本文将简单的利用麦克斯韦同志的杰出理论肤浅的讲解一下趋肤效应。

0.引子

假设有一个图1所示的圆柱形导体，其中有电流的分布，该分布是连续的但是可以不是均匀的。我们考虑把它分割成图1(c)、(d)所示的两部分，这种分割要求通过两部分截面的总电流满足 i_1=i_2=frac{1}{2}i 。

图1 (a)一个圆柱导体中有连续电流；(b)这个导体的横截面。导体外部边缘磁感应强度为B_2，内部某个位置的磁感应强度为B_1，这个位置的选取满足该位置内外的电流相等；(c)和(d)把该导体按照(b)图B_1位置分为实心圆柱和空心圆柱外壳两部分，(c)图中实心部分对磁场B_1和B_2都有贡献而(d)图外壳只贡献B_2。

现在我们考察两部分电流对磁场的贡献。安培环路定理或者麦克斯韦方程中的 nablatimes boldsymbol{B}=muboldsymbol{J}给出了电流与磁场的联系：

ointboldsymbol{B}cdotboldsymbol{dl}=mu_0sum I

由此可以看出：

• oint_{C_1}boldsymbol{B}_1cdotboldsymbol{dl}=mu_0i_1 ，只有小实心圆柱中的电流 i_1 才对 B_1 有贡献，空心圆柱外壳则没有；
• oint_{C_2}boldsymbol{B}_2cdotboldsymbol{dl}=mu_0i_1+mu_0i_2 ，电流 i_1和i_2 对整个导体截面外的磁场（包括但不限于 B_2 ）有相等的贡献。

由此可以得出：实心圆柱体对应的电感 L_1和圆柱外壳的电感 L_2 （将导体截面外的磁场简单的用B_2代替）：

L_1=frac{varPhi_1+varPhi_2}{i_1}=frac{2(varPhi_1+varPhi_2)}{i}，L_2=frac{varPhi_2}{i_2}=frac{2varPhi_2}{i}，且L_1>L_2

这样一来我们可以进一步地把这个导线做交流等效，如图2：

图2 两部分导体的等效电路

忽略导体内部的电容，两个支路的阻抗分别为： Z_1=R_1+{rm j}omega L_1,Z_2=R_2+{rm j}omega L_2 。当交流电频率比较大时感抗占据主导地位，由于 |i|=dfrac{|u|}{|Z|} ，可以看出随着频率 omega 的增大，在相同条件下导体外壳中的电流逐渐明显大于其内部。

由此我们定性得出了导体中“电流趋向于表面分布”的特点，即所谓趋肤效应。

1.量纲分析：初识趋肤效应

假设高频条件下电流主要分布于导体表面深度 δ 范围内（注意，这个“主要”目前还是不严格的说法），第0章的内容告诉我们，这个深度应该与频率 ω 和材料的电磁属性：磁导率 μ 和电导率 σ 有关，所以可以列出：

[δ]=[ω]^x[sigma]^y[mu]^z

这几个量的量纲是

通过调整xyz的值可以使等号两边的量纲相等。可以得出

δproptofrac{1}{sqrt{sigmamuomega}}

这说明当频率增大时，电流集中分布的深度减小，这与前面的分析是相符的。

2.更严格的分析

麦克斯韦方程：

nablatimesboldsymbol{H}=boldsymbol{j}+frac{partialboldsymbol{D}}{partial t},quadnablacdotboldsymbol{B}=0,quadnablatimesboldsymbol{E}+frac{partialboldsymbol{B}}{partial t}=0,quadnablacdotboldsymbol{D}=rho_0

其中 boldsymbol{H} 是磁场强度， boldsymbol{B}=muboldsymbol{H} ； boldsymbol{D}=varepsilonboldsymbol{E} 是电位移矢量。

方程的第一句是第0章用过的安培环路定理的微分形式，只不过这里更加完整： boldsymbol{j} 是由于电势差存在而产生的扩散电流而 frac{partialboldsymbol{D}}{partial t} 则是因为电场变化而产生的位移电流。第二句是磁场无源，第三句是著名的法拉第电磁感应定律，最后一句是高斯定理，或者说是电场的源。需要说明的是，在变化的磁场和电场问题中，如果频率很高，扩散电流 boldsymbol{j} 服从的欧姆定律将不能保持现在 boldsymbol{j}=sigmaboldsymbol{E} 这种形式，其中的 σ 应当使用张量代替，但是在准静态磁场问题中暂时还是可以用这个式子凑合一下。同样进行这种凑合的还有 nablatimesboldsymbol{H}=boldsymbol{j} 。

现在我们要使用一种电磁学中常用的描述电磁场的方法：标势（scalar potential） varphi 和矢势（vector potential） boldsymbol{A} 。

（标势和矢势是真实存在的，并不是一个单纯的计算符号，挖个坑抽空写一下使用AB效应证明之）

磁感应强度可以用磁矢势的旋度（curl）表达： boldsymbol{B}=nablatimesboldsymbol{A}

注意，我们讨论的是交变的电磁场，电场并不是无旋场。但是麦克斯韦方程的第三句和磁矢势可以放在一起使用

nablatimesboldsymbol{E}+frac{partialboldsymbol{B}}{partial t}=nablatimesboldsymbol{E}+frac{partial}{partial t}nablatimesboldsymbol{A}=nablatimesleft(boldsymbol{E}+frac{partial}{partial t}boldsymbol{A}right)=0

到这里，正如我们不能由 f^prime(x)=1 得出 f(x)=x 一样，我们并不能直接简单粗暴的得出 boldsymbol{E}=-frac{partial}{partial t}boldsymbol{A} ，而是需要在此基础上加一个与矢势没啥关系的标势梯度（也是无旋量），得到 boldsymbol{E}=-frac{partial}{partial t}boldsymbol{A}-nablavarphi 。

如同脱裤子放屁一样的操作是，人们习惯于设定 varphi=0 ，于是好不容易得到的boldsymbol{E}=-frac{partial}{partial t}boldsymbol{A}-nablavarphi又变回了

boldsymbol{E}=-frac{partial}{partial t}boldsymbol{A} 。

至此我们已经为分析趋肤效应的来源做好了准备，接下来我们要构造一个描述电磁学参数在导体中分布的方程，并加以求解。

2.1反复折腾麦克斯韦方程：趋肤效应的来源

首先喜迎针对的是麦克斯韦方程的第一句话 nablatimesboldsymbol{H}=boldsymbol{j} ，或 nablatimesboldsymbol{B}=muboldsymbol{j} 因为他的样子实在让人想把 boldsymbol{B}=nablatimesboldsymbol{A} 代入进去试试：

nablatimesboldsymbol{B}=nablatimesnablatimesboldsymbol{A}=nabla(nablacdotboldsymbol{A})-nabla^2boldsymbol{A}=musigmaboldsymbol{E}=-musigmafrac{partial}{partial t}boldsymbol{A}

毕竟导体内部不是先天就带电荷，所以使用无源条件： nablacdotboldsymbol{E}=0,quadnablacdotboldsymbol{A}=0

nabla^2boldsymbol{A}=musigmafrac{partial}{partial t}boldsymbol{A}, quadmusigma>0

这是一个扩散方程。正如气体分子的扩散方程可以描述厨房的饭香如何扩散并在空间分布一样，刚刚得到的式子可以描述电磁学参数在导体中的分布，因为这些它们对应着相同形式的方程（扩散方程）。

并不是只有磁矢势 boldsymbol{A} 才能享受扩散方程的待遇，实际上 boldsymbol{B},boldsymbol{E},boldsymbol{j} 都满足这种形式。比如：

nablatimesnablatimesboldsymbol{E}=nabla(nablacdotboldsymbol{E})-nabla^2boldsymbol{E}=-frac{partial}{partial t}nablatimesboldsymbol{B}=-mufrac{partial}{partial t}boldsymbol{j}=-musigmafrac{partial}{partial t}boldsymbol{E}

nabla^2boldsymbol{E}=musigmafrac{partial}{partial t}boldsymbol{E}, quadmusigma>0

继续折腾麦克斯韦方程组可以得到 nabla^2boldsymbol{j}=musigmafrac{partial}{partial t}boldsymbol{j},quad nabla^2boldsymbol{B}=musigmafrac{partial}{partial t}boldsymbol{B};quadmusigma>0 ，读者自证不难。

拿磁矢势开刀，我们可以分析出这些量的可能的量级：

• 已经建立的场衰退过程的特征时间 tau ；
• 电磁场在空间分布的特征尺寸 delta 。

nabla^2boldsymbol{A} 和 frac{partial}{partial t}boldsymbol{A} 都是小量，但是他们的量纲不太一样，不过没关系，我们可以凑一下：

nabla^2boldsymbol{A}=Oleft(frac{boldsymbol{A}}{L^2}right),quadfrac{partial}{partial t}boldsymbol{A}=Oleft(frac{boldsymbol{A}}{tau}right)

再使用波动方程即可得到特征长度

L=Oleft(sqrt{frac{tau}{musigma}}right)=Oleft(sqrt{frac{1}{musigmanu}}right)

与量纲分析结果相似，我们再一次看到了这种结构，只不过这里的频率 nu 与 omega 相差了一个系数 2pi ，这问题不大，因为这里计算的只是特征长度的可能的数量级，而先前计算的 delta 也只是一个正比例关系。

2.2严格的计算： delta 到底是什么

为了描述图1中导体内部磁场的问题，引入了如图3所示的半无限大导体截面（沿着y平面砍下去）。在图3中， z 坐标反映的是图1中的径向位置，也就是与圆柱轴的距离，我们可以假设图1中的圆柱足够粗，以至于高频条件下电流集中的区域足够薄，这样可以将导体视为在 z 方向上无限大； x反映的是纵向的位置。环绕在导体外的磁场在特定半径位置上的一周内保持不变表现为图3中磁场强度 boldsymbol{H} 只有 x 分量，没有 y 分量。

图3 半无限大导体

麦克斯韦方程要求：

• 磁场强度 boldsymbol{H} 在界面处的切向分量连续；
• 磁感应强度 boldsymbol{B} 在界面处法向分量连续；

所以，在 z=0^- 处： boldsymbol{H}_x(0^-,t)=H_0cos(omega t) ；在 z=0^+ 处： boldsymbol{H}_x(0^+,t)=H_0cos(omega t) 。

在其他区域， boldsymbol{H}_x(z,t)=h(z)cos(omega t) ，其中 h(z) 描述磁场在空间上的变化，与趋肤效应有关。在把 boldsymbol{H}_x(z,t)=h(z)cos(omega t) 代入 nabla^2boldsymbol{A}=musigmafrac{partial}{partial t}boldsymbol{A} 时，还需要用一些小手脚：考虑到微分的形式，同时，物理量的观测是基于实部的，我们可以把正弦写成复数形式并取其实部代表原有的表达式参与运算。所以：

边界条件： boldsymbol{H}_x(0^+,t)=H_0{rm e}^{-{rm j}omega t} ；

分离了空间和时间部分变量的函数： boldsymbol{H}_x(z,t)=h(z){rm e}^{-{rm j}omega t} ；进而

frac{d^2}{dz^2}h(z)+{rm j}omegasigmamu h(z)=0

这个方程非常简单，它的解是 h(z)={rm e}^{pm{rm j}kt},quad k^2={rm j}sigmamuomega 。

由于 k=pm(1+{rm j})sqrt{frac{musigmaomega}{2}} ，所以我们只需要取 h(z)={rm e}^{{rm j}kt} 即可获得全部的两个线性无关解。进而：

H_x(z,t)=C_1{rm e}^{-sqrt{frac{musigmaomega}{2}}z}cdot{rm e}^{{rm j}sqrt{frac{musigmaomega}{2}}z}cdot {rm e}^{-{rm j}omega t}+C_2{rm e}^{sqrt{frac{musigmaomega}{2}}z}cdot{rm e}^{-{rm j}sqrt{frac{musigmaomega}{2}}z}cdot {rm e}^{-{rm j}omega t}

第二项导致z在无穷大时结果发散，应该略去。 H_x(z,t)=H_0{rm e}^{-sqrt{frac{musigmaomega}{2}}z}cdot{rm e}^{{rm j}sqrt{frac{musigmaomega}{2}}z}cdot {rm e}^{-{rm j}omega t}

整理一下并取实部：

H_x(z,t)=H_0{rm e}^{-sqrt{frac{musigmaomega}{2}}z}cosleft(sqrt{frac{musigmaomega}{2}}z-omega tright)

注意到当 z=sqrt{frac{2}{musigmaomega}} 时， H减小到最大值 H_0 的 1/{rm e} ，我们把这个特征深度定义为

delta=sqrt{frac{2}{musigmaomega}}

小于 δ 的 z 就是趋肤效应中磁场强度主要分布的深度。

如果我们使用电流密度的方程计算，也会得到完全相同的电流密度分布。这也说明，交变电流大部分分布于 0<z<sqrt{frac{2}{musigmaomega}} 的范围内。

一般而言，对于良好的导体，这一数值非常小。例如对于铜导线和100Hz的交变电流，这一深度约为6.52mm。

拓展

对2.1中的内容加以改造，即不再估计特征长度的数量级，转为估计特征时间的数量级：

nabla^2boldsymbol{A}=musigmafrac{partial}{partial t}boldsymbol{A}, quadmusigma>0

nabla^2boldsymbol{A}=Oleft(frac{boldsymbol{A}}{L^2}right),quadfrac{partial}{partial t}boldsymbol{A}=Oleft(frac{boldsymbol{A}}{tau}right)

我们有 tau=O(musigma L^2)

如果我们把地球视为一个熔化的铁球，这一特征时间的量级约为 10^5 。与之相呼应的是：上一次地球的磁极颠倒发生在 10^6 年前，地球磁极在 5times10^4 年前减小到0并逐渐回升到今天的水平。