何一个平行于底面的平面截柱体得到的平面区域都是彼此全等的，所以柱体与长方体的截面积总是相等。而高相等，所以用平行于底面的平面截时两个几何体的势相等。由祖暅原理，两个几何体体积相等。

注意到长方体的体积符合 V=Sh ，所以一般柱体也符合。 square

接下来我们考虑锥体。这比柱体稍微麻烦一点，结论是：

定理1.18 设锥体的底面积为 S ，高为 h ，则体积

V=dfrac13 Sh 。

证明：我们需要两步解决这个问题。

1.证明底面积和高都相等的锥体的体积相等。

这个可以用祖暅原理证明，我们留作习题。

2.证明三棱锥(四面体)的体积是 V=dfrac 13 Sh 。

如图，以三棱锥 E-ABC 为基础作一个三棱柱 ABC-DEF 。具体作法是：过点 E 作平面 alpha/!/ 平面 ABC ，并分别过 A,C 作 BE 的平行线，与平面 alpha 分别交于点 D,F 。(请大家证明这确实作出了一个三棱柱。)

现在由柱体的体积公式，三棱柱的体积是 Sh 。三棱柱 ABC-DEF 由 E-ABC,A-DEF,A-FEC 三个四面体拼成，所以

Sh=V+V_{A-DEF}+V_{A-FEC} 。

因为三角形 DEF,ABC 是全等的，所以四面体 E-ABC,A-DEF 的底面积和高相等。所以 V_{A-DEF}=V 。

因为 BCFE 是平行四边形，所以三角形 BCE,FEC 是全等的。四面体 E-ABC 也可以以三角形 BCE 为底面，写成四面体 A-BCE 。这时候四面体 A-BCE,A-FEC 的底面积和高相等，得到 V_{A-FEC}=V 。

代入得 Sh=3V,V=dfrac 13 Sh 。

现在对于任意一个锥体，可以作三棱锥的底面积和高都与它相等。由上面两个结果就证明了命题。 square

最后证明台体的体积公式。

定理1.18 设台体的两个底面积为 S,S' ，高为 h ，则体积

V=dfrac13 left(S+sqrt{SS'}+S'right)h 。

证明：利用台体的定义转化为锥体来解决。假设两个底面中 S'<S 。根据台体的定义，把侧棱向着下底面 S' 方向延长，将会交于同一点 K ，从而台体体积就是两个锥体体积之差。

根据平面几何，两个底面图形是相似的，上下底面相似比是 k=sqrt{dfrac{S'}{S}} 。设点 K 到上下底面的距离分别是 h_1,h_2 ，则

h_1=kh_2,h=h_2-h_1 。

这说明

h_2=dfrac 1{1-k} h,h_1=dfrac k{1-k} h 。

从而由锥体体积公式

begin{align}V&=frac 13(Sh_2-S'h_1)/&=frac1{3(1-k)}(S-kS')h/&=frac13frac{sqrt{S^3}-sqrt{S'^3}}{sqrt S-sqrt {S'}}h/&=frac 13left(S+sqrt{SS'}+S'right)hend{align}

证毕。 square

我们注意到直柱体和斜柱体的体积都是一样的，只要底面积和高一样。这可以通俗地理解为：把一摞扑克牌推歪，扑克牌所占空间大小并没有发生变化。锥体和台体也类似，顶点与底面(两个底面)的相对位置关系在不影响底面积和高的大小情况下不影响体积。

特别地，如果限定是圆柱，圆锥，圆台，那么体积分别是

V=pi r^2 h,V=dfrac 13pi r^2 h,V=dfrac 13pi(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)h 。

前两个公式中的 r 是底面半径，而第三个的 r_1,r_2 是两个底面各自的半径。

(3)圆柱，圆锥，圆台的表面积公式

接下来我们讨论圆柱，圆锥，圆台的表面积。之所以不讨论一般柱体，锥体，台体的表面积，是因为一般情况底面图形没有确定，不方便给出具体的公式。

接下来我们通过展开图的方法来考察侧面的面积(底面都是圆，我们已经知道怎么计算了)。什么是展开图？实际上就是通过某种方法把曲面“铺开”在平面上得到的平面区域。这个所谓的铺开是可以严格定义的，我们这里因为缺乏知识不太方便讲。如果大学课程中涉及微分几何，那么就能学到这方面的严格内容。

古人使用竹简书写文字。当竹简卷起来的时候，一圈看起来像圆柱的侧面；当竹简铺开的时候则像平面。这样我们得到关于圆柱侧面展开的认识：圆柱侧面的展开图是矩形。

这个矩形的一条边长正是底面的周界，长度是 2pi r ；另一条边长是圆柱体的高，长度是 h 。所以加上两个底面圆，就得到

定理1.19 底面半径为 r ，高为 h 的圆柱的表面积为 2pi r(r+h) 。

接下来考虑圆锥。

圆锥的侧面展开图实际上是一个扇形。在剪纸活动中如果需要做圆锥，就先在纸上画一个扇形剪下来，然后把扇形的两条半径粘在一起，就成为了圆锥。如图所示。

这样就可以证明

定理1.20 底面半径为 r ，母线长为 l 的圆柱的表面积为 pi r(r+l) 。

证明：只要计算侧面面积。侧面是一个扇形，半径为 l ，弧长为底面圆的周长 L=2pi r 。根据扇形的面积公式，侧面面积为 frac 12 L l=pi rl 。所以总表面积为 pi r(r+l) 。 square

最后我们考察台体的表面积，结论如下：

定理1.21 两个底面半径为 r_1,r_2 ，母线长为 l 的圆台的表面积为 pi(r_1^2+r_2^2+(r_1+r_2)l) 。

证明留给读者。

(4)球的表面积与体积公式

球的问题比较复杂，事实上无论是东方还是西方，早期都为如何求解球的几何量而头疼。东方的刘徽和西方的阿基米德(Archimedes)分别提出了准确度量球体积的方法，前者在上面已经介绍，而后者则是使用了圆柱和圆锥作为过渡。下面我们先介绍证明球体积公式的方法，然后用它来推导球的表面积公式。

定理1.22 设球的半径为 r 。则球的体积

V=dfrac 43pi r^3 。

证明(主要为阿基米德贡献)：如图。考虑一个半球，它的体积是 dfrac 12V 。构造一个底面半径和高都与球的半径 r 相等的圆柱，并像这样挖去一个圆锥。

下面我们证明半球的体积与右边这个几何体体积相等。首先由定义，在与灰色平面平行的平面族意义下，两个几何体的势相等。其次，任意找一个与灰色平面平行的平面截半球和右边的几何体，设这个平面与灰色平面的距离是 d 。截面与半球相交得到一个圆(我们之后会证明这一点)，这个圆的半径可以用勾股定理计算： rho=sqrt{r^2-d^2} ，所以面积为 pi rho^2=pi(r^2-d^2) ；另一方面，另一个几何体被平面截得到圆环，内圆的半径容易根据相似关系得到是 d ，外圆半径是 r ，所以圆环面积为 pi(r^2-d^2) ，二者相等。这样二者截面积总是相等，由祖暅原理知半球的体积与另一个几何体体积相等。另一个几何体的体积可以直接计算：

V'=pi r^2cdot r-dfrac 13pi r^2 cdot r=dfrac 23pi r^3 。

而 dfrac 12V=V' ，所以 V=dfrac 43pi r^3 。 square

证明*(刘徽，祖暅)：考虑一个牟合方盖，它的边是两个互相垂直，半径相等的圆周，与两个圆周交点垂直的平面截牟合方盖总是得到正方形。

经过中截面的中点的两条曲线是圆，经过顶点的是椭圆

考察它的内切球。这个内切球的每一个截面都是牟合方盖对应的截面正方形得内切圆，如图。

这样利用祖暅原理得到球的体积与牟合方盖的体积之比是 pi:4 。接下来需要求牟合方盖的体积，方法与阿基米德是类似的，见习题。 square

接下来我们考虑球体的表面积。球体的表面是无法平面展开的，如果把球体剪开铺在平面上，一定会翘起来一个角。这样我们无法使用展开图的方法求解。下面我们使用一种特别的方法，从球体的体积推导球体的表面积。

定理1.23 半径为 r 的球的表面积为 S=4pi r^2 。

证明(不够严谨)：如图，把球面按照经纬线的方式分成很多小块，假设是 n 块，第 i 块的面积为 S_i 。则 displaystylesum_{i=1}^n S_i=S 。

当每一块分得足够小，上图中对应的每一个几何体都近似为锥体。第 i 个锥体的底面积约为 S_i ，半径约为 r ，所以体积 V_iapproxdfrac 13 r S_i ，从而

displaystyle Vapproxsum_{i=1}^n V_i=frac 13 rsum_{i=1}^n S_i=frac 13 rS 。

当 n 趋于无穷大时，近似造成的误差趋近于零。所以 V=dfrac13r S 。而 V=dfrac 43 pi r^3 ，所以 S=4pi r^2 。 square

因为没有学习微积分所以证明只能做到这样了。不过，证明的精神都在里面。

• 练习题1.4

1.判断下列命题是否正确。

(1)棱柱至少有 5 个面。

(2)棱台的棱个数为 3 的倍数。

(3)正十二面体一共有 12 个顶点。

(4)圆柱是指一个圆沿着不与圆所在平面平行的某个方向平移扫过的几何体。

(5)正八面体两个最远顶点之间的距离是棱长的 sqrt 2 倍。

(6)圆锥的母线长的平方等于底面半径和高的平方和。

(7)圆台的侧面展开图是梯形。

(8)棱台的每一个侧面都是梯形。

2.用非旋转体的方式定义圆锥。

3.求正四面体的每一个二面角大小。

4.生活中我们经常遇见轮胎。请问类似轮胎和甜甜圈的几何体是由什么样的图形旋转一周得到的旋转体？

5.圆台是怎样的旋转体？

6.设直角三角形的直角边长分别为 3,4 。求直角三角形围绕斜边旋转一周得到的旋转体表面积和体积。

7.不使用锥体的体积公式，证明底面积和高都相等的锥体体积相等。

8.证明定理1.21。

9.有一种悠悠球可以看做两个滚轮和中间的支柱的结合体。假设两个滚轮都是圆台，底面半径分别为 r_1<r_2 ，高为 h 。中间的支柱是圆柱，底面半径为 r_0<r_1 ，高为 d 。圆柱底面总是与圆台比较小的底面叠合。求这个几何体的表面积和体积。

10.一个正方体沿着相邻三个面的对角线截走一个棱锥。求截取部分与剩下部分体积的比。

11.一个三棱柱容器 ABC-A_1B_1C_1 中，侧棱 AA_1=8 。现在在其中装入一些水，封住开口，并把平面 AA_1B_1B 放在桌面上。这时水面经过线段 AC 的中点。

(1)证明水面经过 BC,A_1C_1,B_1C_1 的中点；

(2)现在把底面 ABC 放在桌面上，求水面的高度。

12.有一堆规格相同的铁质螺母，总质量为 5.8ce{kg} 。每一个螺母的底面为正六边形，边长 12ce{mm} ；内孔直径为 10ce{mm} ，高为 10ce{mm} 。

已知铁的密度为 7.9times 10^3ce{kg/m^3} ，求这一堆螺母大概有多少个？(使用计算工具。)

13.利用祖暅原理证明：设球的半径为 R ，从这个球截出的某个球缺的高为 H<dfrac R2 ，则球缺的体积为 V=pi H^2left(R-dfrac H3right) 。

14.下图是牟合方盖的一半，其底面是边长为 2a 的正方形，高是 a ，通过相对两边的中点且与底面垂直的平面截这个几何体得到的是半圆，且平行于底面的平面截得到正方形。用祖暅原理求解这个几何体的体积。

15.设圆锥的底面半径为 R ，高为 h 。某个含于圆锥的圆柱满足：其中一个底面是圆锥底面的同心圆，另一个底面的边界在圆锥侧面内。求这个圆柱侧面积的最大值。

16.求在正 n 棱锥中，相邻两个侧面所成的二面角的取值范围。

17.在三角形 ABC 中， C=dfracpi2,B=dfracpi6,|AC|=2 。 M 是 AB 的中点。将三角形 ACM 沿着 CM 折叠，使得 |AB|=2sqrt 2 。求三棱锥 A-BCM 的体积。

18.设正三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的棱长都是 a ， D 为 AB 中点。

(1)证明 BC_1/!/ 平面 A_1DC ；

(2)求直线 BC_1 到平面 A_1DC 的距离。(注意：可以转化为四面体体积)

19.设一个正方体的所有顶点都在同一个球体上。已知正方体边长为 a ，求球体的表面积和体积。

• 问题1.4

1.已知 cos 36^circ=dfrac{sqrt 5+1}4 。求正二十面体的每一个二面角。

2.利用定理1.23中的方法推导球缺的表面积公式。

3.设四面体 ABCD 内部有一点 O ， OA,OB,OC,OD 分别与对面交于点 A',B',C',D' 。用体积方法证明：

displaystylefrac{OA'}{AA'}+frac{OB'}{BB'}+frac{OC'}{CC'}+frac{OD'}{DD'}=1 。

1.5 空间几何体的性质(2)

这一节致力于继续深挖空间几何体的其他性质；我们主要关注立体几何的两大基本对象：球和四面体。在探索中会大量使用1.1-1.3节的知识。

1.5.1 球

球是指空间中到一定点距离为不大于定长的点的集合，其边界叫做球面或者球。边界就是到一定点距离等于定长的点的集合。这是圆在三维空间中的自然推广。

在平面几何中我们知道，不共线的三个点唯一确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心。在立体几何中有类似的结论：

定理1.24 空间中不共面的四点唯一确定一个球。

证明：先证明一个引理。

回到原题。

存在性 考察四个不共线的点 A,B,C,D 。三角形 ABC 的外心设为 O_1 ，三角形 DBC 的外心设为 O_2 ， BC 的中点设为 E 。

在平面 O_1O_2E 内作两条直线 OO_1bot O_1E,OO_2bot O_2E ，二者交点是 O 。注意到外心的定义，我们有 O_1Ebot BC,O_2 Ebot BC ，所以 BCbot 平面 O_1O_2E 。

注意到 OO_1subset 平面 O_1O_2E ，所以 BCbot OO_1 ，又 BCbot O_1E ，且二者有交点 BCcap O_1E=E ， BC,O_1Esubset 平面 ABC ，故 OO_1bot 平面 ABC 。由引理知 |OA|=|OB|=|OC| 。同理， |OD|=|OB|=|OC| 。这样

|OA|=|OB|=|OC|=|OD| ，

得到一个球 O 。

唯一性 如果四个点确定一个球 O ，那么 |OA|=|OB|=|OC|=|OD| 。根据引理，它是四个三角形 ABC,BCD,CDA,DAB 的外心引出的与各自平面垂直的直线的交点。因为两点唯一确定一条直线，这样的点至多有一个。

证毕。 square

这个球也叫作四面体 ABCD 的外接球，球心 O 叫做四面体的外心。

接下来我们考察平面截球体的问题。如果平面与球没有交点，称为平面与球相离；如果恰有一个交点，称为相切，公共点称为切点；其余情况称为相交。

定理1.25 球体被任何平面所截，截面是一个圆。

这在前面的一些证明中用作理论依据。

证明：设球 O 被平面 alpha 所截，球面与平面的交集设为曲线 C 。作 PObot alpha ，垂足是 P ；并取 Qin C 。因为 Q 在球面上，所以 |QO|=r 为半径。由垂直的定义和 PQsubsetalpha 得到 PObot PQ ，所以由勾股定理知道

|PQ|=sqrt{r^2-|OP|^2}

为定值。

所以 C 的点都在一个圆心为 P ，半径为 d=sqrt{r^2-|OP|^2} 的平面 alpha 的圆 gamma 上。

下面证明这个圆上的点都是球面与平面交集中的点，从而 C 就是圆 gamma 。任取点 Ringamma ，则 |PR|=d 。而 OPbot PR ，由勾股定理知道

|OR|=sqrt{d^2+|OP|^2}=r ，

所以 R 在球面上，也就得到结果。 square

球体被平面所截，得到的圆有两种。如果平面经过圆心，称截得的圆为大圆；否则称为小圆。大圆的半径是所有截面圆中最大的。下面的定理是反过来的结论。

定理1.26 设球 O 的一个小圆是圆 O_1 ，则 OO_1 垂直于圆 O_1 所在平面。

证明：作圆 O_1 的内接矩形 ABCD ，则 O_1 是 AC,BD 的中点。注意到 |OA|=|OC| ，所以 triangle OO_1Acong triangle OO_1C 。这样

angle OO_1A=angle OO_1C=dfracpi2 ，

得到 OO_1bot AC 。同理， OO_1bot BD 。因为 ACcap BD=O_1 ，所以 OO_1bot 平面 ABCD 。 square

请大家自己画图。

前面是相交关系的定理，接下来我们看看相切关系如何。下面的结论实际上是定理1.26的相切版本。

定理1.27 设平面 alpha 与球 O 相切，切点为 P ，则 OPbotalpha 。

证明留给读者。

以上是平面与球的关系问题。下面我们考察直线与球的关系。如果一条直线与球没有公共点，称为直线与球相离；如果恰好有一个公共点，称为相切，公共点称为切点；其余情况称为相交。如果直线与球相交，过直线作一个平面，这个平面与球的交集是一个圆，而直线与圆有两个交点；所以与球(面)也是有两个交点。

定理1.28 设直线 l 与球 O 相切，切点是 P ，则 OPbot l 。

证明留给读者。

最后我们考虑一下球中的线段关系问题。设球 O 的半径是 r ， P 为空间中一点。我们称 |OP|^2-r^2 的绝对值为 P 关于球 O 的幂。

定理1.29(球幂定理) 设 P 是不在球 O 球面上的点，过 P 作一条直线 l 与球面交于两点 S,T ；则 |PS|cdot |PT| 等于 P 关于球 O 的幂。(如果相切，设切点是 K ，则换成 |PK|^2 )

证明：如图，我们证明 P 在球外且直线与球相交，不经过圆心的情况。这时 |PO|>r 。其余情况将会在习题中出现。

考虑直线 l 与球心 O 确定的平面，它与球面相交得到大圆，点 S,T 都在圆上。

现在设 A 为 ST 中点，由圆的性质知道 AObot ST 。这样由 |AS|=|AT| 得

begin{align}|PS|cdot|PT|&=(|PA|-|AS|)(|PA|+|AT|)/&=|PA|^2-|AS|^2/&=(|PO|^2-|AO|^2)-(|SO|^2-|AO|^2)/&=|PO|^2-r^2end{align}

就是 P 关于球 O 的幂。 square

根据这个定理我们可以轻松得到球的相交弦定理，切割线定理和割线定理。这个都留给读者。

1.5.2 四面体

接下来我们讨论四面体。四面体是四个不共线的点两两相连得到四个平面，这四个平面围成的几何体。四面体的棱可以分为三组，每一组的两条棱异面，称为一组对棱。这种几何体的地位就如同平面几何中的三角形，是非常重要的。

(1)四面体的外心

之前已经提到，四面体有一个唯一的外接球，这个球的球叫做四面体的外心。前面导出外心的定理证明已经告诉我们，四面体的外心在对应面上的射影是对应三角形的外心。外心还有一种刻画方式，那就是：外心是四面体六条棱的垂直平分面的交点。线段的垂直平分面是指经过线段中点的垂面。

关于怎么求外接球的半径，是一个比较困难的问题；这里提出一个通用的算法，这也许可用。

在四面体 ABCD 中，首先设法求出一个二面角，比如 A-BC-D ；设三角形 ABC,DBC 的外心分别是 O_1,O_2 ，四面体外心是 O ； BC 中点是 E 。则 OO_1EO_2 成为一个圆内接四边形， OE 是圆的直径。利用平面几何求出 O_1E,O_2E ，然后根据之前求的二面角可以解三角形 O_1O_2E ，因为二面角的平面角是 angle O_1EO_2 ；从而得到外接圆直径 OE 。最后外接球半径

R=|OC|=sqrt{|OE|^2+|EC|^2}=sqrt{|OE|^2+dfrac 14|BC|^2} 。

(2)四面体的内心

三角形的内心是指三条角平分线的交点；那么四面体的内心是什么呢？我们现在来定义。

设一个半平面经过某个二面角的棱，并且把这个二面角分为两个相等的二面角，则称这个平面为二面角的角平分面。四面体有六个二面角，所以也有六个对应的角平分面。

引理1.30 角平分面上的点到二面角两个半平面的距离相等。

我们只要把三维的角平分面问题转化为二维的角平分线问题。

证明：设二面角 alpha-l-beta 中，点 P 为角平分面 gamma 上的点。过 P 分别向半平面 alpha,beta 作垂线，垂足分别是 H,K 。只要证明 |PH|=|PK| 。设平面 HPK 与直线 l 交于点 S 。注意到 PHbotalpha,lsubsetalpha ，所以 lbot PH 。同理 lbot PK 。这样得到 lbot 平面 HPK 。

因为 SH,SP,SKsubset 平面 HPK ，所以 lbot SH,lbot SP,lbot SK 。 从而 angle PSH,angle PSK 分别是二面角 alpha-l-gamma,gamma-l-beta 的平面角。根据角平分面的定义，得到 angle PSH=angle PSK 。从而 PS 平分 angle HSK 。

由于 PHbotalpha,SHsubsetalpha ，所以 PHbot SH 。同理 PKbot SK 。由角平分线的性质知道 |PH|=|PK| 。 square

这个定理的逆定理也成立，即到两个半平面距离相等的点位于二面角的角平分面上。请大家自行证明这一点。

引理1.31 三面角的三个角平分面共线。

请大家自己画图。

证明：设三面角顶点是 O ，棱分别是射线 OA,OB,OC 。二面角 B-OA-C,A-OB-C 的角平分面必然有一条交线 l ，因为这两个平面有公共点 O 。任取 Pin l ，由引理1.30知道 P 到平面 OAB,OBC,OCA 的距离相等；特别地，到平面 OBC,OCA 的距离相等，由引理1.30的逆定理知 P 在二面角 A-OC-B 的角平分面上。所以三个平面有交线 l 。 square

接下来我们证明主要结果。

定理1.32 四面体的六个角平分面有唯一的交点，这个交点到四个面的距离相等，称为四面体的内心；过内心可以作一个球与四面体的四个面都相切，称为四面体的内切球。

证明：唯一性 假设有一个点 I 到四面体 ABCD 的四个面距离相等，由引理1.30的逆定理知道 I 在六个二面角的角平分面上。根据引理1.31， I 是四个四面体的三面角对应的直线的交点，这样的点至多一个。

存在性 四面体 ABCD 中 A 对应的三面角，其三个二面角的角平分面根据引理1.31，共线 l ， l 显然穿过三角形 BCD 内部；而二面角 A-BD-C 的角平分面当然穿过线段 AC ，所以一定与 l 有交点。设交点为 I ，由引理1.30可知 I 到四面体的四个面距离相等。 square

内心的一大主要性质是，它可以用于计算四面体体积；当然也可以倒过来，通过计算体积得到内切球半径。

定理1.33 设四面体的内切球半径是 r ，表面积是 S ，则四面体的体积

V=dfrac 13 rS 。

证明：用体积法。设四面体 ABCD 的内心为 I ，我们有体积关系

V=V_{I-ABC}+V_{I-BCD}+V_{I-CDA}+V_{I-DAB} ，

为四个三棱锥体积之和。

这四个三棱锥的高都是内切球半径 r ，从而

V=frac 13 r(S_{triangle ABC}+S_{triangle BCD}+S_{triangle CDA}+S_{triangle DAB})=frac 13r S 。 square

对于其他存在内切球的几何体，也可以推导出类似的公式。

另外我们有下面角平分面的一个性质定理，证明可以用体积法，留作习题。

定理1.34 设四面体 ABCD 中，二面角 D-AB-C 的角平分面与线段 DC 交于点 E ，则 dfrac{|DE|}{|EC|}=dfrac{S_{triangle DAB}}{S_{triangle ABC}} 。

(3)四面体的重心

我们继续前进，得到四面体的更多性质。首先复习一下需要用到的平面几何：

三角形的中线是指三角形一个顶点到对边中点的连线段。三条中线交于同一点，这点叫做三角形的重心。设三角形 ABC 中， AD 是一条中线， G 是三角形的重心，则 dfrac{|AG|}{|GD|}=2 。

接下来证明主要的定理。定义四面体的中线为一个顶点与对面重心的连线段。

定理1.35 四面体四条中线交于同一点，这一点叫做四面体的重心。设四面体 D-ABC 中， DK 是一条中线， G 为四面体重心，则 dfrac{|DG|}{|GK|}=3 。

证明：如图。要证明四条中线交于一点，我们先证明三条中线交于一点，这样因为四面体的四个点地位相同，没有特殊的点，所以我们可以同理得到另外几组三条中线交于一点，从而得到结果。

设四面体 D-ABC 中， D_1,D_2,D_3 分别是 BC,CA,AB 的中点，则三条中线交于同一点 X ，是三角形 ABC 的重心。这样 DX 是四面体的一条中线。设 Y 为三角形 DAC 的重心，则 Y 在中线 DD_2 上。这样 BY 也是四面体的一条中线。注意 DX,BYsubset 平面 BDD_2 ，所以它们显然相交，设交点是 G 。注意 Gin 平面 DCD_3 ，所以 CG 与平面 ABD 的交点在 DD_3 上。

设交点是 Z ，我们证明 Z 是三角形 ABD 的重心，从而 CZ 是一条中线，得到三条中线交于一点 G 的结果。由平面几何，这只要证明 dfrac{|DZ|}{|ZD_3|}=2 。这已经几乎全是平面几何问题了，我们分两步证明。

第一步：计算 dfrac{|DG|}{|GX|} 。根据三角形重心的性质，有 dfrac{|BX|}{|XD_2|}=2=dfrac{|DY|}{|YD_2|} 。

在平面 BDD_2 中，过 X 作 BY 的平行线与 DD_2 交于点 E 。这时候

dfrac{|YE|}{|ED_2|}=dfrac{|BX|}{|XD_2|}=2 。

从而 |YE|=dfrac23|YD_2| 。而 dfrac{|DY|}{|YD_2|}=2 ，所以 dfrac{|DY|}{|YE|}=dfrac 32cdotdfrac{|DY|}{|YD_2|}=3 。

因为 GY/!/XE ，所以 dfrac{|DG|}{|GX|}=dfrac{|DY|}{|YE|}=3 。

第二步，计算 dfrac{|DZ|}{|ZD_3|} 。根据三角形重心性质，有 dfrac{|D_3X|}{|XC|}=2 。

在平面 DD_3C 中，过 G 作 D_3C 的平行线，与 DD_3 交于点 F 。则由平行：

dfrac{|DF|}{|FD_3|}=dfrac{|DG|}{|GX|}=3 。

同时， dfrac{|FG|}{|D_3X|}=dfrac{|DG|}{|DX|}=dfrac 34 ，所以

displaystylefrac{|FG|}{|D_3C|}=frac{|FG|}{|D_3X|}cdotfrac{|D_3X|}{|D_3C|}=frac 34times frac 13=frac 14 。

继续由平行关系，这得到 dfrac{|ZF|}{|ZD_3|}=dfrac{|FG|}{|D_3C|}=dfrac14 。令 |ZF|=a ，则 |ZD_3|=4a,|FD_3|=4a-a=3a 。而 |DF|=3|FD_3|=9a ，所以 |DZ|=|DF|-|ZF|=8a 。而 |ZD_3|=4a ，所以

dfrac{|DZ|}{|ZD_3|}=dfrac{8a}{4a}=2 。

证毕。 square

大家可以梳理一下这个证明的思路。

(4)四面体的垂心

有了外心，内心和重心，我们自然要模仿三角形的情况寻找四面体的垂心。但是不幸的是，四面体的四条高并不交于一点，也就是说不是任何四面体都存在垂心。如果一个四面体的四条高交于一点，我们称这个四面体是垂心四面体。垂心四面体有很不错的性质。

定理1.36 一个四面体是垂心四面体的充要条件是，这个四面体的三组对棱分别垂直。

证明：必要性 留作习题。

充分性 如图，设四面体 ABCD 的三组对棱分别垂直。下面将大量使用平面与直线垂直的判定与性质。

作 AEbot BC ，垂足是 E 。我们注意到 ADbot BC ，所以 BCbot 平面 ADE 。这样 DEbot BC 。作 CFbot AB ，垂足是 F 。同理可以证明 ABbot 平面 CDF ，所以 ABbot DF 。设 U 为 AE,CF 的交点。则 U 为三角形 ABC 的垂心。因为 DUsubset 平面 ADE ，所以 DUbot BC ；因为 DUsubset 平面 CDF ，所以 DUbot AB 。这样得到 DUbot 平面 ABC ，是四面体的一条高。

同理，我们作 AKbot BD ，垂足为 K ，则 BDbot 平面 ACK ； AK 与 DF 交于点 V ，则 V 是三角形 ABD 的垂心，且 CVbot 平面 ABD ，得到 CV 也是一条高。这时候 AU,CVsubset 平面 CDF ，所以一定有交点，设为 H 。

下面证明 AHbot 平面 BCD 。因为 AHsubset 平面 ADE ，所以 AHbot BC (回忆 BCbot 平面 ADE )；因为 AHsubset 平面 ACK ，所以 AHbot BD 。这样就得到 AHbot 平面 BCD 。同理， BHbot 平面 ACD 。这样 H 就是四面体四条高的交点，四面体是垂心四面体。

证毕。 square

实际上，上面的定理还可以改得更加实用一些。如果只知道四面体有两组不同的对棱分别垂直，那么可以推出第三组对棱也垂直。这个留作习题。

另外，通过证明过程也可以得到

定理1.37 垂心四面体的任意一个顶点到对面的射影是对面三角形的垂心。

垂心四面体还有别的优良性质，这里要介绍的性质对线段长度更加重视。

定理1.38 四面体 ABCD 是垂心四面体的充要条件是

AB^2+CD^2=AD^2+BC^2=AC^2+BD^2 。

根据定理1.36，这直接由下面的引理得到：

引理1.39 四面体 ABCD 中， ACbot BD 的充要条件是

AB^2-AD^2=BC^2-CD^2 。

证明：为了方便我们只证明必要性。充分性思路是完全一样的，只不过要使用同一法。

设 ACbot BD ，作 BEbot AC ，垂足是 E 。这样由 BDbot AC 得到 ACbot 平面 BED ，从而 DEbot AC 。

这时候由勾股定理， AB^2=AE^2+BE^2,AD^2=AE^2+DE^2 。所以

AB^2-AD^2=BE^2-DE^2 。

同理， BC^2-CD^2=BE^2-DE^2 。所以命题成立。 square

在习题中我们可以得到四面体的更多性质和应用。

• 练习题1.5

1.证明定理1.27和定理1.28。(提示：尝试转化为平面相切问题。)

2.证明引理1.30的逆定理。

3.证明定理1.34。

4.证明引理1.39的充分性部分。

5.在四面体 ABCD 中， ABbot AD,ACbot BD 。证明 ADbot BC 。

6.设四棱锥 P-ABCD 中， APbot 平面 ABCD ，三角形 ABC 是正三角形，三角形 ACD 是等腰直角三角形， angle CDA=dfracpi2 。设球 O 为四面体 PCDA 的外接球，与直线 BD 的另一交点是 Q 。如果 |PA|=|AD|=1 ，求(1)球 O 的半径；(2) |BQ| 的长度。

7.证明：任何球的内接长方体，其体对角线必定是球的直径。

8.设球 O 的半径是 10 ，有两个平面与点 O 的距离分别是 6 和 8 。求(1)以两个截面为上下底面的台体体积；(2)球 O 夹在这两个平面之间的部分的体积。(提示：参见练习题1.4的13题)

9.叙述球的相交弦定理，切割线定理和割线定理。

10.设四面体 PABC 中， PA,PB,PC 两两垂直。证明：

S_{triangle ABC}^2=S_{triangle PAB}^2+S_{triangle PBC}^2+S_{triangle PCA}^2 。

11.设 G 是四面体 ABCD 的重心，证明四个四面体：

GABC,GBCD,GCDA,GDAB

的体积都相等。

12.设 ABCD 是一个正方形， E,F 分别是 AB,CD 的中点。平面 ABCD 外一点 P 满足 PEbot CD 。

(1)证明平面 PEFbot 平面 ABCD ；

(2)求所有的点 P 的位置，使得直线 AB 上存在一点 Q ，满足四面体 PQCD 是垂心四面体。

13.设 P-ABC 为正三棱锥。证明三棱锥的内心和外心在三棱锥过 P 点的高上。

14.在正三棱锥 P-ABC 中， AB=sqrt 3,PA=dfrac{sqrt{15}}2 。设三棱锥的内切球与平面 PAB 相切于点 E 。设 CE 与内切球的另一个交点是 F ，求(1)内切球的体积；(2) |EF| 的长度。

15.证明正四面体的外心，内心，重心和垂心是同一个点。

16.设四面体 ABCD 中，

|AB|=|AC|=5,|DB|=|DC|=4,|BC|=6,|AD|=x 。

求四面体外接球半径与 x 的函数关系式。

17.设垂心四面体 ABCD 满足其垂心与重心重合。证明四面体 ABCD 是正四面体。

18.设垂心四面体 ABCD 满足其三组对棱分别相等。证明四面体 ABCD 是正四面体。

19.设四面体 ABCD 的重心为 G 。

(1)平面 ABG 把四面体分割成两个部分，求两个部分的体积之比。

(2)过 G 与平面 ABC 平行的平面把四面体分割成两个部分，求两个部分的体积之比。

20.已知四面体的外接球半径为一定值 R ，求这个四面体体积的最大值。

• 问题1.5

1.设垂心四面体某一个面的三条棱为 a,b,c ， c 的对棱为 d 。证明四面体的体积为：

V=dfrac16sqrt{4(c^2+d^2)p(p-a)(p-b)(p-c)-a^2b^2c^2} ，

其中 p=dfrac12(a+b+c) 。

2.设 G 是四面体 ABCD 的重心，证明 |GA|^2+|GB|^2+|GC|^2+|GD|^2 是所有棱长平方和的 dfrac 14 。

• 第一章复习提要

1.立体几何的三大基本元素是哪三个？关于它们有哪些公理和定理？

2.证明线线，线面，面面平行时可以怎样做互相转化？垂直呢？可以画一个流程图，不同的框之间画箭头标上转化方法。

3.本书提到了哪些几何体？描述这些几何体，并分别画一个草图。

4.怎么求简单几何体的表面积和体积？画一个表格列出这些各自的公式。

5.上面说的表面积和体积是怎么推导出来的？

6.球具有哪些几何性质？球与平面和直线的关系怎样？

7.写出四面体的四个“心”的定义以及相关的定理。