本篇介紹的是立體幾何中三餘弦定理和三正弦定理,其中三餘弦定理又叫最小角定理,三正弦定理又叫最大角定理
可以參考
【立體幾何】三餘弦定理與三正弦定理
color{green}{定理內容:}
設點 A 為平面 Gamma外的一點,過點 A 的斜線 AB 在平面 Gamma上的射影為 BO ,直線 BC 為平面 Gamma上的任意直線,那麼 angle{ABC} 、 angle{OBA} 、 angle{OBC} 的餘弦關系為: cos angle{ABC} =cos angle{OBC}cdot cos angle{OBA} .
圖一
如圖一,即斜線與平面上一條直線夾角為 beta 的餘弦值等於斜線與平面所成角 alpha 的餘弦值乘以攝影與平面內直線夾角 gamma 的餘弦值;cos {beta}=cos alphacdot cos gamma .
color{red}{(為瞭便於記憶,可以記:beta為斜線角、alpha線面角、gamma為射影角)}
color{green}{定理證明:}
如上圖,在 RtDelta OAB 、RtDelta OBC、RtDelta ABC 中, cos {beta}=frac{left| BC right|}{left|ABright|} 、cos alpha=frac{left| BO right|}{left|ABright|}、cos gamma=frac{left| BC right|}{left|BOright|} ,所以 cos {beta}=cos alphacdot cos gamma .
color{green}{定理說明:}
由 cos {beta}=cos alphacdot cos gamma .,且 cos gamma leq 1 知: cosbetaleqcosalpha ,即 betageqalpha ,在這三個角中, beta 是最大的,其餘弦值最小,等於另外兩個角的餘弦值的乘積。斜線與平面所成角 alpha 是斜線與平面內所有直線所成角中最小的。
color{green}{定理內容:}
設二面角 M-AB-N 的大小為 gamma ,在平面 M 上有一條射線 AC ,AC與棱 AB 所成角為 beta ,和平面 N 所成角為 alpha ,則 sinalpha=sinbetacdot sin gamma .
a032cde62c8d513f1ddf8d2df2d79564圖二
color{red}{(為瞭便於記憶,可以記:beta為線棱角、alpha線面角、gamma為二面角)}
color{green}{定理證明:}
如圖二, CObot 平面 、 OBbot AB 、 BCbot AB ,所以在 RtDelta OAC 、RtDelta OBC、RtDelta ABC 中, sin gamma=frac{left|OCright|}{left| BC right|} 、sinbeta=frac{left| BC right|}{left|ACright|}、sinalpha=frac{left| OC right|}{left|ACright|} ,所以sinalpha=sinbetacdot sin gamma .
color{green}{定理說明:}
由sinalpha=sinbetacdot sin gamma ,且 sinbeta leq 1 知: sinalphaleqsingamma ,即 alphaleqgamma ;所以二面角的半平面 M 內的任意一條直線與另一個半平面 N 所成的線面角 alpha 不大於二面角 gamma ,即二面角是線面角中最大的。
如圖,在矩形 ABCD 中, BC=2AB=4 , E 為 AD 的中點,沿直線 BE 將 Delta ABE 翻折成 A'BE ,使平面 A'BE bot 平面 BCDE . 點 M 、 N 分別在線段 BC 、 DE 上,若沿直線 MN 將四邊形 MNDC 向上翻折,使 C 與 A' 重合,則 ( ).四棱錐 A'-BMNE 的體積( ).
721ad2e38f35f2101a621fb77c2d5e3c圖三
color{red}{解法一:建系}
如圖四,以 A 為原點, AB 、 AE 、過點 A 垂直於底面的直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立空間直角坐標系,
511028f8f9a20044eca647665952c1ef圖四
取 BE 的中點 O ,連接 OA 、 OA' ,則 OAbot BE , OA'bot BE ,則 O( 1,1,0) 、 A'(1,1,sqrt{2}) ,設 BM=a ,則 M(0,a,0) , CM=4-a ,由 CM=A'M 得: sqrt{1+(1-a)^2+2}=4-a ,解得: BM=a=2 ,同理可得: DN=frac{4}{3} ,故 EN=2-frac{4}{3}=frac{2}{3} ,則四棱錐 A'-BMNE 的體積為 frac{1}{3}times sqrt{2}times(2+frac{2}{3}) times 2timesfrac{1}{2}=frac{8sqrt{2}}{9} .
color{red}{解法二:三餘弦定理}
如圖五,取 BE 的中點 O ,連接 OA 、 OA' ,則 OAbot BE , OA'bot BE ,
圖五
由折疊可知 angle {A'BO}=angle {OBM}=frac{pi}{4} , AB=A'B=2 ,由三餘弦定理得:cos angle{A'BM}=cos angle{A'BO}cdot cos angle{OBM} =frac{1}{2} ,所以 angle{A'BM} =frac{pi}{3} ;
設 BM=a ,則CM =4-a ,在 Delta A'BM 中由餘弦定理得: left| C'Mright|^2 =left| A'Bright|^2 +left|BMright|^2 -2left| A'B right|cdotleft| BMright|cdotcos angle{A'BM} ,即 (4-a)^2 =2^2+a^2 -2times2acos frac{pi}{3} ,解得 a=2 ,所以 BM =2 ;
由三餘弦定理得:cos angle{A'EA}=cos angle{A'EO}cdot cos angle{OEA}=frac{1}{2} ,即 angle{A'EA}=frac{pi}{3} ,所以 angle{A'EN}=frac{2pi}{3} ,設 EN=b ,則 DN=2-b ,由勾股定理得: left| A'N right|^2 =left|CNright|^2 =left|ND right|^2 +left|CD right|^2 =8+b^2-4b ;在 Delta A'EN 中由餘弦定理得:left| A'Nright|^2=left| A'Eright|^2+left|ENright|^2-2left| A'E right|cdotleft| ENright|cdotcos angle{C'EN} ,即 8+b^2-4b =4+b^2-2times2bcos frac{pi}{3} ,解得: b=frac{2}{3} ,即EN=frac{2}{3},所以 V_{A'-BMNE} = frac{1}{3}times sqrt{2}times(2+frac{2}{3})times 2timesfrac{1}{2}=frac{8sqrt{2}}{9} .