本文是對樊昌信和曹麗娜老師所著的《通信原理》中關於帶寬內容的整理，在學習本書過程中，由於基帶帶寬、帶通傳輸帶寬、碼元速率 f_{B} 、波特率 R_{B} 和碼元周期 T_{B} 這幾個概念有著密切的關聯，所以我們難免會有所混淆。本文通過模擬調制、數字基帶傳輸、數字帶通傳輸和新型數字帶通調制四個板塊，首先讓我們對於基帶 Leftrightarrow 通帶、模擬 Leftrightarrow 數字這兩組觀念有清晰的瞭解，然後需要我們結合書本內容對每個帶寬的求解進行理解。

本文大多數情況可以由圖形來理解，不需要細致推導。

先驗知識：

碼元速率 f_{B} 、波特率 R_{B} 和碼元周期 T_{B}的關系：碼元速率 f_{B}=frac{1}{T_{B}} ，波特率 R_{B}=frac{1}{T_{B}} 。因此，本文中碼元速率 bf f_{B} 都可用波特率 bf R_{B} 來表示。

一、模擬調制模擬調制是將模擬信號的波形與載波相乘，等效於基帶信號頻帶搬遷到載波頻率。衡量帶寬是基於基帶信號的帶寬。模擬情況下一般認為基帶信號帶寬 B=f_{H} 。

一般表達式： S_{m}(t)=[m(t)cosomega_{c}t] * h(t) ，中括號為信號與載波相乘得到DSB，即下圖頻域所示的頻譜搬遷過程，後一項卷積是為瞭得到SSB或VSB。（時域相乘則頻域卷積，載波 cosomega_c{t} 頻域對應 delta(fpm f_{c}) ，與沖激函數 delta 的卷積相當於頻譜搬移）

1）AM： B_{AM}=2f_{H} , f_{H} 是基帶信號帶寬

2）DSB： B_{DSB}=2f_{H}

3）SSB： B_{SSB}=f_{H}

4）VSB： f_{H}prec B_{SSB}prec 2f_{H} 5）FM： B_{FM} = 2(m_{f}+1)f_{H} ， m_{f} 為調頻系數

二、數字基帶傳輸數字基帶傳輸是將模擬信號采樣量化成數字序列，選定一種基帶信號波形（單雙極性，NRZ/RZ），進而將數字序列逐一映射為該波形的幾個可選取值（二進制可選為1&0或1&-1）。由於是基帶傳輸，所以沒有一定頻率的載波。衡量基帶信號帶寬 B_{s} （也可理解為主瓣寬度，圖示）是基於碼元周期 T_{B} 或碼元速率 f_{B} 。註意由於是隨機信號（分析模擬調制時通常認為傳輸的是確知信號），此處的譜為功率譜。

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數字基帶信號： 1）單極性NRZ： B_{S}=frac{1}{T_{B}}=f_{B}

2）單極性RZ： B_{S}=2f_{B}

3）雙極性NRZ： B_{S}=f_{B} 4）雙極性RZ： B_{S}=2f_{B}

上述數字基帶信號的詳細推導這裡省略，但是具有解釋性。NRZ信號和模擬信號一樣，所以會有B_{S}=f_{B}。而RZ信號相當於模擬信號在時域上隻保留50％的占空比（T_{B}不變，脈沖寬度從tau=T_{B}變為tau=frac{1}{2}T_{B}），由時頻域對偶，RZ的帶寬是NRZ的兩倍。極性不影響帶寬。

註意：模擬情況下，我們所知的是確知信號時域周期 T ，因此認為 f_{H}=frac{1}{T} ，而帶寬 B=f_{H}=frac{1}{T}。在數字情況下，我們所知的是隨即信號的碼元周期 T_{B} ，而數字基帶信號的帶寬 B_{S} 與 frac{1}{T_{B}} 不一定相等，可能會有系數2的存在。當我們把模擬的 T 對應為數字基帶信號的脈沖持續時間 tau 時，則 B=frac{1}{tau} 是成立的。這提醒我們在分析數字基帶傳輸帶寬時，不能簡單認為模擬那一套 B=frac{1}{T} 直接適用，需要判斷數字基帶信號類型。對於數字帶通調制，由於常用NRZ充當鍵控，所以該問題不存在。

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無碼間串擾的基帶傳輸：

條件：H(ω)經過“切割、平移、疊加”在 (-frac{pi}{T_{B}},frac{pi}{T_{B}}) 為理想低通濾波器。等效於H(f)在 (-frac{1}{2T_{B}},frac{1}{2T_{B}}) 。

設計①：理想低通特性

B=frac{1}{2T_{B}}=f_{N} ， bf f_{N} 稱為奈奎斯特帶寬（最窄帶寬）

R_{B}=frac{1}{T_{B}}=2f_{N} ，奈奎斯特速率（無ISI的最高波特率），理解為若理想低通信道帶寬為 f_{N} ，最快的傳輸速率可以設定為 2f_{N}

eta=frac{R_{B}}{B}=2 (Baud/Hz) ，極限頻帶利用率

設計②：餘弦滾降特性

B=(1+alpha)f_{N} ， alpha 為滾降系數

R_{B}=frac{1}{T_{B}}=2f_{N} ，傳輸速率與設計方案無關

eta=frac{R_{B}}{B}=frac{2}{1+alpha} (Baud/Hz)

部分響應系統：

人為在碼元的抽樣時刻引入碼間串擾，並在接收端判決前加以消除，詳細推導過程省略。

特點1：理想低通特性不能物理實現，因此極限頻帶利用率無法達到。部分相應系統其頻譜限定在(-frac{1}{2T_{B}},frac{1}{2T_{B}})如理想低通的帶寬，因此可以達到極限頻帶利用率 2Baud/Hz 。

特點2：雖然在(-frac{1}{2T_{B}},frac{1}{2T_{B}})不是理想低通特性，即會引入ISI，但由於接收端可對該人為ISI消除，因此其仍可看成是無ISI系統。

特點3：對於理想低通時域波形 frac{sinx}{x} 的尾部震蕩有抑制效果。

三、數字帶通傳輸數字帶通調制是利用模擬調制的方法實現數字調制，利用數字信號的離散取值特點通過開關鍵控載波實現。舉例：2ASK表達式為 e_{2ASK}(t)=s(t)cosomega_{c}t ，其中 s(t) 為單極性NRZ鍵控信號， cosomega_{c}t 是載波信號。兩者相乘等效為下圖頻域中NRZ功率譜的搬移。

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由於鍵控信號通常采用單極性NRZ(2ASK、2FSK)和雙極性NRZ(2PSK)，且它們的帶寬在第二節已給出為 bf f_{B} ，因此基帶變為帶通過程中帶寬以2倍關系給出。

1）2ASK： B_{2ASK}=2f_{B} 2）2FSK： B_{2FSK}=|f_{2}-f_{1}|+2f_{B} ， f_{1} 和 f_{2} 分別是兩載波頻率

3）2PSK： B_{2PSK}=B_{2DPSK}=2f_{B}

4）MASK： B_{MASK}=B_{2ASK}=2f_{B}

5）MFSK： B_{MFSK}=|f_{M}-f_{1}|+2f_{B}

對於第三第四節，若鍵控信號用升餘弦實現，即無碼間串擾的基帶傳輸，則把 bf f_{B} 都替換為 mathbf {frac{ (1+alpha) f_{B}}{2}} 即可。相當於為瞭達到無碼間串擾的目的，將原本的鍵控信號NRZ通過升餘弦滾降濾波器處理（頻帶利用率為 mathbf{frac{2}{1+alpha}} ），使得頻帶B收窄為原來的 mathbf {frac{ (1+alpha) }{2}} 。

四、新型數字帶通調制

1）QPSK：理解為0°、90°、180°、270°分佈，則可以看作兩路正交的2PSK疊加。其帶寬 BI=BQ=B2psk=2fB 。又因為兩路是正交關系，因此其頻譜疊加不影響分離，即兩路載波頻率可以相等，將I、Q兩路的鍵控信號頻譜搬遷到同一個區域。此時 B_{QPSK}=B_{I}=B_{Q}=2f_{B} 。

下圖是光通信系統兩路正交極化的信號傳輸，可以直觀讓我們看出兩路正交信號的獨立性。圖中I、Q兩路是頻率相同的正弦波，它們各自占用的頻帶是相同的，但是由於空間上具有獨立性，因此並不會發生混疊，接收機仍可以無損區分開兩者。 B=B_{I}=B_{Q} 才得以成立。

2）16QAM：具有兩種生成方法，第一種是正交調幅法，用兩路正交的4ASK信號疊加而成。同上方分析方法，每一路的帶寬 B_{I}=B_{Q}=B_{4ASK}=2f_{B} 。同理由正交性， B_{16QAM}=2f_{B} 。第二種是復合相移法，用兩路獨立的QPSK信號疊加而成，由於兩路信號不具有正交性，這裡不做詳細分析。

3）MSK：MSK是一種包絡恒定、相位連續、頻差最小、並且嚴格正交的2FSK信號，因此其帶寬分析可參考2FSK信號。

4）GMSK：Gaussian MSK，有歸一化3dB帶寬為 Bcdot T_{B} 。

5）OFDM：高速數據信號的碼元持續時間 T_{B}' 短，但占用帶寬 B' 大。串並轉換為N路低速子數據流，分別調制到各子載波上並行傳輸。由於碼元周期變為 T_{B}=NT_{B}' ，因此子信道帶寬 B_{i} = frac{B'}{N}prec B_{c} (B_{c}為相幹帶寬)。需要註意的是每路的調制是基於前面所介紹的數字調制方法，OFDM隻是將各路進行瞭堆疊，因此這裡的 B_{i} 沒有固定的表達式。下圖所示即OFDM的頻域表示，各路子載波載頻最小相差 Delta f_{min} = frac{1}{T_{B}} （此為OFDM正交條件的推導，可以理解為某信號傅裡葉級數展開為各正交子載波時，各路子載波頻率就是基波頻率 f=frac{1}{T} 的倍頻）。圖中有4個子信道，頻譜為5個間隔。此時，OFDM帶寬 bf B_{OFDM}=frac{N+1}{T_{B}} 則容易推導出來。

雖然頻譜看上去混疊，但相互正交性確保瞭信號的無失真傳輸。

QPSK和OFDM都涉及正交性，但是為什麼QPSK的兩路頻譜可以完全疊在一起，而OFDM則相互間存在最小頻率間隔呢？這是因為QPSK利用瞭I、Q兩路在空間上的正交關系，即兩路頻譜就算是如何分佈，相互之間也不存在影響。而OFDM此處談論的僅是空間上一個維度，即將多路子信號通過I路或Q路發出，因此不存在空間上的正交性，而是利用高次諧波之間的時域正交性(傅裡葉級數原理)。當然我們可以在I、Q兩路分別用OFDM，此時兩個OFDM系統是互不幹擾的，它們的最小頻率間隔也可不相等。

補充：相幹帶寬的概念

由於存在多徑效應，會有頻率選擇性衰落的問題。設 tau_{m} 為多徑中最大的相對時延差，定義相幹帶寬(Coherence Bandwidth) 為bf B_{c} = frac{1}{tau _{m}} 。為使信號基本不受多徑傳播影響，工程上要求信號帶寬 B_{s}=(frac{1}{3}simfrac{1}{5})B_{c} 即碼元寬度 T_{s}=(3sim5)tau_{m} 。

未完待續..

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