本篇介紹的是立體幾何中三餘弦定理和三正弦定理，其中三餘弦定理又叫最小角定理，三正弦定理又叫最大角定理

可以參考

【立體幾何】三餘弦定理與三正弦定理

三餘弦定理（最小角定理）

color{green}{定理內容：}

設點 A 為平面 Gamma外的一點，過點 A 的斜線 AB 在平面 Gamma上的射影為 BO ，直線 BC 為平面 Gamma上的任意直線，那麼 angle{ABC} 、 angle{OBA} 、 angle{OBC} 的餘弦關系為： cos angle{ABC} =cos angle{OBC}cdot cos angle{OBA} .

圖一

如圖一，即斜線與平面上一條直線夾角為 beta 的餘弦值等於斜線與平面所成角 alpha 的餘弦值乘以攝影與平面內直線夾角 gamma 的餘弦值；cos {beta}=cos alphacdot cos gamma .

color{red}{（為瞭便於記憶，可以記：beta為斜線角、alpha線面角、gamma為射影角）}

color{green}{定理證明：}

如上圖，在 RtDelta OAB 、RtDelta OBC、RtDelta ABC 中， cos {beta}=frac{left| BC right|}{left|ABright|} 、cos alpha=frac{left| BO right|}{left|ABright|}、cos gamma=frac{left| BC right|}{left|BOright|} ，所以 cos {beta}=cos alphacdot cos gamma .

color{green}{定理說明：}

由 cos {beta}=cos alphacdot cos gamma .，且 cos gamma leq 1 知： cosbetaleqcosalpha ，即 betageqalpha ，在這三個角中， beta 是最大的，其餘弦值最小，等於另外兩個角的餘弦值的乘積。斜線與平面所成角 alpha 是斜線與平面內所有直線所成角中最小的。

三正弦定理（最大角定理）

color{green}{定理內容：}

設二面角 M-AB-N 的大小為 gamma ，在平面 M 上有一條射線 AC ，AC與棱 AB 所成角為 beta ，和平面 N 所成角為 alpha ，則 sinalpha=sinbetacdot sin gamma .

a032cde62c8d513f1ddf8d2df2d79564圖二

color{red}{（為瞭便於記憶，可以記：beta為線棱角、alpha線面角、gamma為二面角）}

color{green}{定理證明：}

如圖二， CObot 平面 、 OBbot AB 、 BCbot AB ，所以在 RtDelta OAC 、RtDelta OBC、RtDelta ABC 中， sin gamma=frac{left|OCright|}{left| BC right|} 、sinbeta=frac{left| BC right|}{left|ACright|}、sinalpha=frac{left| OC right|}{left|ACright|} ，所以sinalpha=sinbetacdot sin gamma .

color{green}{定理說明：}

由sinalpha=sinbetacdot sin gamma ，且 sinbeta leq 1 知： sinalphaleqsingamma ，即 alphaleqgamma ；所以二面角的半平面 M 內的任意一條直線與另一個半平面 N 所成的線面角 alpha 不大於二面角 gamma ，即二面角是線面角中最大的。

應用舉例

如圖，在矩形 ABCD 中， BC=2AB=4 ， E 為 AD 的中點，沿直線 BE 將 Delta ABE 翻折成 A'BE ，使平面 A'BE bot 平面 BCDE . 點 M 、 N 分別在線段 BC 、 DE 上，若沿直線 MN 將四邊形 MNDC 向上翻折，使 C 與 A' 重合，則 （ ）.四棱錐 A'-BMNE 的體積（ ）.

721ad2e38f35f2101a621fb77c2d5e3c圖三

color{red}{解法一：建系}

如圖四，以 A 為原點， AB 、 AE 、過點 A 垂直於底面的直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立空間直角坐標系，

511028f8f9a20044eca647665952c1ef圖四

取 BE 的中點 O ，連接 OA 、 OA' ，則 OAbot BE ， OA'bot BE ,則 O( 1,1,0) 、 A'(1,1,sqrt{2}) ,設 BM=a ，則 M(0,a,0) , CM=4-a ,由 CM=A'M 得： sqrt{1+(1-a)^2+2}=4-a ,解得： BM=a=2 ,同理可得： DN=frac{4}{3} ，故 EN=2-frac{4}{3}=frac{2}{3} ，則四棱錐 A'-BMNE 的體積為 frac{1}{3}times sqrt{2}times(2+frac{2}{3}) times 2timesfrac{1}{2}=frac{8sqrt{2}}{9} .

color{red}{解法二：三餘弦定理}

如圖五，取 BE 的中點 O ，連接 OA 、 OA' ，則 OAbot BE ， OA'bot BE ,

圖五

由折疊可知 angle {A'BO}=angle {OBM}=frac{pi}{4} , AB=A'B=2 ,由三餘弦定理得：cos angle{A'BM}=cos angle{A'BO}cdot cos angle{OBM} =frac{1}{2} ，所以 angle{A'BM} =frac{pi}{3} ；

設 BM=a ，則CM =4-a ，在 Delta A'BM 中由餘弦定理得： left| C'Mright|^2 =left| A'Bright|^2 +left|BMright|^2 -2left| A'B right|cdotleft| BMright|cdotcos angle{A'BM} ,即 (4-a)^2 =2^2+a^2 -2times2acos frac{pi}{3} ,解得 a=2 ，所以 BM =2 ；

由三餘弦定理得：cos angle{A'EA}=cos angle{A'EO}cdot cos angle{OEA}=frac{1}{2} ，即 angle{A'EA}=frac{pi}{3} ，所以 angle{A'EN}=frac{2pi}{3} ，設 EN=b ，則 DN=2-b ，由勾股定理得： left| A'N right|^2 =left|CNright|^2 =left|ND right|^2 +left|CD right|^2 =8+b^2-4b ;在 Delta A'EN 中由餘弦定理得：left| A'Nright|^2=left| A'Eright|^2+left|ENright|^2-2left| A'E right|cdotleft| ENright|cdotcos angle{C'EN} ,即 8+b^2-4b =4+b^2-2times2bcos frac{pi}{3} ,解得： b=frac{2}{3} ，即EN=frac{2}{3}，所以 V_{A'-BMNE} = frac{1}{3}times sqrt{2}times(2+frac{2}{3})times 2timesfrac{1}{2}=frac{8sqrt{2}}{9} .