友情提示,今天这篇文章原理性内容较多。
在考研数学中,有两个章节的知识会涉及到通解与特解。第一个章节是来自高等数学的微分方程,第二个章节是来自线性代数的方程组。尤其是对于线性方程,通解和特解的用处就更为重要。十分有必要从根本上理解这两个概念,这对复杂问题的分析有很大的帮助。
通解,何为通?我的理解,“通”的意思就是通用的,广泛的,不唯一的,可以根据系数变化进行调整的。大家在看微分方程的内容,查看通解的定义,就会看到有这样一句话:通解中含有的任意常数的个数与方程的阶数相同。这是通解的精髓。
特解,何为特?很多人对“特”的理解,是特殊的意思。这是大错特错的理解方式,这里的“特”,其实是指“一个”,所以特解,就是指满足方程的一个解。请务必记住它,这对我们理解题目的说法很重要。
那么通解与特解之间,有没有关系呢?很多同学对这个知识理解有偏差,总觉得通解是齐次方程组的事儿,特解是非齐次方程组的事儿。这种理解方式也是大错特错的。请看下面的实例说明,以二阶常系数齐次线性方程为例:
这张图非常重要,这将会纠正某些同学对知识的理解错位,我们从来没有说,通解是齐次的事儿,特解是非齐次的事儿,从来没有。就像这张图里所说,通解和特解是可以相互转换的,当把通解中的任意常数确定为具体的值,那么通解就退化为了特解。
再看非齐次方程组的例子:
这一张图,相信大家没什么问题,几乎所有的题目都是按照这个流程来做,但下面这个图,将是理解上的关键:
这张图才应该是大家深刻理解的知识,很多学生对于非齐次方程的特解理解有问题,总觉得自己找到的那个才是,其他的都不是。这就错了,当通解中的系数每取一组值,得到的就是一个特解,所以说特解是不唯一的,而且是无数个。
几乎所有复习微分方程知识的同学都会碰到下面这个问题:
这个问题还是有点复杂的,相比于其他更为直观的题目,它对通解与特解的考查更为深刻。请看我的详细分析解答过程:
非常好的题目。它把通解及特解相关联系以及知识彻底考活,值得借鉴。
以往的相关题目往往是只考查解的结构定理,导致学员对通解及特解理解不足,希望通过这个题目,把相关的知识做更深刻的理解。
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