“香蕉球”又称“弧线球”，一个完美的香蕉球可以成功地绕过人墙，在守门员以为球会飞到球门外时直入球门。除了香蕉球，还有更出人意料的“电梯球”，在大家以为球会飞过横梁时，却以落叶的姿态掉入球门。

足球被踢出后，不应该是以抛物线的轨迹运动吗？足球的运动除了受到重力和空气的阻力，还受到了其他什么力呢？

首先聊聊“香蕉球”

先放一个梅西踢出的香蕉球

下面是巴西球星卡洛斯踢出的高速香蕉球

那么香蕉球的原理是什么呢？

从流体力学来讲，可以用Bernoulli定律来解释。根据Bernoulli定律，在不考虑流体势能的情况下，流体的动能和压能的和是一个固定值，当流体速度增大时，其压力会降低。反而，当流体的速度降低时，其压力会升高。生活当中，如果你将两张打印纸平行放置在面前，然后用嘴吹中间的夹缝，会发现两张纸会向一起靠，这就是空气流速造成纸张两侧压力不一样引起的。在足球运动中，高速前进的球体如果其自身带有旋转，那么就会造成球的两侧空气速度不一样，空气流速高会造成压力降低。球在旋转时，一侧靠旋转带动空气运动的方向和空气相对于球体位移的流动方向相同，而球的另一侧正好相反。球的位移运动和旋转运动的叠加造成了两侧空气流速不同，形成压力差。球两侧的压差成为了弧线轨迹的向心力。

图片来源于维基百科

这种现象被称为马格努斯效应（Magnus Effect），德国物理学家Heinrich Magnus于1852年描述了这种现象。对于一个旋转的飞行球体，其运动方程可以描述为

mvec{a}=mvec{g}-C_Dfrac{pi R^2}{2}rho uvec{u} + C_Lpi R^3 rho Omega times vec{u}

其中C_L是升力系数，C_D是阻力系数。 是角速度。

搞清楚了足球飞行过程中的受力原理，你是不是也想跃跃欲试踢出一脚香蕉球呢？只要踢球时控制好脚背内侧的摩擦，使球飞出时带有一定的旋转，就可以做到。

聊完香蕉球，接下来聊聊“电梯球”。讲到电梯球，必须要提到边界层的问题。边界层是流体贴近壁面的不可忽略的粘性底层。那么，

流体边界层的影响有多大？

如果将球体外部的粘性力 mu nabla^2vec{u} sim mu u / delta^2 与惯性力 vec{u}cdotnablavec{u}sim u^2/R 相比较，可以得到边界层厚度 deltasim R cdot Re^{-1/2} 。对于足球来说，其特征边界层的厚度约为0.1mm。作用在球体表面的粘性剪切力大约为 mu u pi R^2/delta 。实际上，这种粘性力完全是可以忽略的。足球的阻力主要来源于粘性边界层的分离，形成了压差造成的曳力pressure drag。

图片来源于Henri Werlé, the French Aerospace Lab

随着空气流速的增大，球体边界层分离的位置会发生变化。当Re大于2×10^5时，球的pressure drag会迅速下降。

图片来源于NASA

球员使用脚背内侧踢出旋转极小的球，当球飞到球门前突然变线下坠S型轨迹，这被称为“电梯球”。电梯球就是利用了pressure drag随着速度变化的原理。下图是贝尔踢出的电梯球。

多谢网友指正，这个球确实是贝尔踢的，Best goal from Real Madrid’s 4-1 win over Galatasaray.

本文图片均来源于互联网

参考文献：Bush, John WM. "The aerodynamics of the beautiful game." (2013).