肯定有很多人是这样，你要是问他什么是齐次线性方程组的基础解系，他说不出来，但是给他一个具体的齐次线性方程组，他能把基础解系算出来。学数学必须掌握抽象的思维方式。应该将全部的线性方程组看作是一个整体，而不是说每个线性方程组是单独的个体。

采取向量空间的观点， n 元线性方程组的解都是 n 维向量。齐次线性方程组的解有一组重要的性质：对于一个方程组 AX=0, 若 X_1,X_2 是它的解， k 是一个数，则 X_1+X_2 和 kX_1 也是它的解。于是当 AX=0 有非零解时，存在一系列线性无关的解 X_i, 使得它的每个解都是这些解的线性组合，称这些解是它的一个基础解系。

进一步地，任何一个 n 元齐次线性方程组的全体解是 n 维向量空间的一个子空间，而此方程组的一个基础解系，就是这个子空间的一个基。

根据有关线性空间的结论，对于一个 n 维线性空间，任取其中的一些向量，则这些向量构成此空间的基的充要条件是这些向量有 n 个，并且它们线性无关。所以同一齐次线性方程组的两个基础解系总是含有同样多个解，且确定了基础解系所含解的数目，对于这么多个解，它们是否构成基础解系，仅取决于它们是否线性无关。

作为例子，设 X_1,X_2,X_3 是线性方程组 AX=0 的一个基础解系，向量组

Omega:X_1+2X_2,quad X_2+2X_3,quad X_3+2X_1,

证明 Omega 也是 AX=0 的一个基础解系。

显然这些向量都是 AX=0 的解，所以只需验证 Omega 线性无关。还记得什么叫线性无关吗？就是在它们的所有线性组合中，只有系数都为零的那个为零。

任取三个数 k_1,k_2,k_3, 线性组合

Y=k_1left(X_1+2X_2right)+k_2left(X_2+2X_3right)+k_3left(X_3+2X_1right),

则 Omega 线性无关的充要条件是当且仅当 k_1,k_2,k_3=0 时 Y=0. 计算

Y=left(k_1+2k_3right)X_1+left(k_2+2k_1right)X_2+left(k_3+2k_2right)X_3.

其中 X_1,X_2,X_3 线性无关，所以 Y=0 当且仅当

k_1+2k_3=0,quad k_2+2k_1=0,quad k_3+2k_2=0.

由此确定了一个关于 k_1,k_2,k_3 的齐次线性方程组，且它只有零解，所以 Omega 线性无关。