单变量微积分、线性代数的概念很多，我们的“马同学图解数学”系列：

• “单变量微积分”（主要覆蓋《高等数学同济版上》的内容）
• “线性代数”（主要覆蓋《线性代数同济版》的内容）

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本文是付费课程“单变量微积分”中的一课，目前还在连载中，如果想了解更多的前置内容，可以先看下另外两篇前面章节的免费内容：

• 微积分是什么？
• 柯西的数列极限

最开始我们就提到了，曲线下微小的矩形是“微分”：

把这些“微分”加起来就是“积分”，就可以得到曲线下的面积：

上一章定义了极限，解决了微积分中的第一个问题，什么是“Delta x 无限接近0”：

下面我们开始研究数学上什么是“微分”，怎么把“微分”加起来完成“积分”。

1 积分

比如要求f(x)=x^2 ，在[0,a],a > 0 下的面积：

把[0,a] 平均分成n 份，每份长为Delta x=frac{a-0}{n}=frac{a}{n} ：

这些点的坐标是这么一个数列（把0 点去掉）：

{a_i}=left{frac{a}{n}, frac{2a}{n},cdots, frac{(n-1)a}{n}, frac{na}{n}right},i=1,2,cdots,n/

点之间的间隔为Delta x=frac{a}{n} ，所以上述数列可以简写为：

{a_i}=left{Delta x, 2Delta x, cdots, (n-1)Delta x, nDelta xright}/

以这些坐标为终点，宽为Delta x ，高为f(a_i) 作矩形：

每个矩形面积为f(a_i)Delta x ，它们的面积和为：

begin{aligned} S_n &=sum_{i=1}^n f(a_i)Delta x/ / &=(Delta x)^2Delta x+(2Delta x)^2Delta x+cdots+[(n-1)Delta x]^2Delta x+(nDelta x)^2Delta x/ / &=[1+2^2+cdots+(n-1)^2+n^2](Delta x)^3 end{aligned} /

已知其中的级数：

1+2^2+cdots+(n-1)^2+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}/

所以上面的式子继续算下去：

begin{aligned} S_n &=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(Delta x)^3/ / &=left(frac{2n^3+3n^2+n}{6}right)(Delta x)^3 end{aligned} /

因为Delta x=frac{a}{n} ，代入上式可得：

S_n=sum_{i=1}^n f(a_i)Delta x=a^3left(frac{1}{3}+frac{1}{2n}+frac{1}{6n^2}right)/

当ntoinfty 的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：

从数学上就是，曲面下面积S 为：

begin{aligned} S=lim_{ntoinfty}S_n &=lim_{ntoinfty}left[a^3left(frac{1}{3}+frac{1}{2n}+frac{1}{6n^2}right)right]/ / &=frac{1}{3}a^3 end{aligned}/

在极限的帮助下，算出了曲面下的面积。

2 新的开始

既然得到了曲面下的面积了，是不是微积分课程完了？并没有，实际上刚刚开始。

2.1 计算复杂

上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。

博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里（1598 －1647），意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法，那时候还没有极限，他是直觉地认为当n 足够大时：

a^3left(frac{1}{3}-underbrace{frac{1}{2n}+frac{1}{6n^2}}_{可以忽略}right)=frac{1}{3}a^3/

这种计算方法简单粗暴，比如，想求正弦函数曲线下[0,pi] 之间的面积，也可以通过矩形和来计算，但是计算起来并不简单（详细计算步骤可以查看这里）：

把矩形面积加起来就需要计算级数（级数就是数列的和），但级数的计算往往很复杂。

欧拉就是一个级数计算大师，当时很多数学家求“积分”时，算不出级数就向欧拉求救，所以有句话是这么说的：“欧拉，他是所有人的老师”（出自另外一位数学家拉普拉斯之口）。

2.2 不够抽象

之前说了，可以用内接多边形来逼近圆的面积：

也可以换个思路，用小三角形的和来逼近圆的面积：

“圆内小三角形的和”与“曲线下的矩形和”看起来异曲同工，但毕竟三角形和矩形还是不一样，能否把这两者统一起来？

还有，能不能用微积分来计算一段曲线的长度（马上就可以看到如何去做）：

例子可能举得还不够好、不够多，但可以看出目前所学的微积分还不够抽象，不足以解决更多问题。

2.3 小结

不管是为了计算更加简便，还是为了扩大微积分的应用范围，我们都需要开始新的学习。

3 微分

不管为了计算的便利性，还是覆蓋更多的应用场景，都需要把“微分”这个概念抽象出来。

3.1 矩形微分

比如，想求[a,b] 区间内f(x) 曲线下的面积S ：

把[a,b] 平均分成n 份，每份长为Delta x=frac{a-b}{n} ，每个Delta x 对应一个Delta S_i ：

很显然：

S=sum_{i=1}^n Delta S_i/

从里面随便选一份，为了表示一般性，其面积记为Delta S ：

在同样的位置，以Delta x 为底、f(x_0) 为高作矩形，其面积记为textrm{d}S ：

很显然，随着Delta xto 0 ，Delta S 与textrm{d}S 会无限接近：

实际上两者都是无穷小：

lim_{Delta xto 0}Delta S=0=lim_{Delta xto 0}textrm{d}S /

Delta S 与textrm{d}S 有各自的名字（命名的来由可以查看这里）：

“微分”是对“差分”的近似，以“直”代“曲”（“微分”就是“直”，“差分”就是“曲”），也叫做线性近似：

微分approx 差分/

在极限下有（因为Delta x=frac{a-b}{n} ，所以Delta xto 0 相当于ntoinfty ）：

S=lim_{Delta xto 0}sum_{i=1}^n textrm{d}S_i/

其中，textrm{d}S_i 对应之前的Delta S_i 。

稍微总结下：

begin{array}{c|c} hline quadquad&quadcolor{blue}{差分}quad&quadcolor{orange}{微分}quad / hline / quad符号 quad&quad Delta S quad&quad textrm{d}Squad/ quad求和 quad&quad displaystyle S=sum_{i=1}^n Delta S_i quad&quad displaystyle S=lim_{Delta xto 0}sum_{i=1}^n textrm{d}S_iquad/ /hline end{array} /

3.2 三角形微分

要求圆的面积S ：

同样的可以把它均分为n 个扇形：

很显然，也可以用三角形去近似这些扇形：

这里，小扇形就是“差分”，小三角形就是“微分”，以三角形的“直”去代替扇形的“曲”。

3.3 切线微分

要求这条曲线的长度：

可以把它均分为n 个曲线段：

也可以用切线段（切线之后就会介绍）来近似这些曲线段：

划分细点的话，更容易看出两者的相似性：

这里，曲线段就是“差分”，切线段就是“微分”，以切线段的“直”去代替曲线段的“曲”。

3.4 小结

“微分”是“差分”的线性近似，是对“以直代曲”思想的数学表达。

有了“微分”之后，上述几种“积分”（包括面积、曲线长度等）就可以统一表示为：

积分=limsum 微分/

上述几种“微分”的严格定义不尽相同，这里暂不给出，后面不断完善。

最新的文章请查看这里（可能有后续更新）：微分是什么？

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