本篇内容以辐角原理为中心来介绍，而这个定理直接应用于方程在复数域中的某个区域内的根个数，下面就是主要内容：

• 辐角原理
• Rouche定理
• 辐角原理的应用

在介绍辐角原理之前先介绍一个引理

引理9.1

利用上述的引理可以得到我们想要的辐角原理

下面有几个注意的地方

• m阶的零点或者极点算作m个零点或者极点
• f 在 Omega 上亚纯
• f 在 partialomega 上没有零点或者极点

下面我们结合留数的几何意义可以得出

周线 ( C:z=lambda left( t right) left( alpha le tle beta right) lambda left( alpha right) =lambda left( beta right) ) 在变换 ( omega =fleft( z right) ) 下的像为 ( Gamma :omega =fleft( lambda left( t right) right) =mu left( t right) )

则辐角原理中我们所研究的积分 ( frac{1}{2pi}Delta_Cargf(z)=frac{1}{2pi i}int_C{frac{f'left( z right)}{fleft( z right)}dz}=frac{1}{2pi i}int_{Gamma}{frac{domega}{omega}} )

对于 frac{1}{omega} 有

• 沿一条绕原点的周线的正向积分为 2pi i
• 沿一条绕原点周线的负向积分为 -2pi i
• 沿一条不绕原点的周线的积分为 0

从而 ( frac{1}{2pi i}int_{Gamma}{frac{domega}{omega}} ) 为 Gamma 围绕原点的正向圈和负向圈数的代数和，所以我们可以得出下面的辐角定理的另一种形式

下面介绍Rouche定理

这个定理说明了和函数零点的个数取决于模较大函数在周线 C 中的零点个数

辐角原理的应用

例9.1

计算积分 ( frac{1}{2pi i}int_{|z|=4}{frac{z^9}{z^{10}-1}dz} )

• f(z) 在 |z|=4 上解析且不等于0，并且在 |z|<4 中有10个零点
• ( int_{|z|=4}{frac{z^9}{z^{10}-1}dz}=frac{1}{10}frac{1}{2pi i}int_{|z|=4}{frac{z^{10}-1}{z^{10}-1}dz}=frac{1}{10}left{ Nleft( f,C right) -Pleft( f,C right) right} =frac{1}{10}·10=1 )

例9.2

求方程 z^4+6z+3=0 在 |z|<1 和 1<|z|<2 内的根的个数

• 当 |z|=1 时 ( |z^4+3|le 4<6=|6z| ) 则 f(z)=z^4+6z+3 和 g(z)=6z 在 |z|<1 内有相同的零点个数，则只有一个根
• 当 |z|=2 时 |6z+3|le15<16=|z^4| 则 f(z)=z^4+6z+3 和 g(z)=z^4 在 |z|<2 内有相同的零点个数，则有四个根
• 所以原方程在 |z|<1 内只有一个根，在 1<|z|<2 内有三个根

例9.3

设 ainmathbb{C} ，n是一个正整数，如果 |a|>e 证明方程 e^z=az^n 在 |z|<1 内有n个根

• 设 f(z)=az^n,g(z)=-e^z
• 当 |z|=1 时有 |g(z)|=|e^z|le e^{|z|}=e<|a|=|az^n|=|f(z)| 则 h_1(z)=az^n-e^z 和 h_2(z)=az^n 在 |z|<1 内零点个数相同，所以得证