本文對該問題的討論由易到難

理解

AB=0這個式子主要從方程組的角度理解，相當於B的列向量是Ax=0的解，那麼B的秩比方說等於3，就代表瞭Ax=0至少有三個線性無關的解，即設A的秩為ra，則n-ra≥rb，即n≥ra+rb (1)。

用基礎解數k置換r

設ka為Ax=0的基礎解數，則ra=n-ka，用該式替換(1)式，得ka+kb≥n≥ra+rb (2)

考慮特征值重數c

設ca為a的0特征值重數，則有ca≥ka，若ca=ka則代表0特征根有ca重並且有ca個線性無關的特征向量。

將該不等式代入(2)式，有ca+cb≥ka+kb≥n≥ra+rb (3)

考慮AB的關系

若A²=A，則A的特征值隻能是0或1，並且重數之和為方陣的行數或列數n，因此將此式變形：

A(A-E)=0，則A和A-E的0特征值重數之和為n。將A-E看作B，則ca+cb=n，因此

ca+cb=ka+kb=n=ra+rb (4)

將上述結論延伸

(A-E)(A-2E)=0 說明瞭A有1、2兩個特征值，並且r(A-E)+r(A-2E)=n

練習

設A為5階等冪陣，r(A)=3，求|A-2E|

(A-E)(A-2E)=0的另一種解法

已知AB=0則:r(A)+r(B)≤n，又有r(A+B)≤r(A)+r(B)，因此r(A+B)≤r(A)+r(B)≤n，當A和B分別為A-E和2E-A時，A+B=E，則r(A+B)=n，因此有r(A)+r(B)=n

練習

A、B均為n階方陣，AB=0且(A+B)x=0隻有0解，證明Ax=0和Bx=0基礎解的數之和為n

其實A²+bA+cE=0這個式子把A換成 lambda ，E換成1，隻要有解且沒有重解解就代表著A可以相似對角化。

如果有重解的話A有可能無法相似對角化，考慮式子A²=0，A為二階方陣，若 A=left(begin{array}{cc} 0&1\ 0&0end{array}right) 則A無法相似對角化且滿足A²=0